Faktorsætningen

Faktorsætningen

Relaterede sider
Remaindersætning
Løsning af kubiske ligninger
Remainder og faktor Sætninger
Mere Algebra-lektioner

Remainder-sætning og faktorsætning

Hvad er faktorsætningen?

Når f(x) er divideret med (x – a), får vi
f(x) = (x – a)Q(x) + resten

Fra restsatsen får vi
f(x) = (x – a)Q(x) + f(a)

Hvis f(a) = 0, så er resten 0, og
f(x) = (x – a)Q(x)

Vi kan så sige, at (x – a) er en faktor af f(x)

Faktorsætningen siger, at
(x – a) er en faktor af polynomiet f(x), hvis og kun hvis f(a) = 0

Og bemærk, at de følgende udsagn er ækvivalente for ethvert polynomium f(x).

• (x – a) er en faktor af f(x).
• Residensen er nul, når f(x) divideres med (x – a).
• f(a) = 0.
• Løsningen til f(x) = 0 er a.
• Nulpunktet for funktionen f(x) er a.

Eksempel:
Bestem, om x + 1 er en faktor i følgende polynomier.
a) 3×4 + x3 – x2 + 3x + 2
b) x6 + 2x(x – 1) – 4

Løsning:
a) Lad f(x) = 3×4 + x3 – x2 + 3x + 2
f(-1) = 3(-1)4 + (-1)3 – (-1)2 +3(-1) + 2
= 3(1) + (-1) – 1 – 3 + 2 = 0
Derfor, x + 1 er en faktor af f(x)

b) Lad g(x) = x6 + 2x(x – 1) – 4
g(-1) = (-1)6 + 2(-1)( -2) -4 = 1
Derfor er x + 1 ikke en faktor af g(x)

Hvordan bruger man faktorsætningen og restsætningen?

Hvad sætningerne er, og hvordan de kan bruges til at finde den lineære faktorisering af et polynomium?

Restsætningen siger, at hvis et polynomium, f(x), divideres med x – k, så er resten lig med f(k).

Faktorsætningen siger, at polynomiet x – k er en faktor af polynomiet f(x), hvis og kun hvis f(k) = 0.

Eksempel:
Lad f(x) = 2×3 – 3×2 – 5x + 6
Er x – 1 en faktor?
Find alle de andre faktorer.

• Vis videolektion

Hvordan bruger man faktorsætningen til at faktorisere polynomier?

Eksempler:

1. Faktor P(x) = 3×3 – x2 – 19x + 8

2. Faktor P(x) = 2×3 – 9×2 + x + 12

• Vis videolektion

Hvordan finder man de resterende faktorer af et polynomium?

En lektion om faktorteoremet og fuldstændig faktorisering af et polynomium.

1. At lære sammenhængen mellem faktorsætningen og restsætningen.
2. At lære at bruge faktorsætningen til at bestemme, om et binomium er en faktor af et givet polynomium eller ej.
3. At bruge syntetisk division sammen med faktorsætningen som hjælp til at faktorisere et polynomium.

Eksempel:
Faktoriserer x4 – 3×3 – 7×2 + 15x + 18

• Vis videolektion

Anvendelse af faktorsætningen

Hvordan bruger man faktorsætningen til at afgøre, om x – c er en faktor af polynomiet f?

Eksempler:

1. f(x) = 4×3 – 3×2 – 8x + 4, c = 3
2. f(x) = 3×4 – 6×3 – 5x + 10, c = 1
3. f(x) = 3×6 + 2×3 – 176, c = -2
4. f(x) = 4×6 – 64×4 – x2 – 16, c = 4
5. f(x) = 2×4 – x3 – 2x – 1, c = -1/2

• Vis videolektion

Hvordan forklarer man faktorsætningen?

Hvis f(x) er et polynomium, og f(p) = 0, så er (x – p) en faktor af f(x)

Hvis f(x) er et polynomium, og f(-q) = 0, så er (x + q) er en faktor af f(x)

• Vis videolektion

Beskrivelse og eksempler på faktorsætningen

Eksempler:
Bevis, at (x + 1) er en faktor af P(x) = x2 + 2x + 1

Er (x + 2) en faktor af x3 + 4×2 – x – 3?

• Vis videolektion

Tøv den gratis Mathway-regnemaskine og problemløser nedenfor for at øve dig i forskellige matematiske emner. Prøv de givne eksempler, eller indtast dit eget problem, og tjek dit svar med trin-for-trin-forklaringerne.