Du tager fejl med hensyn til Common Core-matematik: Beklager, forældre, men det giver mere mening, end I tror
Hvor alle har set det foruroligende billede af en tredje klasses opgave, hvor han får en karakter for at sige, at 5 x 3 = 5 + 5 + 5 + 5 = 15. Hvis du gik glip af det, er her videoer og historier fra flere grupper, der revser Common Core for det: Business Insider, IFLScience, Huffington Post og mom.me – og jeg er sikker på, at du kan finde mange flere, da billedet af dette barns opgave er gået viralt.
Du husker måske også billedet af en check, der gik viralt for ikke så længe siden – en mand udfyldte en check til sin søns skole ved at forsøge at skrive checkbeløbet i ti rammer. Der har været utallige andre lignende billeder med tilhørende hån, der er gået viralt via sociale medier og e-mail (mere om disse eksempler om et øjeblik).
I den nationale diskussion om USA’s opfattede uddannelsesmæssige problemer er Common Core-standarderne blevet lidt af en samlende punchingbag, især med hensyn til matematik i folkeskolen. Alle synes at elske et billede af et testspørgsmål, en hjemmeopgave eller et korrigeret arbejde, der bagvasker Common Core. Du kender typen – spørgsmålet beder eleverne om at vise et tilsyneladende simpelt elementært matematisk emne, men det kræver, at svaret skal gives på en tilsyneladende overdrevent kompliceret måde. Vi kigger på det og siger: “Hvorfor kan de ikke bare gøre det på den normale måde?!”. Vi bliver foruroliget over, at noget, som vi ser som så grundlæggende og elementært, fremstilles på en ny og ukendt måde, og vi bliver forargede, når vi ser en elevs arbejde blive bedømt ned, selv om det ser ud til at være korrekt.
Det store flertal af kommentarerne og dækningen af disse virale billeder og historier har været meget kritiske over for Common Core. Her er det dog sådan, at al denne kritik koger ned til en grundlæggende misforståelse af Common Core State Standards (CCSS).
Næsten alle eksempler på et af disse angreb på Common Core falder ind under en af to kategorier:
- De personer, der spreder eksemplet (og smider det i papirkurven), har overset pointen med den pågældende Common Core-standard
- Den underviser, der er ansvarlig for eksemplet, har overset pointen med den pågældende Common Core-standard
Tænk på tjekket med ti rammer (som falder ind under den første kategori) – faderen var frustreret over en repræsentation af tal, som han ikke var bekendt med, og det passede fint ind i hans forudfattede forestilling om, at Common Core er forfærdelig, og kun tjener til at forvirre elever og forældre. Her er en artikel, der gør et mere udførligt stykke arbejde med at spidse hans svar, men kort sagt er denne far ked af det, fordi han ikke umiddelbart kan genkende og forstå et begreb, som hans andenklasseselev bliver undervist i. I stedet for at forsøge at finde mening i det og forstå formålet, latterliggør han det, og andre tilsvarende frustrerede forældre hopper med på vognen.
Faktisk er ti rammer en måde at visuelt modellere vores tællesystem på, som hjælper børn til bedre at forstå det. Det var aldrig meningen, at de skulle erstatte vores nuværende måde at skrive tal på – de er designet som en supplerende hjælp til at hjælpe til en dybere forståelse. Det kan være frustrerende for forældre at blive forbløffet over børnenes lektier i begyndelsen, især når de er i de første klasser. Der er helt sikkert lærere derude, som ikke altid rammer plet med en opgave, eller som ikke leverer ressourcer, så forældrene kan forstå noget, der måske er nyt for dem, men i sidste ende må vi ikke glemme, at vi alle er ude efter de bedste uddannelsesresultater for vores børn. Og lad os være ærlige: Den måde, vi har undervist i matematik på i generationer i USA, har ikke fungeret for alle, og derfor har vi en meget stor del af vores befolkning, som simpelthen siger: “Jeg kan ikke regne matematik”. Så hvorfor er vi så lukket af for at overveje nye måder at konceptualisere matematikkens grundlæggende ideer på?
Og tænk nu på 5 x 3-spørgsmålet. Ifølge IFLScience (som jeg i øvrigt elsker) udtrykte Reddit- og Imgur-kommentatorer deres forargelse over “den overdrevent pedantisk ‘efter-bogen’-tænkning”. Det hele læses som en anklage mod Common Core, der kvæler matematisk tænkning til fordel for strenge og arbitrære definitioner og algoritmer. Og alligevel er dette en helt forkert fortolkning af Common Core. Forargelsen er berettiget, den er bare malplaceret – dette eksempel er af den anden type, som jeg nævnte ovenfor, hvor underviseren har misforstået og misbrugt standarderne med en alt for snæver bogstavelig læsning af dem.
