Sie irren sich bei Common Core Mathe: Tut mir leid, Eltern, aber es macht mehr Sinn, als ihr denkt
Jetzt hat jeder das empörende Bild des Aufsatzes eines Drittklässlers gesehen, in dem er für die Behauptung, dass 5 x 3 = 5 + 5 + 5 = 15 ist, benotet wird. Für den Fall, dass Sie es verpasst haben, finden Sie hier Videos und Berichte von verschiedenen Gruppen, die Common Core dafür kritisieren: Business Insider, IFLScience, Huffington Post und mom.me – und ich bin mir sicher, dass Sie viele weitere finden können, da das Foto der Arbeit dieses Kindes viral gegangen ist.
Sie erinnern sich vielleicht auch an das Foto eines Schecks, das vor nicht allzu langer Zeit viral ging – ein Mann füllte einen Scheck für die Schule seines Sohnes aus, indem er versuchte, den Scheckbetrag in zehn Rahmen zu schreiben. Es gab unzählige ähnliche Fotos mit begleitendem Spott, die über die sozialen Medien und per E-Mail viral gingen (mehr zu diesen Beispielen in Kürze).
In der nationalen Diskussion über Amerikas wahrgenommene Bildungsprobleme sind die Common Core Standards zu einer Art vereinheitlichendem Sandsack geworden, insbesondere in Bezug auf die Mathematik in der Grundschule. Jeder scheint ein Foto von einer Testfrage, einer Hausaufgabe oder einer korrigierten Arbeit zu lieben, die die Common Core Standards verunglimpft. Sie kennen das – die Frage fordert die Schüler auf, ein scheinbar einfaches mathematisches Grundlagenthema darzustellen, verlangt aber, dass die Antwort auf eine scheinbar übermäßig komplizierte Weise gegeben wird. Wir sehen uns das an und sagen: „Warum können sie es nicht einfach auf die normale Art und Weise machen?“ Wir sind beunruhigt über die Darstellung von etwas, das wir als so grundlegend und elementar ansehen, in einer neuen und ungewohnten Anordnung, und wir sind empört, wenn wir sehen, wie die Arbeit eines Schülers herabgestuft wird, obwohl sie korrekt zu sein scheint.
Die überwiegende Mehrheit der Kommentare und der Berichterstattung über diese viralen Bilder und Geschichten war sehr kritisch gegenüber dem Common Core. Die Sache ist jedoch die – alle diese Kritiken laufen auf ein grundlegendes Missverständnis der Common Core State Standards (CCSS) hinaus.
Praktisch jedes Beispiel für einen dieser Angriffe auf den Common Core fällt in eine von zwei Kategorien:
- Die Leute, die das Beispiel verbreiten (und es in den Papierkorb werfen), haben den Sinn des fraglichen Common Core Standards nicht verstanden
- Der Pädagoge, der für das Beispiel verantwortlich ist, hat den Sinn des fraglichen Common Core Standards nicht verstanden
Betrachten Sie die Zehn-Frames-Prüfung (die in die erste Kategorie fällt) – der Vater war frustriert über eine Darstellung von Zahlen, mit der er nicht vertraut war, und sie passte gut zu seiner vorgefassten Meinung, dass der Common Core schrecklich ist, und nur dazu dient, Schüler und Eltern zu verwirren. Hier ist ein Artikel, in dem seine Antwort ausführlicher dargestellt wird, aber kurz gesagt, dieser Vater ist verärgert, weil er ein Konzept, das seinem Zweitklässler beigebracht wird, nicht sofort erkennt und versteht. Anstatt zu versuchen, den Sinn und Zweck des Konzepts zu verstehen, macht er es lächerlich, und andere, ähnlich frustrierte Eltern schließen sich ihm an.
