Differentialrechnung
OptimizationEdit
Wenn f eine differenzierbare Funktion auf ℝ (oder einem offenen Intervall) ist und x ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum von f ist, dann ist die Ableitung von f bei x gleich Null. Punkte, an denen f'(x) = 0 ist, werden als kritische Punkte oder stationäre Punkte bezeichnet (und der Wert von f an x wird als kritischer Wert bezeichnet). Nimmt man an, dass f nicht überall differenzierbar ist, so werden Punkte, an denen es nicht differenzierbar ist, ebenfalls als kritische Punkte bezeichnet.
Wenn f zweimal differenzierbar ist, dann kann umgekehrt ein kritischer Punkt x von f analysiert werden, indem man die zweite Ableitung von f bei x betrachtet:
- wenn sie positiv ist, ist x ein lokales Minimum;
- wenn sie negativ ist, ist x ein lokales Maximum;
- wenn sie Null ist, dann kann x ein lokales Minimum, ein lokales Maximum oder keines von beiden sein. (Zum Beispiel hat f(x) = x3 einen kritischen Punkt bei x = 0, aber es hat dort weder ein Maximum noch ein Minimum, während f(x) = ± x4 einen kritischen Punkt bei x = 0 und dort ein Minimum bzw. ein Maximum hat.)
Dies wird der Test der zweiten Ableitung genannt. Ein alternativer Ansatz, der so genannte Test der ersten Ableitung, beinhaltet die Betrachtung des Vorzeichens von f‘ auf jeder Seite des kritischen Punktes.
Die Ableitung und die Suche nach kritischen Punkten ist daher oft ein einfacher Weg, um lokale Minima oder Maxima zu finden, was bei der Optimierung nützlich sein kann. Nach dem Extremwertsatz muss eine stetige Funktion auf einem geschlossenen Intervall ihre Minimal- und Maximalwerte mindestens einmal erreichen. Wenn die Funktion differenzierbar ist, können die Minima und Maxima nur an kritischen Punkten oder Endpunkten auftreten.
Dies findet auch Anwendung bei der Erstellung von Graphen: Sobald die lokalen Minima und Maxima einer differenzierbaren Funktion gefunden wurden, kann eine grobe Darstellung des Graphen aus der Beobachtung gewonnen werden, dass er zwischen den kritischen Punkten entweder ansteigt oder abfällt.
In höheren Dimensionen ist ein kritischer Punkt einer skalarwertigen Funktion ein Punkt, an dem die Steigung null ist. Der Test der zweiten Ableitung kann immer noch verwendet werden, um kritische Punkte zu analysieren, indem man die Eigenwerte der Hessischen Matrix der zweiten partiellen Ableitungen der Funktion am kritischen Punkt betrachtet. Wenn alle Eigenwerte positiv sind, handelt es sich um ein lokales Minimum; sind alle negativ, handelt es sich um ein lokales Maximum. Wenn es einige positive und einige negative Eigenwerte gibt, dann wird der kritische Punkt als „Sattelpunkt“ bezeichnet, und wenn keiner dieser Fälle zutrifft (d. h. einige der Eigenwerte sind Null), dann gilt der Test als nicht schlüssig.
VariationsrechnungBearbeiten
Ein Beispiel für ein Optimierungsproblem ist: Finde die kürzeste Kurve zwischen zwei Punkten auf einer Fläche, wobei angenommen wird, dass die Kurve auch auf der Fläche liegen muss. Wenn die Fläche eine Ebene ist, dann ist die kürzeste Kurve eine Linie. Ist die Fläche aber z. B. eiförmig, dann ist der kürzeste Weg nicht sofort klar. Diese Wege werden Geodäten genannt, und eines der grundlegendsten Probleme der Variationsrechnung besteht darin, Geodäten zu finden. Ein anderes Beispiel ist: Finde die kleinste Fläche, die eine geschlossene Kurve im Raum ausfüllt. Diese Fläche wird als Minimalfläche bezeichnet, und auch sie kann mit Hilfe der Variationsrechnung gefunden werden.
