Faktorová věta
Související stránky
Remainderova věta
Řešení kubických rovnic
Remainder a faktor Věty
Další lekce algebry
Remainderova a faktorová věta
Co je faktorová věta?
Když je f(x) děleno (x – a), dostáváme
f(x) = (x – a)Q(x) + zbytek
Z věty o zbytku dostáváme
f(x) = (x – a)Q(x) + f(a)
Pokud f(a) = 0, pak zbytek je 0 a
f(x) = (x – a)Q(x)
Můžeme tedy říci, že. (x – a) je faktorem f(x)
Faktorová věta říká, že
(x – a) je faktorem polynomu f(x) tehdy a jen tehdy, když f(a) = 0
Všimněte si, že následující tvrzení jsou ekvivalentní pro libovolný polynom f(x).
- (x – a) je činitelem f(x).
- Zbytek je nulový, když f(x) dělíme (x – a).
- f(a) = 0.
- Řešením f(x) = 0 je a.
- Nulou funkce f(x) je a.
Příklad:
Určete, zda x + 1 je činitelem následujících polynomů.
a) 3×4 + x3 – x2 + 3x + 2
b) x6 + 2x(x – 1) – 4
Řešení:
a) Nechť f(x) = 3×4 + x3 – x2 + 3x + 2
f(-1) = 3(-1)4 + (-1)3 – (-1)2 +3(-1) + 2
= 3(1) + (-1) – 1 – 3 + 2 = 0
Tedy, x + 1 je činitelem f(x)
b) Nechť g(x) = x6 + 2x(x – 1) – 4
g(-1) = (-1)6 + 2(-1)( -2) -4 = 1
Proto x + 1 není činitelem g(x)
Jak použít Faktorovou a zbytkovou větu?
Co jsou to faktorové věty a jak je lze použít k nalezení lineární faktorizace polynomu?
Zbytková věta říká, že pokud polynom f(x) vydělíme x – k, zbytek je roven f(k).
Faktorová věta říká, že polynom x – k je faktorem polynomu f(x) tehdy a jen tehdy, když f(k) = 0.
Faktorová věta říká, že polynom x – k je faktorem polynomu f(x) tehdy a jen tehdy.
Příklad:
Nechť f(x) = 2×3 – 3×2 – 5x + 6
Je x – 1 faktorem?
Najděte všechny ostatní faktory.
- Zobrazit video lekci
Jak použít faktorovou větu k faktorizaci polynomů?
Příklady:
-
Faktor P(x) = 3×3 – x2 – 19x + 8
-
Faktor P(x) = 2×3 – 9×2 + x + 12
- Zobrazit video lekci
Jak najít zbývající činitele polynomu?
Lekce o větě o děliteli a úplném vynásobení mnohočlenu.
- Zjistit souvislost mezi větou o činiteli a větou o zbytku.
- Zjistit, jak pomocí věty o činiteli určit, zda je dvojčlen činitelem daného mnohočlenu, či nikoli.
- Použít syntetické dělení spolu s větou o činiteli, které pomůže vynásobit mnohočlen.
Příklad:
Úplný dělitel x4 – 3×3 – 7×2 + 15x + 18
- Zobrazit videoukázku
Aplikace faktorové věty
Jak pomocí faktorové věty určit, zda je x – c dělitelem mnohočlenu f?
Příklady:
- f(x) = 4×3 – 3×2 – 8x + 4, c = 3
- f(x) = 3×4 – 6×3 – 5x + 10, c = 1
- f(x) = 3×6 + 2×3 – 176, c = -2
- f(x) = 4×6 – 64×4 – x2 – 16. Proč? c = 4
- f(x) = 2×4 – x3 – 2x – 1, c = -1/2
- Zobrazit video lekci
Jak vysvětlit faktorovou větu?
Jestliže f(x) je mnohočlen a f(p) = 0, pak (x – p) je činitel f(x)
Jestliže f(x) je mnohočlen a f(-q) = 0, pak (x + q) je faktorem f(x)
- Zobrazit video lekci
Popis a příklady faktorové věty
Příklady:
Dokažte, že (x + 1) je dělitelem P(x) = x2 + 2x + 1
Je (x + 2) dělitelem x3 + 4×2 – x – 3?
- Zobrazit video lekci
Vyzkoušejte níže uvedenou bezplatnou kalkulačku a řešitele úloh Mathway a procvičte si různá matematická témata. Vyzkoušejte si uvedené příklady nebo zadejte vlastní úlohu a zkontrolujte si odpověď pomocí vysvětlení krok za krokem. 