Tatsächlich sind Zehnerrahmen eine Möglichkeit, unser Zählsystem visuell darzustellen und den Kindern zu helfen, es besser zu verstehen. Sie waren nie dazu gedacht, unsere derzeitige Art, Zahlen zu schreiben, zu ersetzen – sie sind als zusätzliches Hilfsmittel gedacht, um ein tieferes Verständnis zu fördern. Für Eltern kann es natürlich frustrierend sein, wenn sie anfangs mit den Hausaufgaben ihrer Kinder überfordert sind, vor allem, wenn es sich um Kinder in den ersten Klassen handelt. Sicherlich gibt es Lehrer, die mit einer Aufgabe nicht immer ins Schwarze treffen oder den Eltern keine Hilfsmittel zur Verfügung stellen, um etwas zu verstehen, das für sie vielleicht neu ist, aber letztendlich sollten wir nicht vergessen, dass wir alle das bestmögliche Ergebnis für unsere Kinder erreichen wollen. Und seien wir ehrlich, die Art und Weise, wie wir in Amerika seit Generationen Mathematik unterrichten, hat nicht für alle funktioniert, weshalb es einen sehr großen Teil unserer Bevölkerung gibt, der einfach sagt: „Ich kann Mathe nicht.“ Warum sind wir dann so verschlossen, wenn es darum geht, neue Wege zu beschreiten, um die grundlegenden Ideen der Mathematik zu begreifen?
Betrachten wir nun die 5 x 3 Frage. Laut IFLScience (das ich übrigens sehr schätze) haben sich Reddit- und Imgur-Kommentatoren über „das übermäßig pedantische ‚by-the-book‘-Denken“ empört. Das Ganze liest sich wie eine Anklage gegen Common Core, die das mathematische Denken zugunsten strenger und willkürlicher Definitionen und Algorithmen unterdrückt. Und doch ist dies eine völlig falsche Interpretation von Common Core. Die Empörung ist gerechtfertigt, sie ist nur unangebracht – dieses Beispiel gehört zu der zweiten Art, die ich oben erwähnt habe, in der der Pädagoge die Standards falsch verstanden und angewandt hat, indem er sie zu eng ausgelegt hat.
Die fragliche Norm besagt: „Interpretiere Produkte ganzer Zahlen, z.B. interpretiere 5 × 7 als die Gesamtzahl der Objekte in 5 Gruppen zu je 7 Objekten.“ Die Lehrerin hat diese Norm offensichtlich so verstanden, dass 5 x 7 (oder im Fall des fraglichen Papiers 5 x 3) nur als 5 Gruppen mit je 7 Objekten betrachtet werden kann. Für 5 Gruppen von 3 Objekten könnte das also wie 3 + 3 + 3 + 3 + 3 aussehen. Und doch bedeutet „z.B.“ „zum Beispiel“, nicht „dies ist die einzig gültige Interpretation“. Eine vernünftige Lesart der Norm durch eine mathematisch gebildete Person sollte die Interpretation von 5 x 3 als 5+5+5 oder 3 Gruppen von jeweils 5 Objekten zulassen, insbesondere wenn man bedenkt, dass vier Normen weiter unten auf der Liste diejenige über die Kommutation (zusammen mit anderen Eigenschaften) bei der Multiplikation steht, z. B. 5 x 3 ist gleich 3 x 5 (beachten Sie, dass das e.g., das ich gerade verwendet habe, bedeutet, dass dies nur ein Beispiel ist; die Eigenschaft gilt auch für unendlich viele andere Zahlenpaare – sehen Sie, wie das funktioniert?) Das letztendliche Ziel dieser Standards ist es, unseren Kindern dabei zu helfen, ein grundlegendes Verständnis unseres Zahlensystems und der Grundrechenarten zu entwickeln. Wenn also ein Schüler intuitiv weiß, dass 5 x 3 gleich 3 x 5 ist und dass beide als 3 Reihen von 5 Gegenständen oder 5 Reihen von 3 Gegenständen oder 3 Stapel von 5 Pfennigen oder 5 Stapel von 3 Äpfeln oder … nun, Sie verstehen schon, dann haben wir unser Ziel erreicht!
Die Multiplikation auf die oben beschriebene Weise zu interpretieren, ist nicht wirklich neu; es ist vielmehr ziemliche Standardkost, um zu verstehen, was Multiplikation ist. Vielleicht ist die Idee, die Schüler dazu zu bringen, das Beispiel auf dem Papier zu zeigen, eher ein neues Phänomen, und ja, der Common Core befürwortet definitiv, dass Pädagogen die Schüler dazu ermutigen, mit Möglichkeiten der Modellierung der mathematischen Konzepte, die sie lernen, zu interagieren, um sie besser zu beherrschen. Er verlangt jedoch nicht die strikte Einhaltung enger, willkürlich gewählter Interpretationen dieser Modelle, und Pädagogen, die ihren Unterricht auf diese Weise ausrichten, machen es falsch.
