Ohledně matematiky Common Core se mýlíte:
Všichni už určitě viděli pohoršující obrázek práce třeťáka, ve které je známkován za to, že uvedl, že 5 x 3 = 5 + 5 + 5 = 15. Pokud vám to uniklo, zde jsou videa a příběhy několika skupin, které za to Common Core pranýřují: Business Insider, IFLScience, Huffington Post a mom.me – a jsem si jistý, že jich najdete mnohem víc, protože fotka této dětské práce se stala virální.
Možná si také vzpomenete na fotografii šeku, která se před nedávnem stala virální – muž vyplnil šek pro školu svého syna tak, že se pokusil napsat částku šeku v deseti rámečcích. Podobných fotografií s doprovodným výsměchem, které se virálně rozšířily prostřednictvím sociálních sítí a e-mailů, bylo nespočet (více o těchto příkladech za chvíli).
V celonárodní diskusi o domnělých problémech amerického školství se standardy Common Core staly tak trochu sjednocujícím úderným nástrojem, zejména pokud jde o matematiku na základních školách. Zdá se, že každý rád najde fotografii testové otázky, domácího úkolu nebo opravené práce, která očerňuje Common Core. Znáte ten typ – otázka žádá žáky, aby ukázali zdánlivě jednoduché téma elementární matematiky, ale vyžaduje, aby odpověď byla uvedena zdánlivě příliš komplikovaným způsobem. Díváme se na to a říkáme si: „Proč to prostě nemohou udělat normálním způsobem?!“. Jsme znepokojeni zobrazením něčeho, co považujeme za tak základní a elementární, v novém a neznámém uspořádání, a jsme rozhořčeni, když vidíme, že práce žáka je oznámkována, i když se zdá být správná.
Převážná většina komentářů a příspěvků k těmto virálním obrázkům a příběhům byla vůči Common Core velmi kritická. Jde však o tohle – veškerá tato kritika ústí v zásadní nepochopení státních standardů Common Core (CCSS).
Prakticky každý příklad některého z těchto útoků na Common Core spadá do jedné ze dvou kategorií:
- Lidé, kteří příklad rozšířili (a vyhodili do koše), nepochopili smysl daného standardu Common Core
- Pedagog zodpovědný za příklad nepochopil smysl daného standardu Common Core
Považte, že kontrola deseti rámečků (která spadá do první kategorie) – otec byl frustrován znázorněním čísel, s nímž nebyl obeznámen, a pěkně to zapadalo do jeho zažité představy, že Common Core je hrozný, slouží pouze k matení žáků a rodičů. Zde je článek, který jeho reakci podrobněji rozebírá, ale ve zkratce je tento otec naštvaný, protože okamžitě nepoznal a nepochopil pojem, který se učí jeho žák ve druhé třídě. Místo toho, aby se ho snažil pochopit a porozumět jeho účelu, zesměšňuje ho a ostatní podobně frustrovaní rodiče se na něj vrhají.
Ve skutečnosti jsou desetirámečky způsobem vizuálního modelování našeho systému počítání, který dětem pomáhá lépe mu porozumět. Nikdy neměly nahradit náš současný způsob zápisu čísel – jsou navrženy jako doplňková pomůcka, která napomáhá hlubšímu porozumění. Pro rodiče může být jistě frustrující, když se zpočátku potýkají s domácími úkoly svých dětí, zejména když jsou v prvních ročnících. Jistě se najdou učitelé, kteří se s úkolem ne vždy trefí do černého nebo kteří rodičům neposkytnou zdroje k pochopení něčeho, co pro ně může být nové, ale nakonec nezapomínejme, že nám všem jde o co nejlepší vzdělávací výsledky našich dětí. A buďme upřímní, způsob, jakým jsme v Americe učili matematiku po celé generace, nefungoval pro všechny, a proto máme velmi početnou část populace, která jednoduše říká: „Matematiku neumím.“ A to je důvod, proč je v naší populaci velmi početná skupina lidí, kteří se snaží matematiku zvládnout. Proč se tedy uzavíráme před úvahami o nových způsobech konceptualizace základních myšlenek matematiky?“
Nyní se zamysleme nad otázkou 5 x 3. Je to tak? Podle serveru IFLScience (který mimochodem miluji) vyjádřili komentátoři na Redditu a Imguru rozhořčení nad „příliš pedantským myšlením ‚podle učebnice'“. Celé to vyznívá jako obvinění Common Core z toho, že potlačuje matematické myšlení ve prospěch přísných a libovolných definic a algoritmů. A přitom jde o zcela mylnou interpretaci Common Core. Rozhořčení je oprávněné, jen je nemístné – tento příklad patří k druhému typu, který jsem zmínil výše, kdy pedagog špatně pochopil a aplikoval standardy s příliš úzkým doslovným výkladem.