Den pågældende standard siger: “Fortolk produkter af hele tal, f.eks. fortolk 5 × 7 som det samlede antal genstande i 5 grupper med 7 genstande i hver.” Denne lærer har tydeligvis læst denne standard som om, at den eneste måde at betragte 5 x 7 (eller i tilfældet med den pågældende opgave 5 x 3) på er som 5 grupper med hver 7 genstande. Så for 5 grupper af 3 genstande kan det se ud som 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3. Og alligevel betyder “f.eks.” “for eksempel”, ikke “Dette er den eneste gyldige fortolkning”. En rimelig læsning af standarden af en matematisk kyndig person bør tillade en fortolkning af 5 x 3 som 5+5+5 eller 3 grupper af 5 genstande hver, især når man tænker på, at fire standarder længere nede på listen er den om kommutation (sammen med andre egenskaber) i multiplikation, f.eks. 5 x 3 er lig med 3 x 5 (bemærk, det e.g., jeg lige har brugt, betyder, at dette kun er et eksempel; egenskaben gælder også for uendeligt mange andre talpar – kan du se, hvordan det fungerer?). Det endelige mål med disse standarder er at hjælpe vores børn med at udvikle deres grundlæggende forståelse af vores talsystem og af grundlæggende aritmetik, og hvis en elev intuitivt ved, at 5 x 3 er lig med 3 x 5, og at de begge kan repræsenteres som 3 rækker med 5 genstande eller 5 rækker med 3 genstande eller 3 stakke med 5 mønter eller 5 bunker med 3 æbler eller … ja, du forstår det hele, så har vi nået vores mål!
Interpretation af multiplikation på den måde, der er beskrevet ovenfor, er ikke spor nyt; det er snarere ret standard for at forstå, hvad multiplikation er. Måske er ideen om at få eleverne til at vise eksemplet på papir mere et nyt fænomen, og ja, Common Core anbefaler bestemt, at underviserne opfordrer eleverne til at interagere med måder at modellere de matematiske begreber, de lærer, på for bedre at kunne mestre dem. Det kræver imidlertid ikke en stringent overholdelse af snævre, arbitrært valgte fortolkninger af disse modeller, og undervisere, der fokuserer deres undervisning på den måde, gør det forkert.
Til et andet eksempel kan man se dette billede, som jeg først modtog i en videresendt e-mail (denne særlige version af det blev tilsyneladende taget fra webstedet for David Van Sant, en nylig republikansk kandidat til Georgia State House, som tabte til en republikansk kollega), om et matematikopgave, som er gået viralt og har været med til at opildne folk mod Common Core.
Om første øjekast kan diagrammet over Common Core-tilgangen virke unødigt kompliceret, især sammenlignet med opsætningen af den standard-subtraktionsalgoritme, som vi alle er vokset op med (for ikke at nævne, at billedet viser opsætningen af standardalgoritmen, men ikke faktisk viser processen, som faktisk ikke er helt så enkel med den låntagning, der vil være nødvendig). De fleste vil se på diagrammet med tallinjen, ved et blik se en masse trin, der ikke ser ud til at give meget mening, og acceptere det som yderligere beviser til støtte for en allerede spirende forargelse over Common Core, til dels takket være en sund side skål af bekræftelsesbias.
Et nærmere kig på metoden kan imidlertid afsløre, at brugen af tallinjen (et vigtigt visuelt værktøj i aritmetik og algebra) gør det muligt for denne metode at komme ind på en anden måde at tænke på addition og subtraktion og deres forhold til hinanden – en afgørende måde at tænke på for elever, som vi gerne vil have til at forstå aritmetik på et tilstrækkeligt dybt niveau til at lette indlæringen af højere niveauer af matematik på en meningsfuld måde (hvilket i det væsentlige bør være alle elever).
Hvis du endnu ikke har forstået det andet diagram, så tænk på den måde, som folk plejede at give byttepenge i butikken (måske lidt af en tabt kunst i dag). Lad os antage, at du købte noget, der kostede 8,27 $ og betalte med 20 $. Ekspedienten ville starte ved værdien af den købte vare (i dette tilfælde 8,27 $) og derefter begynde med byttepengene og bringe dig først til 8,30 $, derefter til 50 cent-niveauet, derefter til et lige dollarbeløb, derefter et ti-dollarbeløb osv., indtil værdien blev bragt op til de 20 $, du betalte med:
“Okay, 8,27 dollars, 30 cent <at lægge tre pennies i hånden>, og 20 mere er 50 cent <at lægge to dimes i hånden>, og to quarters giver ni <at lægge to quarters i hånden>, og ti <at give en dollar>, og ti mere giver tyve <at give en ti>.”
