Odpověď na otázku života, vesmíru a vůbec
Tým pod vedením Andrewa Sutherlanda z MIT a Andrewa Bookera z Bristolské univerzity vyřešil poslední část slavné 65 let staré matematické hádanky s odpovědí na nejnepolapitelnější číslo ze všech: 42.
Číslo 42 je zvláště významné pro fanoušky sci-fi románu spisovatele Douglase Adamse „Stopařův průvodce po Galaxii“, protože toto číslo je odpovědí superpočítače na „konečnou otázku života, vesmíru a vůbec“.
Booker chtěl také znát odpověď na otázku 42. To znamená, zda existují tři krychle, jejichž součet je 42?“
Tato hádanka o součtu tří krychlí, která byla poprvé zadána v roce 1954 na univerzitě v Cambridgi a je známá jako Diofantova rovnice x3+y3+z3=k, vyzývala matematiky, aby našli řešení pro čísla 1-100. U menších čísel se tento typ rovnice řeší snadněji: například 29 lze zapsat jako 33 + 13 + 13, zatímco 32 je neřešitelné. Všechny byly nakonec vyřešeny nebo se ukázaly jako neřešitelné pomocí různých technik a superpočítačů, s výjimkou dvou čísel:
Booker vymyslel důmyslný algoritmus a strávil týdny na superpočítači na své univerzitě, když nedávno přišel s řešením pro číslo 33. Když se však obrátil na řešení pro 42, Booker zjistil, že potřebné výpočty jsou řádově vyšší a možná přesahují možnosti jeho superpočítače. Booker říká, že dostal mnoho nabídek na pomoc při hledání odpovědi, ale místo toho se obrátil na svého přítele Andrewa „Drewa“ Sutherlanda, hlavního vědeckého pracovníka na katedře matematiky. „Je to světový expert na podobné věci,“ říká Booker.
Sutherland, jehož specializací jsou masivně paralelní výpočty, překonal v roce 2017 rekord největšího výpočetního clusteru Compute Engine s 580 000 jádry na Preemptible Virtual Machines, největším známým vysoce výkonným výpočetním clusterem, který běží ve veřejném cloudu.
Stejně jako ostatní teoretici čísel, kteří se zabývají aritmetickou geometrií, si byl vědom problému „součtu tří krychlí“. A oba spolu pracovali již dříve, když pomáhali budovat databázi L-funkcí a modulárních forem (LMFDB), online atlas matematických objektů souvisejících s takzvaným Langlandsovým programem. „Byl jsem nadšený, když mě Andy požádal, abych se k němu na tomto projektu připojil,“ říká Sutherland.
Booker a Sutherland diskutovali o algoritmické strategii, která bude při hledání řešení 42 použita. Jak Booker zjistil u řešení 33, věděli, že se nemusí uchýlit k vyzkoušení všech možností pro x, y a z.
„Existuje jediný celočíselný parametr d, který určuje relativně malou množinu možností pro x, y a z tak, že absolutní hodnota z je nižší než zvolená hledaná mez B,“ říká Sutherland. „Člověk pak vyjmenovává hodnoty d a kontroluje každé z možných x, y, z přiřazených k d. Při pokusu o rozluštění 33 byla hledací mez B 1016, ale ukázalo se, že toto B je pro rozluštění 42 příliš malé; místo toho jsme použili B = 1017 (1017 je 100 milionů miliard).“
Jinak by hlavní rozdíl mezi hledáním 33 a hledáním 42 byl ve velikosti hledání a použité počítačové platformě. Díky velkorysé nabídce britské společnosti Charity Engine mohli Booker a Sutherland využít výpočetní výkon z domácích počítačů více než 400 000 dobrovolníků z celého světa, z nichž každému byl přiřazen rozsah hodnot d. Výpočet na každém počítači běží na pozadí, takže majitel může svůj počítač stále používat k jiným úkolům.
Sutherland je také fanouškem Douglase Adamse, takže projektu nešlo odolat.