Dotčený standard říká: „Interpretovat součin celých čísel, např. interpretovat 5 × 7 jako celkový počet předmětů v 5 skupinách po 7 předmětech.“ V tomto případě se jedná o součin celých čísel. Tento učitel zřejmě četl tuto normu tak, že jediný způsob, jak nahlížet na 5 × 7 (nebo v případě dotyčného článku na 5 × 3), je jako na 5 skupin po 7 objektech. Takže pro 5 skupin po 3 předmětech by to mohlo vypadat jako 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3. A přesto „např.“ znamená „například“, nikoliv „toto je jediný platný výklad“. Rozumné čtení normy matematicky gramotným člověkem by mělo umožnit interpretovat 5 x 3 jako 5+5+5, neboli 3 skupiny po 5 objektech, zvláště když uvážíte, že o čtyři normy níže v seznamu je norma o komutaci (spolu s dalšími vlastnostmi) při násobení, např. 5 x 3 se rovná 3 x 5 (všimněte si, že to „např.“, které jsem právě použil, znamená, že je to jen jeden příklad; tato vlastnost platí i pro nekonečně mnoho dalších dvojic čísel – vidíte, jak to funguje?) Konečným cílem těchto standardů je pomoci našim dětem rozvíjet jejich základní porozumění naší číselné soustavě a základům aritmetiky, a tak pokud žák intuitivně ví, že 5 x 3 se rovná 3 x 5 a že obojí lze znázornit jako 3 řady po 5 předmětech nebo 5 řad po 3 předmětech nebo 3 hromádky po 5 haléřích nebo 5 hromádek po 3 jablkách nebo … no, rozumíte, pak jsme svého cíle dosáhli!
Interpretace násobení výše popsaným způsobem není ani zdaleka nová; spíše je to celkem standardní postup pro pochopení toho, co je násobení. Možná, že myšlenka přimět studenty ukázat příklad na papíře je spíše novým jevem, a ano, společný základ rozhodně prosazuje, aby pedagogové podporovali studenty v interakci se způsoby modelování matematických pojmů, které se učí, aby si je lépe osvojili. Nevyžaduje však striktní dodržování úzkých, libovolně zvolených výkladů těchto modelů a pedagogové, kteří takto zaměřují svou výuku, to dělají špatně.
Jiným příkladem může být tento obrázek, který jsem poprvé obdržel v přeposlaném e-mailu (tato konkrétní verze byla zřejmě převzata z webových stránek Davida Van Santa, nedávného republikánského kandidáta do Sněmovny reprezentantů státu Georgia, který prohrál s kolegou republikánem), o matematické úloze, která se stala virální a pomáhá burcovat lidi proti Common Core.
Na první pohled se může zdát, že schéma postupu podle Common Core je zbytečně složité, zejména ve srovnání s nastavením standardního algoritmu odčítání, na kterém jsme všichni vyrostli (nemluvě o tom, že obrázek ukazuje nastavení standardního algoritmu, ale nezobrazuje skutečný postup, který ve skutečnosti není tak jednoduchý s výpůjčkami, které budou nutné). Většina lidí se podívá na schéma číselné řady, na první pohled uvidí hromadu kroků, které zdánlivě nedávají moc smysl, a přijme ho jako další důkaz na podporu již tak vzrůstajícího rozhořčení nad Common Core, částečně díky zdravému přídavku konfirmačního zkreslení.
Bližší pohled na metodu však může odhalit, že použití číselné řady (důležitého vizuálního nástroje v aritmetice a algebře) umožňuje této metodě dostat se k jinému způsobu myšlení o sčítání a odčítání a jejich vzájemném vztahu – což je zásadní způsob myšlení pro žáky, u nichž bychom chtěli, aby aritmetice porozuměli na dostatečně hluboké úrovni, která jim usnadní smysluplné učení vyšších úrovní matematiky (což by měli být v podstatě všichni žáci).