PhysikBearbeiten
Berechnungen sind in der Physik von entscheidender Bedeutung: Viele physikalische Vorgänge werden durch Gleichungen mit Ableitungen, so genannte Differentialgleichungen, beschrieben. Die Physik befasst sich insbesondere mit der Art und Weise, wie sich Größen im Laufe der Zeit verändern und entwickeln, und das Konzept der „Zeitableitung“ – die Änderungsrate im Laufe der Zeit – ist für die genaue Definition mehrerer wichtiger Konzepte von wesentlicher Bedeutung. Insbesondere die zeitliche Ableitung der Position eines Objekts ist in der Newtonschen Physik von Bedeutung:
- Die Geschwindigkeit ist die Ableitung (nach der Zeit) der Verschiebung eines Objekts (Entfernung von der ursprünglichen Position)
- Die Beschleunigung ist die Ableitung (nach der Zeit) der Geschwindigkeit eines Objekts, also die zweite Ableitung (nach der Zeit) der Position eines Objekts.
Wenn zum Beispiel die Position eines Objekts auf einer Linie gegeben ist durch
x ( t ) = – 16 t 2 + 16 t + 32 , {\displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,\,\!}
dann ist die Geschwindigkeit des Objekts
x ˙ ( t ) = x ′ ( t ) = – 32 t + 16 , {\displaystyle {\dot {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\,\!}
und die Beschleunigung des Objekts ist
x ¨ ( t ) = x ″ ( t ) = – 32 , {\displaystyle {\ddot {x}}(t)=x“(t)=-32,\,\!}
das konstant ist.
DifferentialgleichungenBearbeiten
Eine Differentialgleichung ist eine Beziehung zwischen einer Menge von Funktionen und deren Ableitungen. Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung, die Funktionen einer Variablen mit ihren Ableitungen in Bezug auf diese Variable in Beziehung setzt. Eine partielle Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung, die Funktionen mit mehr als einer Variablen mit ihren partiellen Ableitungen in Beziehung setzt. Differentialgleichungen kommen natürlich in den Naturwissenschaften, in der mathematischen Modellierung und in der Mathematik selbst vor. Zum Beispiel kann das zweite Newtonsche Gesetz, das die Beziehung zwischen Beschleunigung und Kraft beschreibt, als gewöhnliche Differentialgleichung formuliert werden
F ( t ) = m d 2 x d t 2 . {displaystyle F(t)=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}
Die Wärmegleichung in einer Raumvariablen, die beschreibt, wie Wärme durch einen geraden Stab diffundiert, ist die partielle Differentialgleichung
∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 . {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}
Hier ist u(x,t) die Temperatur des Stabes an der Position x und zum Zeitpunkt t und α ist eine Konstante, die davon abhängt, wie schnell die Wärme durch den Stab diffundiert.(2-3¡)-(3+2)
MittelwertsatzBearbeiten
mit a < b {\displaystyle a<b}
gibt es ein c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)}
mit f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a {\displaystyle f'(c)={\tfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}
.
Der Mittelwertsatz gibt eine Beziehung zwischen den Werten der Ableitung und den Werten der ursprünglichen Funktion an. Wenn f(x) eine reellwertige Funktion ist und a und b Zahlen sind, wobei a < b ist, dann besagt der Mittelwertsatz, dass unter milden Bedingungen die Steigung zwischen den beiden Punkten (a, f(a)) und (b, f(b)) gleich der Steigung der Tangente an f in einem Punkt c zwischen a und b ist. Mit anderen Worten,
f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a. {\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}
In der Praxis bedeutet der Mittelwertsatz, dass man eine Funktion in Bezug auf ihre Ableitung kontrolliert. Nehmen wir zum Beispiel an, dass die Ableitung von f in jedem Punkt gleich Null ist. Das bedeutet, dass die Tangente an jedem Punkt waagerecht ist, so dass die Funktion auch waagerecht sein sollte. Der Mittelwertsatz beweist, dass dies wahr sein muss: Die Steigung zwischen zwei beliebigen Punkten auf dem Graphen von f muss gleich der Steigung einer der Tangenten von f sein. Alle diese Steigungen sind Null, also hat jede Linie von einem Punkt auf dem Graphen zu einem anderen Punkt ebenfalls die Steigung Null. Das bedeutet aber, dass sich die Funktion weder nach oben noch nach unten bewegt, also muss es sich um eine horizontale Linie handeln. Kompliziertere Bedingungen für die Ableitung führen zu weniger genauen, aber immer noch sehr nützlichen Informationen über die ursprüngliche Funktion.
