Vinkelacceleration
Partikel i to dimensionerRediger
I to dimensioner er vinkelaccelerationen den hastighed, hvormed partikelens to-dimensionelle vinkelhastighed i omløbet om oprindelsen ændres. Den øjeblikkelige vinkelhastighed ω på ethvert tidspunkt er givet ved
ω = v ⊥ r {\displaystyle \omega ={\frac {v_{{\perp }}{r}}}
,
hvor r {\displaystyle r}
er afstanden fra oprindelsen og v ⊥ {\displaystyle v_{{\perp }}
er den tværradiale komponent af den øjeblikkelige hastighed (dvs. den komponent, der er vinkelret på positionsvektoren), som efter konvention er positiv for bevægelse mod uret og negativ for bevægelse med uret.
Dermed er partiklens øjeblikkelige vinkelacceleration α givet ved
α = d d d t ( v ⊥ r ) {\displaystyle \alpha ={\frac {d}}{dt}}({\frac {v_{{\perp }}{r}}})}
.
Udvidelse af højre side ved hjælp af produktreglen fra differentialregning, bliver dette til
α = 1 r d v ⊥ d t – v ⊥ r 2 d r d t {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{r}}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}}-{\frac {v_{{\perp }}{r^{2}}}}{\frac {dr}{dt}}}}
.
I det særlige tilfælde, hvor partiklen gennemgår en cirkelbevægelse om oprindelsen, er d v ⊥ d t {\displaystyle {\frac {dv_{{\perp }}{dt}}}
bliver blot den tangentielle acceleration a ⊥ {\displaystyle a_{{\perp }}}
, og d r d t {\displaystyle {\frac {dr}{dt}}}
forsvinder (da afstanden fra oprindelsen forbliver konstant), så ovenstående ligning forenkles til α = a ⊥ r {\displaystyle \alpha ={\frac {a_{{\perp }}{r}}}
.
I to dimensioner er vinkelacceleration et tal med plus- eller minustegn, der angiver orientering, men som ikke peger i en retning. Tegnet tages konventionelt som positivt, hvis vinkelhastigheden øges mod uret eller aftager i urets retning, og tegnet tages negativt, hvis vinkelhastigheden øges i urets retning eller aftager i urets retning. Vinkelaccelerationen kan så betegnes som en pseudoskalar, en numerisk størrelse, der skifter fortegn under en paritetsinversion, såsom invertering af den ene akse eller ombytning af de to akser.
Partikel i tre dimensionerRediger
I tre dimensioner er den orbitale vinkelacceleration den hastighed, hvormed den tredimensionale orbitale vinkelhastighedsvektor ændrer sig med tiden. Den øjeblikkelige vinkelhastighedsvektor ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
på et hvilket som helst tidspunkt er givet ved ω = r × v r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} } }{r^{2}}}}
,
hvor r {\displaystyle \mathbf {r} }
er partikelens positionsvektor og v {\\displaystyle \mathbf {v} }
er dens hastighedsvektor.
Dermed er den orbitale vinkelacceleration vektoren α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}
defineret ved α = d d d t ( r × v r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}={\frac {d}}{dt}}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}})}
.
Ved udvidelse af denne afledning ved hjælp af produktreglen for krydsprodukter og den almindelige kvotienteregel får man:
α = 1 r 2 ( r × d v d t + d r d t × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = 1 r 2 ( r × a + v × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = r × a r 2 – 2 r 3 d r d t ( r × v ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}}}(\mathbf {r} \times {\frac {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}\times \mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{3}}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )\\\\&={\frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \times \mathbf {a} +\mathbf {v} \times \mathbf {v} )-{\frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \times \mathbf {a} +\mathbf {v} \times \mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{3}}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )\\\\&={\\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}}-{\frac {2}{r^{3}}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} ).\end{aligned}}}}}
Som r × v {\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} }
er bare r 2 ω {\displaystyle r^{2}{\boldsymbol {\omega }}}
, det andet udtryk kan omskrives som – 2 r d r d t ω {\displaystyle -{\frac {2}{r}}}{\frac {dr}{dt}}}{\boldsymbol {\omega }}}
. I det tilfælde, hvor afstanden r {\displaystyle r}
af partiklen fra oprindelsen ikke ændrer sig med tiden (hvilket omfatter cirkulær bevægelse som et undertilfælde), forsvinder det andet udtryk, og ovenstående formel forenkles til α = r × a r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}}
.
