Zahlentypen
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Zahlen werden nach ihrem Typ klassifiziert. Die erste Art von Zahlen ist die erste Art, über die du jemals etwas gelernt hast: die zählenden oder „natürlichen“ Zahlen:
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
Die nächste Art sind die „ganzen“ Zahlen, das sind die natürlichen Zahlen zusammen mit der Null:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
(Die von nordafrikanischen Gelehrten aus Indien verbreitete Zahl Null wurde von europäischen Autoritäten ursprünglich als dämonisch angesehen.)
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Dann kommen die „ganzen Zahlen“, die Null, die natürlichen Zahlen und die Negative der natürlichen Zahlen:
…, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
Die nächste Art von Zahlen sind die „rationalen“ oder gebrochenen Zahlen, die technisch gesehen als Verhältnisse (Divisionen) von ganzen Zahlen betrachtet werden. Mit anderen Worten, ein Bruch wird gebildet, indem eine ganze Zahl durch eine andere ganze Zahl geteilt wird.
Man beachte, dass jede neue Art von Zahl die vorhergehende Art in sich enthält. Die Ganzzahlen sind nur die natürlichen Zahlen mit der Null darin. Die ganzen Zahlen sind nur die ganzen Zahlen mit den Negativen. Und die Brüche sind nur die ganzen Zahlen mit all ihren Teilungen. (Denken Sie daran, dass Sie jede ganze Zahl in einen Bruch verwandeln können, indem Sie sie über die Zahl 1 legen. Zum Beispiel ist die ganze Zahl 4 auch der Bruch
).
Neben
Nachdem du dich mit Brüchen beschäftigt hast, gibt es eine weitere wichtige Klassifizierung von Zahlen: die, die nicht als Brüche geschrieben werden können. Denken Sie daran, dass Brüche (auch als rationale Zahlen bekannt) als abschließende (endende) oder wiederholende Dezimalzahlen geschrieben werden können; zum Beispiel sind 0,5 =
und 0,76 = , abschließende Dezimalzahlen, während 0,333333…. = und 0,538461538461… = wiederholende Dezimalzahlen sind. Auf der anderen Seite gibt es alle anderen Zahlen, die nicht als sich wiederholende, nicht abschließende Dezimalzahlen geschrieben werden können; diese Zahlen sind nicht-rational (d. h. sie können nicht als Brüche geschrieben werden), daher werden sie „Irrationale“ genannt. Beispiele hierfür sind („die Quadratwurzel aus zwei“) oder die Zahl („3,14159…“, aus der Geometrie). Die Rationalen und die Irrationalen sind zwei völlig verschiedene Zahlentypen; es gibt keine Überschneidungen.
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Fasst man diese beiden großen Klassifizierungen, die Rationalen und die Irrationalen, in einem Satz zusammen, erhält man die „reellen“ Zahlen. Wenn du nicht gerade mit komplexen Zahlen zu tun hast (die Zahlen mit einem „i“, wie z.B. 4 – 3i), dann war jede Zahl, die du je gesehen hast, eine „reelle“ Zahl. „Aber warum“, fragst du, „nennt man sie ‚echte‘ Zahlen? Gibt es auch ‚unechte‘ Zahlen?“ Nun, ja, die gibt es tatsächlich, obwohl sie eigentlich „imaginäre“ Zahlen heißen; sie werden verwendet, um die komplexen Zahlen zu bilden, und „imaginär“ ist das, wofür das „i“ steht.
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Die häufigste Frage, die ich in Bezug auf Zahlentypen höre, lautet in etwa so: „Ist eine reelle Zahl irrational, oder ist eine irrationale Zahl real, oder weder noch… oder beides?“ Wenn Sie sich nicht mit Komplexen auskennen, haben Sie bei allem, was Sie je getan haben, reelle Zahlen verwendet. Wenn die Zahl kein „i“ enthält, ist sie eine reelle Zahl.