Taylor-Polynome und Taylor-ReihenBearbeiten
Die Ableitung liefert die bestmögliche lineare Annäherung einer Funktion an einem bestimmten Punkt, die sich jedoch stark von der ursprünglichen Funktion unterscheiden kann. Eine Möglichkeit, die Annäherung zu verbessern, besteht darin, eine quadratische Annäherung vorzunehmen. Das heißt, die Linearisierung einer reellwertigen Funktion f(x) am Punkt x0 ist ein lineares Polynom a + b(x – x0), und es kann möglich sein, eine bessere Annäherung zu erhalten, indem man ein quadratisches Polynom a + b(x – x0) + c(x – x0)2 betrachtet. Noch besser wäre ein kubisches Polynom a + b(x – x0) + c(x – x0)2 + d(x – x0)3, und diese Idee kann auf Polynome beliebig hohen Grades ausgedehnt werden. Für jedes dieser Polynome sollte es eine bestmögliche Wahl der Koeffizienten a, b, c und d geben, die die Annäherung so gut wie möglich macht.
In der Umgebung von x0 ist für a die bestmögliche Wahl immer f(x0), und für b ist die bestmögliche Wahl immer f'(x0). Für c, d und Koeffizienten höheren Grades werden diese Koeffizienten durch höhere Ableitungen von f bestimmt. c sollte immer f“(x0)/2 sein und d sollte immer f“'(x0)/3 sein! Mit diesen Koeffizienten erhält man das Taylor-Polynom von f. Das Taylor-Polynom vom Grad d ist das Polynom vom Grad d, das f am besten approximiert, und seine Koeffizienten können durch eine Verallgemeinerung der obigen Formeln gefunden werden. Das Taylorsche Theorem gibt eine genaue Schranke für die Güte der Annäherung. Wenn f ein Polynom vom Grad kleiner oder gleich d ist, dann ist das Taylor-Polynom vom Grad d gleich f.
Der Grenzwert der Taylor-Polynome ist eine unendliche Reihe, die Taylor-Reihe. Die Taylorreihe ist häufig eine sehr gute Annäherung an die ursprüngliche Funktion. Funktionen, die gleich ihrer Taylorreihe sind, nennt man analytische Funktionen. Es ist unmöglich, dass Funktionen mit Unstetigkeiten oder scharfen Ecken analytisch sind; außerdem gibt es glatte Funktionen, die ebenfalls nicht analytisch sind.
Impliziter FunktionssatzBearbeiten
Einige natürliche geometrische Formen, wie z.B. Kreise, lassen sich nicht als Graph einer Funktion zeichnen. Wenn zum Beispiel f(x, y) = x2 + y2 – 1 ist, dann ist der Kreis die Menge aller Paare (x, y), so dass f(x, y) = 0 ist. Diese Menge wird die Nullmenge von f genannt und ist nicht dasselbe wie der Graph von f, der ein Paraboloid ist. Der Satz von der impliziten Funktion wandelt Beziehungen wie f(x, y) = 0 in Funktionen um. Es besagt, dass, wenn f kontinuierlich differenzierbar ist, die Nullstellenmenge von f in den meisten Punkten wie zusammengefügte Graphen von Funktionen aussieht. Die Punkte, für die dies nicht zutrifft, werden durch eine Bedingung für die Ableitung von f bestimmt. Der Kreis kann beispielsweise aus den Graphen der beiden Funktionen ± √1 – x2 zusammengesetzt werden. In der Nachbarschaft jedes Punktes auf dem Kreis außer (-1, 0) und (1, 0) hat eine dieser beiden Funktionen einen Graphen, der wie der Kreis aussieht. (Diese beiden Funktionen treffen zufällig auch (-1, 0) und (1, 0), aber das wird durch den Satz der impliziten Funktion nicht garantiert.)
Der Satz der impliziten Funktion ist eng mit dem Satz der inversen Funktion verwandt, der besagt, wann eine Funktion wie die Graphen von zusammengefügten invertierbaren Funktionen aussieht.