Úhlové zrychlení
Částice ve dvou rozměrechUpravit
Oběžné úhlové zrychlení je ve dvou rozměrech rychlost, s jakou se mění dvourozměrná oběžná úhlová rychlost částice kolem počátku. Okamžitá úhlová rychlost ω v libovolném časovém okamžiku je dána vztahem
ω = v ⊥ r {\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}}}}.
,
kde r {\displaystyle r}
je vzdálenost od počátku a v ⊥ {\displaystyle v_{\perp }}
je příčná radiální složka okamžité rychlosti (tj. složka kolmá na polohový vektor), která je podle konvence kladná pro pohyb proti směru hodinových ručiček a záporná pro pohyb po směru hodinových ručiček.
Momentální úhlové zrychlení α částice je tedy dáno vztahem
α = d d t ( v ⊥ r ) {\displaystyle \alpha ={\frac {d}{dt}}({\frac {v_{\perp }}{r}})} }.
.
Rozšíření pravé strany pomocí součinového pravidla z diferenciálního počtu, z toho vyplývá
α = 1 r d v ⊥ d t – v ⊥ r 2 d r d t {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}{\frac {dr}{dt}}}}.
.
Ve speciálním případě, kdy částice koná kruhový pohyb kolem počátku, d v ⊥ d t {\displaystyle {\frac {dv_{\perp }}{dt}}}}
se stává pouze tečným zrychlením a ⊥ {\displaystyle a_{\perp }}.
, a d r d t {\displaystyle {\frac {dr}{dt}}}}
mizí (protože vzdálenost od počátku zůstává konstantní), takže výše uvedená rovnice se zjednoduší na α = a ⊥ r {\displaystyle \alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}}).
.
Ve dvou rozměrech je úhlové zrychlení číslo se znaménkem plus nebo minus udávající orientaci, ale neukazující směr. Znaménko se konvenčně považuje za kladné, pokud úhlová rychlost roste ve směru hodinových ručiček nebo klesá ve směru hodinových ručiček, a znaménko se považuje za záporné, pokud úhlová rychlost roste ve směru hodinových ručiček nebo klesá ve směru hodinových ručiček. Úhlové zrychlení pak lze označit jako pseudoskalár, číselnou veličinu, která mění znaménko při inverzi parity, například při inverzi jedné osy nebo při prohození obou os.
Částice ve třech rozměrechUpravit
Ve třech rozměrech je orbitální úhlové zrychlení rychlost, s níž se mění trojrozměrný vektor orbitální úhlové rychlosti s časem. Okamžitý vektor úhlové rychlosti ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}.
v libovolném časovém okamžiku je dán vztahem ω = r × v r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}}
,
kde r {\displaystyle \mathbf {r} }
je polohový vektor částice a v {\displaystyle \mathbf {v} }
je její vektor rychlosti.
Oběžné úhlové zrychlení je tedy vektor α {\displaystyle {\boldsymbol {\alfa }}}.
definované vztahem α = d d t ( r × v r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d}{dt}}({\frac {\mathbf {r} \{r^{2}}})} }{r^{2}})}
.
Rozšířením této derivace pomocí součinového pravidla pro křížové součinitele a obyčejného kvocientového pravidla dostaneme:
α = 1 r 2 ( r × d v d t + d r d t × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = 1 r 2 ( r × a + v × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = r × a r 2 – 2 r 3 d r d t ( r × v ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )\\\\&={\frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \times \mathbf {a} +\mathbf {v} \times \mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )\\\\&={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} ).\end{aligned}}}.
Protože r × v {\displayystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} }
je právě r 2 ω {\displaystyle r^{2}{\boldsymbol {\omega }}}.
, druhý člen lze přepsat jako – 2 r d r d t ω {\displaystyle -{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}}.
. V případě, že vzdálenost r {\displaystyle r}
částice od počátku nemění s časem (což zahrnuje kruhový pohyb jako dílčí případ), druhý člen mizí a výše uvedený vzorec se zjednodušuje na α = r × a r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\alfa }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}}
.
Z výše uvedené rovnice lze získat příčné radiální zrychlení v tomto speciálním případě jako:
a ⊥ = α × r {\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r}. }
.
Na rozdíl od dvou rozměrů nemusí být úhlové zrychlení ve třech rozměrech spojeno se změnou úhlové rychlosti: Jestliže se polohový vektor částice „stočí“ v prostoru tak, že její okamžitá rovina úhlového posunu (tj. okamžitá rovina, v níž polohový vektor svírá úhel) se s časem neustále mění, pak i když je úhlová rychlost (tj. rychlost, s níž polohový vektor svírá úhel) konstantní, bude stále existovat nenulové úhlové zrychlení, protože směr vektoru úhlové rychlosti se s časem neustále mění. To se nemůže stát ve dvou rozměrech, protože polohový vektor je omezen na pevnou rovinu, takže jakákoli změna úhlové rychlosti se musí projevit změnou jeho velikosti.
Vektor úhlového zrychlení se správněji nazývá pseudovektor: Má tři složky, které se při otáčení transformují stejně jako kartézské souřadnice bodu, ale při odrazu se netransformují jako kartézské souřadnice.
Vztah k momentuEdit
Čistý moment na bodové částici je definován jako pseudovektor
τ = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r}. \times \mathbf {F} }
,
kde F {\displaystyle \mathbf {F} }
je čistá síla působící na částici.
Točivý moment je rotační analogií síly: vyvolává změnu rotačního stavu soustavy, stejně jako síla vyvolává změnu translačního stavu soustavy. Protože čistou sílu působící na částici lze spojit se zrychlením částice rovnicí F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a}. }
, lze doufat, že sestrojíme podobný vztah spojující čistý točivý moment na částici s úhlovým zrychlením částice. To lze provést následujícím způsobem:
Nejprve dosadíme F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a}. }
do výše uvedené rovnice pro točivý moment, dostaneme τ = m ( r × a ) = m r 2 ( r × a r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=m(\mathbf {r} \times \mathbf {a} )=mr^{2}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}})}}.
.
Z předchozího oddílu však vyplynulo, že
α = r × a r 2 – 2 r d r d t ω {\displaystyle {\boldsymbol {\alfa }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}}
,
kde α {\displaystyle {\boldsymbol {\alfa }}}
je orbitální úhlové zrychlení částice a ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}.
je orbitální úhlová rychlost částice. Z toho vyplývá, že τ = m r 2 ( α + 2 r d r d t ω ) = m r 2 α + 2 m r d r d t ω . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=mr^{2}({\boldsymbol {\alfa }}+{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }})\\\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alfa }}+2mr{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}.\end{aligned}}}
Ve speciálním případě, kdy je vzdálenost r {\displaystyle r}
částice od počátku se s časem nemění, druhý člen ve výše uvedené rovnici mizí a výše uvedená rovnice se zjednoduší na τ = m r 2 α {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alfa }}}.
,
což lze interpretovat jako „rotační analogii“ k F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
, kde je veličina m r 2 {\displaystyle mr^{2}}.
(známá jako moment setrvačnosti částice) hraje roli hmotnosti m {\displaystyle m}
. Avšak na rozdíl od F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a}. }
, není tato rovnice použitelná pro libovolnou trajektorii. Závěrem lze říci, že obecný vztah mezi točivým momentem a úhlovým zrychlením je nutně složitější než vztah pro sílu a lineární zrychlení.