Hier sind einige typische Fragen zum Thema Zahlen (vorausgesetzt, du hast noch nichts über imaginäre und komplexe Zahlen gelernt):
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Wahr oder Falsch: Eine ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl.
Da jede ganze Zahl als Bruch formatiert werden kann, indem man sie über 1 setzt, ist diese Aussage wahr.
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Wahr oder Falsch: Eine rationale Zahl ist auch eine ganze Zahl.
Nicht unbedingt; die ganze Zahl 4 ist auch die rationale Zahl
, aber die rationale Zahl ist zum Beispiel nicht auch eine ganze Zahl. Diese Aussage ist also falsch.
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Wahr oder Falsch: Eine Zahl ist entweder eine rationale Zahl oder eine irrationale Zahl, aber nicht beides.
Wahr! In dezimaler Form ist eine Zahl entweder nicht endend und nicht wiederholend (also eine irrationale Zahl) oder nicht (also eine rationale Zahl); es gibt keine Überschneidung zwischen diesen beiden Zahlentypen!
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Klassifiziere nach dem Zahlentyp; manche Zahlen können von mehr als einem Typ sein.
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0,45
Dies ist eine abschließende Dezimalzahl, kann also als Bruch geschrieben werden:
. Da sich dieser Bruch nicht auf eine ganze Zahl reduzieren lässt, ist er weder eine ganze Zahl noch ein Natural. Und alles ist eine reelle Zahl, also lautet die Antwort: rational, real
-
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510…
Sie erkennen wahrscheinlich, dass es sich um π handelt, auch wenn dies vielleicht mehr Nachkommastellen sind, als Sie normalerweise verwenden. Der Punkt ist jedoch, dass sich die Dezimalstelle nicht wiederholt, also ist π eine Irrationale. Und alles (was du bisher kennst) ist eine reelle Zahl, also lautet die Antwort: irrational, reell
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3.14159
Lass dich davon nicht täuschen! Ja, so etwas wird oft als Näherung von π verwendet, aber es ist nicht π! Es handelt sich um eine gerundete dezimale Annäherung, und da diese Annäherung endet, handelt es sich tatsächlich um eine rationale Zahl, im Gegensatz zu π selbst, die irrational ist! Die Antwort lautet: rational, real
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10
Offensichtlich handelt es sich um eine zählende Zahl. Das bedeutet, dass es sich auch um eine ganze Zahl und eine ganze Zahl handelt. Je nach Text und Lehrer (es gibt einige Ungereimtheiten), kann dies auch als rationale Zahl gezählt werden, was es technisch gesehen auch ist. Und natürlich ist es auch eine reelle Zahl. Die Antwort lautet: natürlich, ganz, ganzzahlig, rational (möglicherweise), real
Das ist ein Bruch, also ein rationaler Wert. Es ist auch eine reelle Zahl, also lautet die Antwort: rational, real
Dies kann auch als
geschrieben werden, was dasselbe ist wie bei der vorherigen Aufgabe. Die Antwort lautet: rational, real
Ihr erster Impuls könnte sein, zu sagen, dass dies irrational ist, weil es eine Quadratwurzel ist, aber beachten Sie, dass diese Quadratwurzel vereinfacht:
, was nur eine ganze Zahl ist. Die Antwort lautet: ganzzahlig, rational, real
Diese Zahl wird als Bruch angegeben, aber man beachte, dass sie sich auf -3 reduziert, also kann sie auch als ganze Zahl gelten. Die Antwort lautet: integer (possibly), rational, real
Abgesehen von dem Abschnitt in Ihrem Buch, in dem Sie Zahlen nach ihrem Typ klassifizieren müssen, müssen Sie mit dieser Hierarchie nicht besonders vertraut sein. Wichtiger ist, dass Sie wissen, was die Begriffe bedeuten, wenn Sie sie hören. Wenn Ihre Lehrerin oder Ihr Lehrer zum Beispiel von „ganzen Zahlen“ spricht, sollten Sie wissen, dass sich der Begriff auf die Zählzahlen, ihre Negative und die Null bezieht.
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