Způsob využití Charity Engine je podobný části zápletky kolem čísla 42 v románu „Stopař“: Poté, co se odpověď Hluboké myšlenky na číslo 42 ukáže jako neuspokojivá pro vědce, kteří neznají otázku, na niž má odpovědět, rozhodne se superpočítač spočítat Konečnou otázku tím, že postaví superpočítač poháněný Zemí… jinými slovy, použije celosvětovou masivně paralelní výpočetní platformu.
„To je další důvod, proč se mi spuštění tohoto výpočtu na Charity Engine opravdu líbilo – skutečně jsme použili počítač planetárního měřítka k vyřešení dlouholeté otevřené otázky, jejíž odpověď je 42.“
Spustili řadu výpočtů s nižší kapacitou, aby otestovali svůj kód i síť Charity Engine. Poté použili řadu optimalizací a úprav, aby byl kód vhodnější pro masivně distribuované výpočty ve srovnání s výpočty prováděnými na jediném superpočítači, říká Sutherland.
Proč by tento problém nemohl vyřešit bristolský superpočítač?
„No, každý počítač *může* tento problém vyřešit, pokud jste ochotni čekat dostatečně dlouho, ale když na problému paralelně pracovalo zhruba půl milionu počítačů (každý s několika jádry), byli jsme schopni dokončit výpočet mnohem rychleji, než bychom to dokázali na bristolském stroji (nebo na kterémkoli ze strojů zde na MIT),“ říká Sutherland.
Použití sítě Charity Engine je také energeticky úspornější. „Z velké části využíváme výpočetní zdroje, které by jinak přišly nazmar,“ říká Sutherland. „Když sedíte u počítače a čtete si e-mail nebo pracujete s tabulkou, využíváte jen nepatrný zlomek dostupných procesorových zdrojů.“ Aplikace Charity Engine, která je založena na otevřené infrastruktuře Berkeley Open Infrastructure for Network Computing (BOINC), toho využívá. Výsledkem je, že uhlíková stopa tohoto výpočtu – související s elektřinou, kterou naše výpočty způsobily, že počítače v síti spotřebovaly nad rámec toho, co by spotřebovaly v každém případě – je nižší, než kdybychom použili superpočítač.“
Sutherland a Booker prováděli výpočty několik měsíců, ale konečný úspěšný běh byl dokončen za pouhých několik týdnů. Když přišel e-mail od Charity Engine, poskytl první řešení x3+y3+z3=42:
42 = (-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3
„Když jsem se tu zprávu dozvěděl, byl to rozhodně okamžik, kdy jsem dostal pěstí,“ říká Sutherland. „Při těchto rozsáhlých výpočtech věnujete spoustu času a energie optimalizaci implementace, úpravě parametrů a následnému testování a opakovanému testování kódu v průběhu týdnů a měsíců, přičemž nikdy nevíte, zda se veškeré úsilí vyplatí, takže je nesmírně potěšující, když se tak stane.“
Booker a Sutherland říkají, že zbývá vyřešit ještě 10 čísel z rozmezí 101-1000, přičemž dalším číslem je číslo 114.
Ale oba se více zajímají o jednodušší, ale výpočetně náročnější hádanku: zda existuje více odpovědí na součet tří krychlí pro 3.
„Existují čtyři velmi snadná řešení, která byla známa matematikovi Louisi J. K., jenž se zabýval matematikou. Mordell, který v roce 1953 slavně napsal: „Nevím nic o celočíselných řešeních x3 + y3 + z3 = 3 kromě existence čtyř trojic (1, 1, 1), (4, 4, -5), (4, -5, 4), (-5, 4, 4); a musí být opravdu velmi obtížné zjistit cokoli o jakýchkoli dalších řešeních.“ (Mordell, 1953). Tento citát motivoval velký zájem o problém součtu tří krychlí a zejména o případ k=3. Ačkoli se předpokládá, že by mělo existovat nekonečně mnoho řešení, navzdory více než 65 letům hledání známe pouze snadná řešení, která byla známa již Mordellovi. Bylo by velmi vzrušující najít další řešení pro k=3.“
.