Hyperbel

Hyperbel

Vidste du, at et rumfartøjs bane nogle gange kan være en hyperbel?

Et rumfartøj kan bruge tyngdekraften fra en planet til at ændre sin bane og med høj hastighed drive det væk fra planeten og tilbage ud i rummet ved hjælp af en teknik kaldet “gravitationsslynge”.

Hvis dette sker, er rumfartøjets bane en hyperbel.

(Leg med dette på Gravity Freeplay)

Definition

En hyperbel er to kurver, der er som uendelige buer.

Hvis man kun ser på den ene af kurverne:

Alle punkter P er tættere på F end på G med et eller andet konstant beløb

Den anden kurve er et spejlbillede og er tættere på G end på F.

Med andre ord er afstanden fra P til F altid mindre end afstanden P til G med et eller andet konstant beløb. (Og for den anden kurve er P til G altid mindre end P til F med dette konstante beløb.)

Hver bue kaldes en gren, og F og G kaldes hver især et fokus.

Før selv et forsøg:

Forsøg at flytte punkt P: Hvad bemærker du ved længderne PF og PG?

Forsøg også at placere punkt P på den anden gren.

Der er også nogle andre interessante ting:

På diagrammet kan du se:

• en symmetriakse (der går gennem hvert fokus)
• to toppunkter (hvor hver kurve laver sin skarpeste drejning)
• afstanden mellem toppunkterne (2a på diagrammet) er konstanten forskellen mellem længderne PF og PG
• de to asymptoter, som ikke er en del af hyperbolen, men som viser, hvor kurven ville gå hen, hvis den fortsatte uendeligt i hver af de fire retninger

Og, strengt taget er der også en anden symmetriakse, der går i midten og adskiller de to grene af hyperbolen.

Konisk snit Du kan også få en hyperbel, når du skærer gennem en dobbeltkegle. Snittet skal være stejlere end for en parabel, men behøver ikke at være parallelt med keglens akse, for at hyperbolen er symmetrisk. Så hyperbolen er et keglesnit (et snit af en kegle).

Ligning

Gennem at placere en hyperbel på en x-y-graf (centreret over x-aksen og y-aksen) er ligningen for kurven:

x2a2 – y2b2 = 1

Også:

Det ene toppunkt er ved (a, 0), og det andet er ved (-a, 0)

Assymptoterne er de lige linjer:

• y = (b/a)x
• y = -(b/a)x

(Bemærk: ligningen svarer til ellipsens ligning: x2/a2 + y2/b2 = 1, bortset fra et “-” i stedet for et “+”)

Ekcentricitet

En gren af en hyperbel kan også defineres som en kurve, hvor afstandene for ethvert punkt fra:

• et fast punkt (brændpunktet) og
• en fast ret linje (retningslinjen)altid står i samme forhold.

Dette forhold kaldes excentricitet, og for en hyperbel er det altid større end 1.

Ekcentriciteten (normalt vist som bogstavet e) viser, hvor “ukurvet” (varierende fra at være en cirkel) hyperbolen er.

P er på dette diagram:

• P er et punkt på kurven,
• F er brændpunktet og
• N er punktet på direktrixen, så PN er vinkelret på direktrixen.

Ekcentriciteten er forholdet PF/PN og har formlen:

e = √(a2+b2)a

Ved anvendelse af “a” og “b” fra ovenstående diagram.

Latus Rectum

Latus Rectum er linjen gennem brændpunktet og parallel med direktrixen. Længden af Latus Rectum er 2b2/a.

1/x

Den reciprokke funktion y = 1/x er en hyperbel!