Denne fremgangsmåde er en helt fornuftig måde at give byttepenge på for mennesker – den fokuserer på runde tal, som vi nemmere kan addere og trække fra, og den fokuserer på den sande essens af subtraktion – forskellen mellem de to refererede beløb. I tilfældet med byttepenge er det forskellen mellem det, du skulle have betalt, og det, du betalte (med andre ord, din byttepenge). Den lodrette subtraktionsalgoritme, som vi lærte i skolen, gør ikke dette klart – det er en udenadslært algoritme, der kan udføres effektivt med blyant og papir af en person, der har øvet sig i den, og den kan helt sikkert gøres meningsfuld gennem studier af vores base ti-tallesystem ved at fremhæve de forskellige cifres placering og begrebet at låne, når det er nødvendigt.
Når det drejer sig om at lave subtraktionsproblemer som dette i hovedet, formoder jeg, at de fleste mennesker, der udmærker sig ved denne type mental matematik, bruger en metode, der ligner det viste tallinjediagram (det angiveligt latterlige Common Core-eksempel). Evnen til at visualisere og opdele problemet giver en person mulighed for lettere at holde styr på værdierne og for mere konsekvent og effektivt at producere det korrekte resultat uden at sætte blyant til papir.
Her er et morsomt eksempel fra en forælder, der gør grin med Common Core (jeg fandt det i en Google-billedsøgning, men jeg mener at kunne huske, at jeg har set dette eksempel gå rundt via e-mail eller Facebook):
Dette problem er en smule kirsebærsorteret, idet det ikke kræver noget “lån” i standardalgoritmen, så dette problem er meget nemmere at løse ved hjælp af den traditionelle metode. Og alligevel, forældrenes humor til side, er pointen med talelinjemodellen ikke at undervise i den mest effektive algoritme til at udføre subtraktion, men at hjælpe eleverne med at forstå, hvad subtraktion er.
Jeg foreslår bestemt ikke, at vi ikke skal undervise i den standardalgoritme for subtraktion, som vi alle er vokset op med, og det er Common Core heller ikke. I CCSS omtales den faktisk som “standardalgoritmen” for addition og subtraktion, og CCSS kræver, at eleverne skal beherske den fuldstændigt for flercifrede tal inden udgangen af fjerde klasse. Jeg antyder heller ikke, at det primære mål med matematikundervisningen skal være at sætte eleverne i stand til at udføre kompliceret mental matematik uden at bruge blyant og papir. Målet med matematiktimerne bør være at fremme en forståelse på et dybt niveau af de mekanismer, vi underviser i, og det er her, hvor det at tvinge eleverne til at lære en række forskellige teknikker til subtraktion f.eks. kan give eleverne mulighed for at nærme sig et begreb fra en række forskellige retninger, bruge en række forskellige værktøjer og knytte det til andre begreber, de lærer. Dette er kort sagt, hvad undervisning i matematiske forståelser på et dybt niveau bør gøre. Og denne variation af tilgange til at opbygge dybe forståelser er præcis det, som Common Core søger at gøre.
For alle de klager over CCSS, og især de matematiske standarder, som folk elsker at hade med disse billeder af ukendte metoder og modeller eller af arbejde, der på uforklarlig vis er blevet nedprioriteret, er de faktisk ret gode. Tanken bag dem – i et forsøg på at forbedre mange af de læringsstandarder, der var ude før – er at fremme dybdeforståelse, og det er de helt klart gearet til. De er ikke perfekte – som matematiklærer på gymnasiet har jeg nogle problemer med, hvor meget der er proppet ind i visse fag og visse emner, som måske er overbetonet. Men disse ting kan justeres efterhånden som tiden går, uden at man behøver at skrotte dem helt. Eller selv hvis de ikke bliver forbedret, bør en dygtig og kompetent lærer finde CCSS absolut være et brugbart sæt standarder – en forbedring i forhold til det, vi havde før. Det, vi har brug for for at gøre det bedste arbejde med at undervise med disse standarder, er den bedst mulige gruppe af lærere samt en stærkere national vægt på værdien af uddannelse. Det sidste, vi har brug for lige nu, er efter min mening som underviser, at starte forfra med et nyt sæt standarder, netop som vi er ved at vænne os til Common Core.