Ein weiteres Beispiel ist dieses Bild, das ich zuerst in einer weitergeleiteten E-Mail erhalten habe (diese spezielle Version stammt offenbar von der Website von David Van Sant, einem republikanischen Kandidaten für das Georgia State House, der gegen einen anderen Republikaner verloren hat), über ein Matheproblem, das viral gegangen ist und dazu beigetragen hat, die Menschen gegen Common Core anzufeuern.
Auf den ersten Blick mag das Diagramm des Common-Core-Ansatzes unnötig kompliziert erscheinen, vor allem wenn man es mit dem Aufbau des Standard-Subtraktionsalgorithmus vergleicht, mit dem wir alle aufgewachsen sind (ganz abgesehen davon, dass das Bild zwar den Aufbau des Standardalgorithmus zeigt, nicht aber den eigentlichen Prozess, der mit den erforderlichen Anleihen nicht ganz so einfach ist). Die meisten werden sich das Diagramm der Zahlenreihe ansehen, auf den ersten Blick eine Reihe von Schritten sehen, die nicht viel Sinn zu machen scheinen, und es als weiteren Beweis für eine bereits aufkeimende Empörung gegen Common Core akzeptieren, zum Teil dank einer gesunden Beilage von Confirmation Bias.
Ein genauerer Blick auf die Methode kann jedoch zeigen, dass die Verwendung der Zahlenreihe (ein wichtiges visuelles Hilfsmittel in der Arithmetik und Algebra) es dieser Methode ermöglicht, eine andere Art des Denkens über Addition und Subtraktion und ihre Beziehung zueinander zu erreichen – eine wichtige Denkweise für Schüler, von denen wir möchten, dass sie die Arithmetik auf einer ausreichend tiefen Ebene verstehen, um das Erlernen höherer Ebenen der Mathematik auf sinnvolle Weise zu erleichtern (was im Wesentlichen alle Schüler sein sollten).
Wenn Sie das zweite Diagramm noch nicht verstanden haben, denken Sie an die Art und Weise, wie die Leute früher im Laden das Wechselgeld herausgegeben haben (heute vielleicht eine etwas verlorene Kunst). Nehmen wir an, Sie haben etwas gekauft, das 8,27 Dollar gekostet hat, und mit einem 20-Dollar-Schein bezahlt. Der Verkäufer würde mit dem Wert des gekauften Artikels beginnen (in diesem Fall 8,27 $), dann mit dem Wechselgeld beginnen und Sie zuerst auf 8,30 $ bringen, dann auf die 50-Cent-Stufe, dann auf einen geraden Dollarbetrag, dann auf einen Zehn-Dollar-Betrag und so weiter, bis der Wert auf die 20 $ gebracht wurde, mit denen Sie bezahlt haben:
„Okay, 8,27 Dollar, 30 Cent <drei Pfennige in die Hand geben>, und 20 mehr sind 50 Cent <zwei Dimes in die Hand geben>, und zwei Vierteldollar machen neun <zwei Vierteldollar in die Hand geben>, und zehn <geben einen Dollar>, und zehn mehr machen zwanzig <geben eine Zehn>.“
Dieser Ansatz ist eine durchaus sinnvolle Art, Menschen Wechselgeld zu geben – er konzentriert sich auf runde Zahlen, die wir leichter addieren und subtrahieren können, und er konzentriert sich auf das wahre Wesen der Subtraktion – die Differenz zwischen den beiden referenzierten Beträgen. Im Fall des Wechselgelds ist es die Differenz zwischen dem, was Sie zahlen sollten, und dem, was Sie gezahlt haben (mit anderen Worten: Ihr Wechselgeld). Der vertikale Subtraktionsalgorithmus, den wir in der Schule gelernt haben, macht dies nicht deutlich – es handelt sich um einen auswendig gelernten Algorithmus, der von jemandem, der ihn geübt hat, effizient mit Bleistift und Papier ausgeführt werden kann, und er kann sicherlich durch das Studium unseres Zahlensystems zur Basis 10 sinnvoll gemacht werden, indem die Stellen der verschiedenen Ziffern und das Konzept des Borgens, wenn nötig, betont werden.