Pokud jste ještě nepochopili smysl druhého diagramu, vzpomeňte si na způsob, jakým lidé dříve dávali drobné v obchodě (dnes už možná trochu ztracené umění). Předpokládejme, že jste si koupili něco, co stálo 8,27 dolaru, a zaplatili jste dvacetidolarovkou. Prodavač by začal od hodnoty zakoupené věci (v tomto případě 8,27 dolaru), pak by začal s drobnými, které by vám přinesl nejprve na 8,30 dolaru, pak na úroveň 50 centů, pak na sudou dolarovou částku, pak na desetidolarovou částku a tak dále, dokud by se hodnota nedostala až na 20 dolarů, kterými jste platili:
„Dobře, 8,27 dolaru, 30 centů <vložení tří haléřů do ruky>, a dalších 20 je 50 centů <vložení dvou desetníků do ruky>, a dva čtvrťáky dělají devět <vložení dvou čtvrťáků do ruky>, a deset <dává jeden dolar>, a dalších deset dělá dvacet <dává desítku>.“
Tento přístup je pro lidi naprosto rozumný způsob udávání drobných – zaměřuje se na kulatá čísla, která můžeme snáze sčítat a odčítat, a soustředí se na pravou podstatu odčítání – rozdíl mezi dvěma odkazovanými částkami. V případě drobných je to rozdíl mezi tím, co jste měli zaplatit, a tím, co jste zaplatili (jinými slovy vaše drobné). Algoritmus svislého odčítání, který jsme se učili ve škole, toto neujasňuje – je to zapamatovatelný algoritmus, který může efektivně provést tužkou a papírem někdo, kdo si ho procvičil, a rozhodně mu lze dát smysl studiem naší číselné soustavy o základu deset zdůrazněním míst jednotlivých číslic a konceptu půjčování v případě potřeby.
Pokud jde o řešení podobných úloh na odčítání v hlavě, mám podezření, že většina lidí, kteří v tomto typu mentální matematiky vynikají, používá metodu podobnou diagramu číselné řady, který je uveden (údajně směšný příklad Common Core). Schopnost vizualizovat a rozdělit problém umožňuje někomu snadněji sledovat hodnoty a důsledněji a efektivněji produkovat správný výsledek, aniž by musel přikládat tužku k papíru.
Tady je vtipný příklad od rodiče, který zesměšňuje Common Core (našel jsem ho při vyhledávání obrázků na Googlu, ale myslím, že si vzpomínám, že jsem ho viděl kolovat e-mailem nebo na Facebooku):
Tento problém je trochu třešničkou na dortu v tom, že nevyžaduje žádné „půjčování“ ve standardním algoritmu, takže tento je mnohem jednodušší dokončit touto tradiční metodou. A přesto, když pomineme humor rodičů, smyslem modelu číselné řady není naučit nejefektivnější algoritmus pro provedení odčítání, ale pomoci žákům pochopit, co je to odčítání.
Jistě nenavrhuji, že bychom neměli učit standardní algoritmus odčítání, se kterým jsme všichni vyrůstali, a není to ani společný základ. V CCSS je skutečně označován jako „standardní algoritmus“ pro sčítání a odčítání a CCSS vyžaduje, aby jej žáci do konce čtvrté třídy zcela zvládli pro víceciferná čísla. Rovněž nenavrhuji, aby hlavním cílem hodin matematiky bylo umožnit žákům provádět složité mentální výpočty bez použití tužky a papíru. Cílem hodin matematiky by měla být podpora hlubokého porozumění mechanismům, které vyučujeme, a právě nucení žáků, aby se naučili například různé techniky odčítání, může žákům umožnit přistupovat k danému pojmu z různých směrů, používat různé nástroje a propojit jej s dalšími pojmy, které se učí. To je ve zkratce to, co by měla dělat výuka matematického porozumění na hluboké úrovni. A tato různorodost přístupů k budování hlubokého porozumění je přesně to, o co se snaží Common Core.
Přes všechny výtky vůči CCSS, a zejména matematickým standardům, které lidé tak rádi nenávidí s těmi představami neznámých metod a modelů nebo práce, která je nevysvětlitelně známkována, jsou ve skutečnosti docela dobré. Jejich myšlenkou – ve snaze vylepšit mnoho výukových standardů, které byly vydány dříve – je podpořit hloubku porozumění a na to jsou rozhodně zaměřeny. Nejsou dokonalé – jako středoškolský učitel matematiky mám určité problémy s tím, kolik je toho nacpáno do některých předmětů a na některá témata je možná kladen příliš velký důraz. Ale tyto věci se dají časem upravit, aniž by se musely úplně zrušit. Nebo i kdyby se nezlepšily, schopný a kompetentní učitel by měl zjistit, že CCSS jsou naprosto funkčním souborem standardů – zlepšením oproti tomu, co jsme měli předtím. K tomu, abychom mohli podle těchto standardů co nejlépe učit, potřebujeme co nejlepší skupinu učitelů a také silnější národní důraz na hodnotu vzdělávání. To poslední, co podle mého názoru jako pedagoga nyní potřebujeme, je začínat znovu s novým souborem standardů právě ve chvíli, kdy si zvykáme na Common Core.
.