Reddit – matematika – Jak vysoko sahá matematika? A jaké jsou obory vyšší než matematika?
Po vícerozměrném kalkulu a lineární algebře můžeš absolvovat sekvenci nazvanou Úvodní analýza, která je o rigorózním základu kalkulu a která zavádí jazyk diferenciálních forem, takže věty vektorového kalkulu lze zobecnit na více než tři rozměry.
Poté můžete absolvovat kurz s názvem Reálná analýza, který začíná Teorií míry a zabývá se tím, jak by se zobecnila integrace pro neobvyklé a zdánlivě patologické funkce reálné proměnné, a před ním nebo souběžně s ním je vhodné absolvovat Obecnou topologii; ta může obsahovat i látku o prostorech funkcí, které jsou předmětem dalšího kurzu.
Poté si můžete vzít Funkcionální analýzu, jejíž jádro je o problémech, které vznikají při lineární algebře nad nekonečně rozměrnými vektorovými prostory; doporučuje se i znalost Komplexní analýzy kvůli něčemu, čemu se říká spektrální teorie, která vám řekne, kdy můžete vzít výraz, který funguje dobře jako komplexně diferencovatelná funkce, a nahradit proměnnou lineárním operátorem. (To by mělo zahrnovat vzpomínku na Cayleyho-Hamiltonovu větu z lineární algebry, kde jste se naučili, že pokud rozšíříte charakteristický polynom čtvercové matice a pak nahradíte proměnnou touto maticí, dostanete nulovou matici.)
Poté byste pravděpodobně absolvovali tematické kurzy věcí jako teorie operátorů a teorie C*-algeber, které navíc vyžadují znalosti abstraktní algebry na úrovni absolventa; než se dostanete na tuto úroveň, dostanete se na postgraduální studium a budete mít takový kurz, což je běžný požadavek prvního ročníku.
To byl jen jeden z pokusů o nalezení „matematické cesty vpřed“ od Calculusu; existují i další:
Rozvoj integrace více proměnných v Úvodní analýze má v sobě spoustu hluboké geometrické látky, podobně jako Calculus III má spoustu zdánlivě náhodného geometrického obsahu; předchozí cesta byla nakonec o zobecnění derivace na funkce na nekonečně rozměrných vektorových prostorech, ale tato je o zobecnění na mnohostrany, které lokálně vypadají jako konečně rozměrný euklidovský prostor.
Nyní po Calculus III můžete nahlédnout do této problematiky v rámci bakalářského kurzu o diferenciální geometrii křivek a ploch, ale seriózní věci, které se týkají vícerozměrných mnohostěnů, jsou až na postgraduální úrovni, počínaje Riemannovou geometrií a pokračujíce semiremannovou geometrií (vlastně téměř každý postgraduální kurz s „geometrií“ v názvu, kromě zlověstné „algebraické geometrie“, je v tomto duchu). Přibližně v této době byste mohli chtít absolvovat Obecnou topologii a Diferenciální topologii, ale první z nich bude stejně obecným požadavkem.
Pokud znáte semiremannovskou geometrii, možná se budete chtít učit konkrétněji o Lorentzových mnohoúhelnících v obecné relativitě; pokud jde o Calabiho-Yauovy mnohoúhelníky teorie superstrun, ty nejlépe pochopíte prostřednictvím algebraické geometrie, a jak se dozvíte během studia matematiky, samotné matematické znalosti nejsou tak oddělené, jak by se mohlo zdát z výběru předmětů.
Pokud vás zajímají spíše aspekty řešení problémů v rámci předmětu Calculus II, moc toho pro vás není, i když Úvod do diferenciálních rovnic a Parciální diferenciální rovnice na bakalářské úrovni obsahují četné pytle s triky, stejně jako dvojice předmětů, které na Calculus ani na sebe navzájem tak úplně nenavazují, známé jako Diskrétní matematika a Úvod do teorie čísel (první z nich je mimo jiné úvodem do dvou úžasných a vysoce výpočetních oblastí matematiky zvaných Teorie grafů a Kombinatorika; obsahuje také pěkný úvod do logiky a teorie množin a často slouží jako úvod do psaní důkazů na univerzitách).