Wenn es darum geht, Subtraktionsaufgaben wie diese im Kopf zu lösen, vermute ich, dass die meisten Menschen, die sich bei dieser Art von Kopfrechnen auszeichnen, eine ähnliche Methode wie das gezeigte Zahlendiagramm verwenden (das vermeintlich lächerliche Common Core-Beispiel). Die Fähigkeit, das Problem zu visualisieren und aufzuschlüsseln, ermöglicht es jemandem, die Werte leichter im Auge zu behalten und das korrekte Ergebnis konsequenter und effizienter zu erzielen, ohne einen Bleistift zu Papier zu bringen.
Hier ist ein urkomisches Beispiel von einem Elternteil, das sich über den Common Core lustig macht (ich habe es bei einer Google-Bildersuche gefunden, aber ich glaube mich zu erinnern, dass ich dieses Beispiel per E-Mail oder Facebook die Runde gemacht habe):
Dieses Problem ist insofern ein wenig herausgepickt, als es kein „Ausleihen“ im Standardalgorithmus erfordert, so dass es mit dieser traditionellen Methode viel leichter zu lösen ist. Doch abgesehen vom Humor der Eltern geht es beim Zahlenstrahlmodell nicht darum, den effizientesten Algorithmus zur Durchführung der Subtraktion zu lehren, sondern darum, den Schülern zu helfen, zu verstehen, was Subtraktion ist.
Ich schlage sicherlich nicht vor, dass wir den Standard-Subtraktionsalgorithmus, mit dem wir alle aufgewachsen sind, nicht lehren sollten, und auch der Common Core ist es nicht. In den CCSS wird er sogar als „Standardalgorithmus“ für Addition und Subtraktion bezeichnet, und die CCSS verlangen, dass die Schüler ihn für mehrstellige Zahlen bis zum Ende der vierten Klasse vollständig beherrschen. Ich behaupte auch nicht, dass das Hauptziel des Mathematikunterrichts darin bestehen sollte, die Schüler in die Lage zu versetzen, komplizierte Denkaufgaben ohne die Verwendung von Bleistift und Papier zu lösen. Das Ziel des Mathematikunterrichts sollte darin bestehen, ein tiefes Verständnis der von uns unterrichteten Mechanismen zu fördern. Wenn man die Schüler dazu zwingt, eine Vielzahl von Techniken für die Subtraktion zu erlernen, können sie sich einem Konzept aus verschiedenen Richtungen nähern, indem sie verschiedene Hilfsmittel verwenden und es mit anderen Konzepten verknüpfen, die sie lernen. Dies ist, kurz gesagt, das, was das Lehren von mathematischem Verständnis auf einer tiefen Ebene bewirken sollte. Und diese Vielfalt an Ansätzen zum Aufbau eines tiefen Verständnisses ist genau das, was mit den Common Core angestrebt wird.
Bei allem Gezeter über die CCSS und insbesondere die Mathematikstandards, die die Leute mit diesen Bildern von ungewohnten Methoden und Modellen oder von Arbeiten, die unerklärlicherweise herabgestuft werden, so sehr hassen, sind sie eigentlich ziemlich gut. Die Idee dahinter – ein Versuch, viele der früheren Lernstandards zu verbessern – ist es, ein tieferes Verständnis zu fördern, und darauf zielen sie definitiv ab. Sie sind nicht perfekt – als Mathematiklehrerin an einer High School habe ich einige Probleme damit, wie viel in bestimmten Kursen gepaukt wird und welche Themen möglicherweise überbetont werden. Aber diese Dinge können im Laufe der Zeit angepasst werden, ohne dass sie ganz gestrichen werden müssen. Und selbst wenn sie nicht verbessert werden, sollte ein fähiger und kompetenter Lehrer die CCSS als absolut brauchbare Standards betrachten – eine Verbesserung gegenüber dem, was wir vorher hatten. Was wir brauchen, um mit diesen Standards bestmöglich zu unterrichten, ist die bestmögliche Gruppe von Lehrern sowie eine stärkere nationale Betonung des Wertes von Bildung. Das Letzte, was wir meiner Meinung nach als Pädagogen jetzt brauchen, ist ein Neuanfang mit neuen Standards, gerade als wir uns an den Common Core gewöhnt haben.