Fra ovenstående ligning kan man genfinde den tværradiale acceleration i dette specielle tilfælde som:
a ⊥ = α × r {\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }} {\times \mathbf {r} }
.
I modsætning til i to dimensioner behøver vinkelaccelerationen i tre dimensioner ikke at være forbundet med en ændring i vinkelhastighed: Hvis partiklens positionsvektor “vrider” sig i rummet, således at dens øjeblikkelige plan for vinkelforskydning (dvs. det øjeblikkelige plan, hvori positionsvektoren udviser en vinkel) ændrer sig kontinuerligt med tiden, vil der, selv om vinkelhastigheden (dvs. den hastighed, hvormed positionsvektoren udviser en vinkel) er konstant, stadig være en vinkelacceleration, der ikke er nul, fordi retningen af vinkelhastighedsvektoren ændrer sig kontinuerligt med tiden. Dette kan ikke ske i to dimensioner, fordi positionsvektoren er begrænset til et fast plan, så enhver ændring i vinkelhastigheden må ske gennem en ændring i dens størrelse.
Vinkelaccelerationsvektoren kaldes mere korrekt en pseudovektor: Den har tre komponenter, som under rotationer transformeres på samme måde som de kartesianske koordinater for et punkt, men som under refleksioner ikke transformeres som kartesianske koordinater.
Relation til drejningsmomentRediger
Nettodrejningsmomentet på en punktpartikel er defineret som pseudovektoren
τ = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \ gange \mathbf {F} }
,
hvor F {\displaystyle \mathbf {F} }
er nettokraften på partiklen.
Momentet er den roterende analog til kraft: det fremkalder en ændring i et systems rotationstilstand, ligesom kraft fremkalder en ændring i et systems translationstilstand. Da nettokraften på en partikel kan forbindes med partikelens acceleration ved ligningen F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
, kan man håbe på at konstruere en lignende sammenhæng, der forbinder nettodrejningsmomentet på en partikel med partikelens vinkelacceleration. Det kan gøres på følgende måde:
Først kan man ved at erstatte F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
i ovenstående ligning for drejningsmoment, får man τ = m ( r × a ) = m r 2 ( r × a r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=m(\mathbf {r} \times \mathbf {a} )=mr^{2}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}})}
.
Men fra det foregående afsnit blev det afledt, at
α = r × a r 2 – 2 r d r d t ω {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}}-{\frac {2}{r}}}{\frac {dr}{dt}}}{\boldsymbol {\omega }}}}
,
hvor α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}
er partiklens vinkelacceleration i omløbet og ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
er partiklens omløbsvinkelhastighed. Det følger derfor, at τ = m r 2 ( α + 2 r d r d d t ω ) = m r 2 α + 2 m r d r d t ω . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=mr^{2}({\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {2}{r}}}{\frac {dr}{dt}}}{\boldsymbol {\omega }})\\\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}+2mr{\frac {dr}{dt}}}{\boldsymbol {\omega }}.\end{aligned}}}
I det særlige tilfælde, hvor afstanden r {\displaystyle r}
partiklens afstand til oprindelsen ikke ændrer sig med tiden, forsvinder det andet udtryk i ovenstående ligning, og ovenstående ligning forenkles til τ = m r 2 α {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}}
,
som kan fortolkes som en “rotationsanalog” til F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
, hvor mængden m r 2 {\displaystyle mr^{2}}
(kendt som partiklens inertimoment) spiller rollen som massen m {\displaystyle m}
. Men i modsætning til F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
, er denne ligning ikke anvendelig for en vilkårlig bane. Det kan konkluderes, at den generelle sammenhæng mellem drejningsmoment og vinkelacceleration nødvendigvis er mere kompliceret end den for kraft og lineær acceleration.