Diferenciální počet

admin 0 Comments Articles

Diferenciální počet

OptimizationEdit

Je-li f diferencovatelná funkce na ℝ (nebo otevřeném intervalu) a x je lokální maximum nebo lokální minimum f, pak derivace f v bodě x je nulová. Body, kde f'(x) = 0, se nazývají kritické body nebo stacionární body (a hodnota f v bodě x se nazývá kritická hodnota). Pokud se nepředpokládá, že f je všude diferencovatelná, pak se body, v nichž není diferencovatelná, rovněž označují jako kritické body.

Je-li f dvakrát diferencovatelná, pak naopak kritický bod x f lze analyzovat tak, že uvažujeme druhou derivaci f v bodě x :

• je-li kladná, pak x je lokální minimum;
• je-li záporná, pak x je lokální maximum;
• je-li nulová, pak x může být lokální minimum, lokální maximum nebo ani jedno z toho. (Například f(x) = x3 má kritický bod v bodě x = 0, ale nemá tam ani maximum, ani minimum, zatímco f(x) = ± x4 má kritický bod v bodě x = 0 a v něm minimum, respektive maximum.“

Tomu se říká test druhé derivace. Alternativní přístup, nazývaný test první derivace, spočívá v tom, že se uvažuje znaménko f‘ na každé straně kritického bodu.

Provedení derivace a řešení kritických bodů je tedy často jednoduchý způsob, jak najít lokální minima nebo maxima, což může být užitečné při optimalizaci. Podle věty o extrémních hodnotách musí spojitá funkce na uzavřeném intervalu dosáhnout minimálních a maximálních hodnot alespoň jednou. Pokud je funkce diferencovatelná, mohou minima a maxima nastat pouze v kritických bodech nebo koncových bodech.

To má také využití při kreslení grafů: jakmile jsou nalezena lokální minima a maxima diferencovatelné funkce, lze získat hrubý graf z pozorování, že mezi kritickými body bude buď rostoucí, nebo klesající.

Ve vyšších dimenzích je kritickým bodem funkce se skalární hodnotou bod, v němž je gradient nulový. K analýze kritických bodů lze ještě použít test druhé derivace, a to tak, že se uvažují vlastní hodnoty Hessovy matice druhých parciálních derivací funkce v kritickém bodě. Pokud jsou všechna vlastní čísla kladná, jedná se o lokální minimum, pokud jsou všechna záporná, jedná se o lokální maximum. Pokud jsou některá vlastní čísla kladná a některá záporná, pak se kritický bod nazývá „sedlový bod“, a pokud žádný z těchto případů neplatí (tj. některá vlastní čísla jsou nulová), pak se test považuje za neprůkazný.

Variační kalkulUpravit

Jedním z příkladů optimalizačního problému je: Najděte nejkratší křivku mezi dvěma body na ploše za předpokladu, že křivka musí ležet také na ploše. Je-li povrch rovina, pak nejkratší křivka je přímka. Pokud je však povrch například ve tvaru vejce, pak nejkratší cesta není hned jasná. Tyto cesty se nazývají geodetické a jedním z nejzákladnějších problémů variačního počtu je hledání geodetických cest. Dalším příkladem je např: Najděte nejmenší plochu vyplňující uzavřenou křivku v prostoru. Tato plocha se nazývá minimální plocha a také ji lze najít pomocí variačního kalkulu.

FyzikaEdit

Ve fyzice má variační kalkul zásadní význam: mnoho fyzikálních procesů je popsáno rovnicemi zahrnujícími derivace, tzv. diferenciálními rovnicemi. Fyzika se zabývá zejména tím, jak se veličiny mění a vyvíjejí v čase, a pojem „časové derivace“ – rychlosti změny v čase – je nezbytný pro přesnou definici několika důležitých pojmů. V newtonovské fyzice jsou významné zejména časové derivace polohy objektu:

• rychlost je derivace (vzhledem k času) posunu objektu (vzdálenosti od původní polohy)
• zrychlení je derivace (vzhledem k času) rychlosti objektu, tj. druhá derivace (vzhledem k času) polohy objektu.

Pokud je například poloha objektu na přímce dána vztahem

x ( t ) = – 16 t 2 + 16 t + 32 , {\displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,\,\!}.

tedy rychlost objektu je

x ˙ ( t ) = x ′ ( t ) = – 32 t + 16 , {\displaystyle {\dot {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\,\!}

a zrychlení objektu je

x ¨ ( t ) = x ″ ( t ) = – 32 , {\displaystyle {\ddot {x}}(t)=x“(t)=-32,\,\!}

která je konstantní.

Diferenciální rovniceUpravit

Diferenciální rovnice je vztah mezi souborem funkcí a jejich derivacemi. Obyčejná diferenciální rovnice je diferenciální rovnice, která vztahuje funkce jedné proměnné k jejich derivacím vzhledem k této proměnné. Parciální diferenciální rovnice je diferenciální rovnice, která vztahuje funkce více než jedné proměnné k jejich parciálním derivacím. Diferenciální rovnice se přirozeně vyskytují ve fyzikálních vědách, v matematickém modelování i v samotné matematice. Například druhý Newtonův zákon, který popisuje vztah mezi zrychlením a silou, lze vyjádřit jako obyčejnou diferenciální rovnici

F ( t ) = m d 2 x d t 2 . {\displaystyle F(t)=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}.

Rovnice tepla v jedné prostorové proměnné, která popisuje šíření tepla přímou tyčí, je parciální diferenciální rovnice

∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 . {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}.

Tady u(x,t) je teplota tyče v poloze x a čase t a α je konstanta, která závisí na rychlosti šíření tepla tyčí.(2-3¡)-(3+2)

Věta o střední hodnotěEdit

Věta o střední hodnotě: Pro každou diferencovatelnou funkci f : → R {\displaystyle f:\to \mathbb {R} }

s a < b {\displaystyle a<b}

existuje c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\v (a,b)}

s f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a {\displaystyle f'(c)={\tfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}}.

.

Věta o střední hodnotě udává vztah mezi hodnotami derivace a hodnotami původní funkce. Je-li f(x) funkce s reálnou hodnotou a a a b jsou čísla s a < b, pak věta o střední hodnotě říká, že za mírných hypotéz je sklon mezi dvěma body (a, f(a)) a (b, f(b)) roven sklonu tečny k f v nějakém bodě c mezi a a b. Jinými slovy,

f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a . {\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}.

V praxi se pomocí věty o střední hodnotě řídí funkce pomocí její derivace. Předpokládejme například, že funkce f má v každém bodě derivaci rovnou nule. To znamená, že její tečna je v každém bodě vodorovná, takže i funkce by měla být vodorovná. Věta o střední hodnotě dokazuje, že to musí být pravda: Sklon mezi libovolnými dvěma body na grafu funkce f se musí rovnat sklonu jedné z tečných přímek funkce f. Všechny tyto sklony jsou nulové, takže každá přímka z jednoho bodu grafu do jiného bodu bude mít také nulový sklon. To však říká, že funkce se nepohybuje nahoru ani dolů, takže musí být vodorovná. Složitější podmínky pro derivaci vedou k méně přesným, ale přesto velmi užitečným informacím o původní funkci.

Taylorovy polynomy a Taylorovy řadyUpravit