Faktorsatz

Faktorsatz

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Remainder Theorem und Faktorsatz

Was ist der Faktorsatz?

Wenn f(x) durch (x – a) geteilt wird, erhalten wir
f(x) = (x – a)Q(x) + Rest

Aus dem Restsatz erhalten wir
f(x) = (x – a)Q(x) + f(a)

Wenn f(a) = 0 ist, dann ist der Rest 0 und
f(x) = (x – a)Q(x)

Wir können dann sagen, dass (x – a) ist ein Faktor von f(x)

Der Faktorsatz besagt, dass
(x – a) dann und nur dann ein Faktor des Polynoms f(x) ist, wenn f(a) = 0

Beachte, dass die folgenden Aussagen für jedes Polynom f(x) äquivalent sind.

• (x – a) ist ein Faktor von f(x).
• Der Rest ist Null, wenn f(x) durch (x – a) geteilt wird.
• f(a) = 0.
• Die Lösung von f(x) = 0 ist a.
• Die Nullstelle der Funktion f(x) ist a.

Beispiel:
Bestimme, ob x + 1 ein Faktor der folgenden Polynome ist.
a) 3×4 + x3 – x2 + 3x + 2
b) x6 + 2x(x – 1) – 4

Lösung:
a) Sei f(x) = 3×4 + x3 – x2 + 3x + 2
f(-1) = 3(-1)4 + (-1)3 – (-1)2 +3(-1) + 2
= 3(1) + (-1) – 1 – 3 + 2 = 0
Daher, x + 1 ist ein Faktor von f(x)

b) Sei g(x) = x6 + 2x(x – 1) – 4
g(-1) = (-1)6 + 2(-1)( -2) -4 = 1
Daher ist x + 1 kein Faktor von g(x)

Wie verwendet man den Faktorsatz und den Restsatz?

Was sind die Theoreme und wie können sie verwendet werden, um die lineare Faktorisierung eines Polynoms zu finden?

Der Restsatz besagt, dass, wenn ein Polynom, f(x), durch x – k geteilt wird, der Rest gleich f(k) ist.

Der Faktorsatz besagt, dass das Polynom x – k ein Faktor des Polynoms f(x) ist, wenn und nur wenn f(k) = 0 ist.

Beispiel:
Lassen Sie f(x) = 2×3 – 3×2 – 5x + 6
Ist x – 1 ein Faktor?
Finden Sie alle anderen Faktoren.

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Wie verwendet man den Faktorsatz zur Faktorisierung von Polynomen?

Beispiele:

1. Faktor P(x) = 3×3 – x2 – 19x + 8

2. Faktor P(x) = 2×3 – 9×2 + x + 12

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Wie findet man die restlichen Faktoren eines Polynoms?

Eine Lektion über den Faktorsatz und die vollständige Faktorisierung eines Polynoms.

1. Die Verbindung zwischen dem Faktorsatz und dem Restsatz lernen.
2. Lernen, wie man den Faktorsatz verwendet, um festzustellen, ob ein Binom ein Faktor eines gegebenen Polynoms ist oder nicht.
3. Synthetische Division zusammen mit dem Faktorsatz verwenden, um ein Polynom zu faktorisieren.

Beispiel:
Faktor x4 – 3×3 – 7×2 + 15x + 18

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Anwendung des Faktorsatzes

Wie verwendet man den Faktorsatz, um zu bestimmen, ob x – c ein Faktor des Polynoms f ist?

Beispiele:

1. f(x) = 4×3 – 3×2 – 8x + 4, c = 3
2. f(x) = 3×4 – 6×3 – 5x + 10, c = 1
3. f(x) = 3×6 + 2×3 – 176, c = -2
4. f(x) = 4×6 – 64×4 – x2 – 16, c = 4
5. f(x) = 2×4 – x3 – 2x – 1, c = -1/2

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Wie erklärt man den Faktorsatz?

Wenn f(x) ein Polynom ist und f(p) = 0, dann ist (x – p) ein Faktor von f(x)

Wenn f(x) ein Polynom ist und f(-q) = 0, dann ist (x + q) ein Faktor von f(x)

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Beschreibung und Beispiele des Faktorsatzes

Beispiele:
Beweise, dass (x + 1) ein Faktor von P(x) = x2 + 2x + 1 ist

Ist (x + 2) ein Faktor von x3 + 4×2 – x – 3?

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