Existují hodiny diferenciálních rovnic nad touto úrovní, ale většina z nich je o tom, jak dokázat, že rovnice skutečně mají řešení a jak by se chovaly, ale ne tolik o uzavřených formách nebo sériových řešeních konkrétních rovnic (a studium PDE na vysoké úrovni v podstatě vyžaduje funkční analýzu a všechno tvrdé učení, které k tomu vede); existuje určitá synergie s Numerickou analýzou, studiem metod numerické aproximace, která je důležitější, než by se na první pohled mohlo zdát (na první pohled se můžete zbavit pravidla středního bodu, Newtonovy metody a dopředné Eulerovy metody, ale ty fungují tam, kde nelze najít řešení v uzavřeném tvaru, a numerické metody jsou ještě sofistikovanější).
Jelikož jsou pravděpodobnost a statistika založeny na takových pojmech, jako jsou průměry a plochy, je možné vycházet z jejich sofistikovanějších formulací pomocí kalkulu a teorie míry; v podstatě jakoukoli odbočku v tomto prvním sledu až po počáteční úroveň absolventa lze použít k zahájení stále vážnějšího studia statistiky.
Potřeby Analýzy byly hlavním motivačním faktorem pro vznik teorie množin, a přestože se z ní naučíte dost na to, abyste si vystačili (a neustále si ji opakovali) v ostatních hodinách matematiky založené na důkazech, je to stále plodná oblast výzkumu.
Technicky vzato ani nepotřebujete Calculus nebo Lineární algebru, abyste se naučili Abstraktní algebru, ale pomůže vám, když předtím budete mít „matematickou zralost“ z hodin Lineární algebry.
Abstraktní algebra stojí za algebraickou geometrií (v podstatě studium množin řešení polynomiálních rovnic ve více než jedné proměnné), algebraickou topologií (studium algebraických invariantů pro klasifikaci topologických prostorů) a překvapivým množstvím věcí, které si lze pomoci výpočty (existuje dokonce softwarový balík právě pro komutativní algebru, nazvaný CoCoA).
Stojí také za algebraickou teorií čísel, která čerpá z překvapivého množství oblastí matematiky, stejně jako další významné odvětví teorie čísel, analytická teorie čísel (komplexní analýza je zde určitým předpokladem); zpočátku byste neuhodli, že ke studiu přirozených čísel je třeba zapojit téměř celý zbytek matematiky.
Oh, podobně jako byla Analýza hlavním motivem Teorie množin, byla Algebra hlavním motivem Teorie kategorií; nejsou však zcela oddělené, protože grupy a kruhy jsou popsány jako „množiny s…“, a ve strukturách Analýzy rozhodně existují kategoriálně-teoretické poznatky.
Nebyl to ani nijak zvlášť důkladný výklad, ale stačí říci, že obory matematiky nejsou zcela uspořádány podle obtížnosti nebo podle toho, jak by se je měl student učit; nejsou ani uspořádány do stromu, ale spíše do digrafu. (Také pojmy „zcela uspořádaný“, „strom“ a „digraf“ by byly obsaženy v diskrétní matematice.)
Často se pořadí, v němž by se student nejsnáze naučil matematiku, liší od logického pořadí, v němž se znalosti budují; zejména specializované kurzy o základech matematiky jsou na úrovni absolventů, ale předtím můžete pracovat, jako by základy byly zdravé.
Přesto, pokud je pro určitý předmět vyžadována technika řešení problémů, měl by být tento předmět absolvován až po předmětu, ve kterém se tato technika vyučuje, proto první kurz komplexních proměnných vyžaduje alespoň Calculus III, kde se nejprve probírají lineární integrály
.