Hyperbel

Hyperbel

Wusstest du, dass die Umlaufbahn eines Raumschiffs manchmal eine Hyperbel sein kann?

Ein Raumschiff kann die Schwerkraft eines Planeten nutzen, um seine Bahn zu ändern und sich mit hoher Geschwindigkeit vom Planeten weg und zurück ins All zu katapultieren, und zwar mit einer Technik, die „Gravitationsschleuder“ genannt wird.

Wenn das passiert, ist die Bahn des Raumschiffs eine Hyperbel.

(Spiel damit bei Gravity Freeplay)

Definition

Eine Hyperbel sind zwei Kurven, die wie unendliche Bögen sind.

Betrachten wir nur eine der beiden Kurven:

jeder Punkt P liegt um einen konstanten Betrag näher an F als an G

Die andere Kurve ist spiegelbildlich und liegt näher an G als an F.

Mit anderen Worten, der Abstand von P zu F ist immer um einen konstanten Betrag kleiner als der Abstand P zu G. (Und für die andere Kurve ist P bis G immer kleiner als P bis F um diesen konstanten Betrag.)

Jeder Bogen wird als Ast bezeichnet und F und G werden jeweils als Brennpunkt bezeichnet.

Versuchen Sie es selbst:

Versuchen Sie, den Punkt P zu verschieben: was fällt Ihnen an den Längen PF und PG auf?

Versuchen Sie auch, den Punkt P auf den anderen Zweig zu legen.

Es gibt noch einige andere interessante Dinge:

Auf dem Diagramm kannst du sehen:

• eine Symmetrieachse (die durch jeden Brennpunkt geht)
• zwei Scheitelpunkte (wo jede Kurve ihre schärfste Kurve macht)
• der Abstand zwischen den Scheitelpunkten (2a im Diagramm) ist die konstante die Differenz zwischen den Längen PF und PG
• zwei Asymptoten, die nicht Teil der Hyperbel sind, sondern zeigen, wohin die Kurve gehen würde, wenn sie unendlich in jede der vier Richtungen fortgesetzt würde

Und, Genau genommen gibt es noch eine weitere Symmetrieachse, die in der Mitte verläuft und die beiden Schenkel der Hyperbel trennt.

Konischer Schnitt Eine Hyperbel kann man auch erhalten, wenn man einen Doppelkegel durchschneidet. Der Schnitt muss steiler sein als bei einer Parabel, aber er muss nicht parallel zur Achse des Kegels verlaufen, damit die Hyperbel symmetrisch ist. Die Hyperbel ist also ein Kegelschnitt (Schnitt eines Kegels).

Gleichung

Trägt man eine Hyperbel in ein x-y-Diagramm ein (zentriert über der x-Achse und y-Achse), so lautet die Gleichung der Kurve:

x2a2 – y2b2 = 1

Auch:

Ein Scheitelpunkt liegt bei (a, 0), und der andere bei (-a, 0)

Die Asymptoten sind die Geraden:

• y = (b/a)x
• y = -(b/a)x

(Hinweis: Die Gleichung ist ähnlich der Gleichung der Ellipse: x2/a2 + y2/b2 = 1, nur mit einem „-“ statt einem „+“)

Exzentrizität

Ein beliebiger Zweig einer Hyperbel kann auch als eine Kurve definiert werden, bei der die Abstände eines beliebigen Punktes von:

• einem festen Punkt (dem Brennpunkt) und
• einer festen Geraden (der Leitlinie) immer im gleichen Verhältnis stehen.

Dieses Verhältnis wird Exzentrizität genannt und ist bei einer Hyperbel immer größer als 1.

Die Exzentrizität (gewöhnlich als Buchstabe e dargestellt) zeigt an, wie „unkurvig“ (vom Kreis abweichend) die Hyperbel ist.

In diesem Diagramm:

• P ist ein Punkt auf der Kurve,
• F ist der Brennpunkt und
• N ist der Punkt auf der Leitlinie, so dass PN senkrecht auf der Leitlinie steht.

Die Exzentrizität ist das Verhältnis PF/PN und hat die Formel:

e = √(a2+b2)a

Mit „a“ und „b“ aus dem Diagramm oben.

Latus Rectum

Der Latus Rectum ist die Linie durch den Brennpunkt und parallel zur Leitlinie. Die Länge des Latus Rectum ist 2b2/a.

1/x

Die Kehrwertfunktion y = 1/x ist eine Hyperbel!