Sir Michael Atiyah nekrolog
Den sidste gang jeg mødte Michael Atiyah, der er død i en alder af 89 år, var på Tate Modern i London; ikke det mest sandsynlige sted at støde på Storbritanniens nok største matematiker siden Isaac Newton, men helt i overensstemmelse med hans omfattende entusiasme for sit fag. Det var i juni 2012, og jeg deltog sammen med ham og den flamboyante franske matematiker Cédric Villani i en paneldiskussion: Mathematics, a Beautiful Elsewhere. Titlen siger det hele.
Vi har svovlsyre at takke for Atiyahs beslutning om at blive matematiker. Tidligt i 1940, da Storbritannien og Frankrig kæmpede om hans hjemland Libanon, sendte hans forældre ham på Victoria College i Cairo. I et interview fra 1984 fortalte han, at han der blev meget interesseret i kemi, men at han til sidst besluttede, at det ikke var noget for ham at lave “svovlsyre og alt den slags”: “Lister med fakta, bare fakta …” Fra det tidspunkt blev matematikken hans passion. “Jeg har aldrig seriøst overvejet at gøre noget andet.” Atiyahs arbejde skulle få en dybtgående indflydelse på nutidens matematik.
Atiyah var geometer i betydningen visuel tænkning allieret med abstrakt symbolisme, en ny holdning, der fejede gennem matematikken i midten af det 20. århundrede. Man tænkte på det som geometri, men skrev om det som algebra, og meget esoterisk algebra oven i købet. Hans forskning deler sig i fire hovedperioder, der til en vis grad overlapper hinanden – i 1950’erne algebraisk geometri, i 60’erne og begyndelsen af 70’erne K-teori, i 60’erne til 80’erne indeksteori og i slutningen af 70’erne til midten af 80’erne gaugeteori, hvor hans idéer fik stor indflydelse på kvantefysikken.
Algebraisk geometri udviklede sig oprindeligt ud fra en dyb forbindelse mellem geometri og algebra, som René Descartes fremmede i 1600-tallet. Man starter med Euklids plan og introducerer koordinater – talpar, der beskriver et punkts placering, på samme måde som bredde- og længdegrader bestemmer et punkt på Jordens overflade. Geometriske egenskaber ved kurver kan derefter beskrives ved hjælp af algebraiske ligninger, så spørgsmål inden for geometri kan løses ved hjælp af algebra og omvendt.
I slutningen af 1800-tallet og begyndelsen af 1900-tallet dukkede der en ny dreng op i den matematiske blok: topologi, hvor geometriske former kan deformeres, som om de var lavet af elastisk materiale. Klassiske egenskaber som længder og vinkler mister deres betydning og erstattes af begreber som at være forbundet, knudret eller at have et hul som en doughnut.
Topologi viste sig at være grundlæggende for mange områder af matematikken. Der blev udviklet teknikker til at knytte forskellige “invarianter” til et topologisk rum, som afslører, hvornår rum kan eller ikke kan deformeres i hinanden.
En af de mest kraftfulde invarianter, homologi, blev etableret af Emmy Noether, den største kvindelige matematiker i slutningen af 1800-tallet og begyndelsen af 1900-tallet. Hun omfortolkede, i form af abstrakt algebra, rudimentære metoder til at tælle træk som f.eks. antallet af huller i en overflade.
Noether forklarede nemlig, at vi ud over at tælle huller og tilhørende strukturer også kan spørge, hvordan de kombineres, og uddrage topologisk information af svaret.
Atiyah begyndte sin forskerkarriere inden for algebraisk geometri, men under indflydelse af sin vejleder, William Hodge, på Cambridge, gik han hurtigt over til et tilstødende område, differentialgeometri, som studerer begreber som f.eks. krumning – hvordan et rum afviger fra Euklids flade plan. Her gjorde han store fremskridt i samspillet mellem algebraisk geometri, differentialgeometri og topologi.
Euclids undersøgelser af en cirkel omfatter dens tangenter: lige linjer, der berører den i et punkt, ligesom en vej, der støtter et cykelhjul. På samme måde har en kugle en familie af tangentplaner, en for hvert punkt på dens overflade. En generel familie af denne art kaldes et vektorbundt: “bundt”, fordi kuglen binder alle planerne sammen, og “vektor”, fordi højere dimensionelle analoger af linjer og planer kaldes vektorrum.
Topologien af et vektorbundt giver oplysninger om det underliggende rum. Tangenterne til en cirkel danner f.eks. en cylinder. Som bevis: drej hver tangentlinje i en ret vinkel ud af cirklens plan, og du får en cylinder. Der er et andet vektorbundt forbundet med en cirkel, hvor linjerne er snoet, så de danner det berømte Möbiusbånd, en overflade, der topologisk set adskiller sig fra en cylinder, da den kun har én side. Atiyah anvendte disse idéer på “elliptiske kurver”, som faktisk er donutformede overflader med interessante talteoretiske egenskaber.
Hans næste emne, K-teori, er en vidtrækkende udvidelse af Noethers homologiinvariant. En cylinder og et Möbius-bånd er topologisk forskellige, fordi deres tilknyttede bundter har forskellige drejninger. K-teorien udnytter vektorbunke til at indfange højere dimensionelle analoger af sådanne vridninger.
Området gennemgik en periode med hurtig udvikling i 60’erne, stimuleret af bemærkelsesværdige forbindelser til andre store områder af matematikken, og det gav topologer en kraftfuld værktøjskasse af invarianter.
Atiyah var, ofte sammen med andre førende matematikere, en af de drivende kræfter bag denne udvikling. Vigtige temaer var René Thoms kobordisme-teori (hvordan en cirkel deler sig i to, når man bevæger sig nedad i et par bukser fra taljen til benhullerne, hvilket kun er gjort for flerdimensionale rum) og periodicitetssætningen, der først blev bevist af Raoul Bott, og som viser, at højere K-grupper gentages i en cyklus af længde otte.
Indeks-teori har sin oprindelse i den iagttagelse, at topologiske træk i et landskab, såsom antallet af bjergtoppe, dale og pas, er relateret til hinanden. Hvis man vil slippe af med en bjergtop ved at flade den ud, skal man f.eks. også slippe af med et pas. Indekset organiserer sådanne fænomener og kan under passende omstændigheder bruges til at bevise, at der må findes en top i et bestemt område.
Et landskab er en metafor for grafen for en matematisk funktion, og en omfattende generalisering relaterer antallet af løsninger på en differentialligning til et mere esoterisk topologisk indeks.
Differentialligninger relaterer ændringshastigheder for forskellige størrelser til hinanden og er allestedsnærværende i matematisk fysik; Atiyah-Singer-indeks-sætningen, der blev bevist sammen med den amerikanske matematiker Isadore Singer i 1963, afslører en meget betydningsfuld forbindelse mellem et topologisk indeks og løsningerne af en differentialligning.
I en passende matematisk sammenhæng kan dette føre til et bevis for, at en løsning må eksistere, så Atiyah-Singer-indekset har udbredte anvendelser i fysikken. Fyrre år efter deres opdagelse blev parret i 2004 sammen tildelt Abel-prisen fra Norges Videnskabsakademi.
Gaugeteori opstod i fysikken og formaliserede visse symmetrier for kvantefelter og -partikler. Det første eksempel opstod i James Clerk Maxwells ligninger for det elektromagnetiske felt (1861), hvor visse matematiske transformationer kan anvendes uden at ændre fysikken.
I 1954 udvidede Chen Ning Yang og Robert Mills denne idé til at omfatte den stærke vekselvirkning, som holder sammen på hver kvantepartikel i atomkernen. Symmetri viste sig at være afgørende for kvantemekanikken – f.eks. virker den nyligt opdagede Higgs-boson, som giver partikler masse, ved at bryde visse symmetrier – og gaugesymmetrier har enorm betydning.
Atiyah bidrog med vigtige idéer til deres matematik og brugte sin indeksteori til at studere instantoner (partikler, der blinker ind og straks blinker ud igen) og magnetiske monopoler (partikler som en magnetisk nordpol uden nogen tilsvarende sydpol).
I 1983 brugte hans ph.d.-studerende Simon Donaldson disse idéer til at bevise en bemærkelsesværdig sætning: I modsætning til hvad næsten alle topologer forventede, har det firedimensionelle rum uendeligt mange forskellige differentierbare strukturer – helt anderledes i denne henseende end nogen anden dimension. Den bredere kontekst for alt dette arbejde er superstrengteorien, en formodet forening af kvanteteori og Albert Einsteins relativitetsteori.
Atiyah blev født i London som et af fire børn af Edward, en libanesisk embedsmand, og hans kone, Jean (født Levens), som var født i Yorkshire af skotsk afstamning. Familien flyttede til Khartoum i Sudan, hvor Michael gik i skole, inden han kom på Victoria College i Cairo og derefter flyttede til Manchester Grammar School som 16-årig for at forberede sig til Cambridge. Han har altid været meget interesseret i matematik. En inspirerende lærer introducerede ham til projektiv geometri og William Rowan Hamiltons algebra af kvaternioner, og han læste om talteori og gruppeteori – alt sammen noget, der klart påvirkede hans senere matematiske interesser.
I 1949, efter to års værnepligt, studerede han på Trinity College, Cambridge, hvor han blev for at tage sin ph.d. Han havde stillinger ved Institute for Advanced Study i Princeton (herunder et professorat 1969-72), og ved Cambridge og Oxford, hvor han var Savilian professor i geometri 1963-69 og Royal Society research professor 1973-90. Han blev medlem af Royal Society i 1962 og var selskabets præsident fra 1990 til 1995. I 1966 modtog han en Fields medalje, den højeste udmærkelse for en matematiker.
I 1990 blev han master of Trinity College, Cambridge, og direktør for Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, Cambridge. Han blev slået til ridder i 1983 og udnævnt til medlem af Order of Merit i 1992. Efter at have trukket sig tilbage fra Trinity i 1997 flyttede han sammen med sin kone, Lily (født Brown), som han havde giftet sig med i 1955, til Edinburgh.
Atiyah var altid en ivrig fortaler for offentligt engagement og holdt populære foredrag om matematikkens skønhed og sin livslange passion for emnet. Han var lille og kompakt og kunne med sin stille og præcise fremførelse ikke desto mindre holde et publikum tryllebundet. Det er sådan, jeg husker ham den dag i Tate Modern, hvor han fortalte ikke-matematikere, hvorfor vi gør det, hvad det tjener til, og hvordan det føles.
Han og Lily havde tre sønner: John, David og Robin. John døde i en klatreulykke i 2002, og Lily døde sidste år. Michael efterlader sig David og Robin.
– Michael Francis Atiyah, matematiker, født den 22. april 1929; død 11. januar 2019
{{{topLeft}}}
{{{bottomLeft}}}
{{{topRight}}
{{{bottomRight}}}
{{/goalExceededMarkerPercentage}}
{{/ticker}}
{{heading}}
{{#paragraphs}}
{{.}}
{{/paragraphs}}}{{highlightedText}}
- Del på Facebook
- Del på Twitter
- Del via e-mail
- Del på LinkedIn
- Del på Pinterest
- Del på WhatsApp
- Del på Messenger