Getal Types

Purplemath

Getallen worden ingedeeld volgens type. Het eerste type getal is het eerste type waar je ooit over geleerd hebt: de tellende, of “natuurlijke” getallen:

Het volgende type zijn de “gehele” getallen, dat zijn de natuurlijke getallen samen met nul:

(Het getal nul, uit India verspreid door Noord-Afrikaanse geleerden, werd oorspronkelijk door Europese autoriteiten als demonisch beschouwd.)

…., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

Elk geheel getal

Als je eenmaal over breuken hebt geleerd, is er nog een andere belangrijke classificatie van getallen: de getallen die niet als breuken kunnen worden geschreven. Onthoud dat breuken (ook bekend als rationale getallen) geschreven kunnen worden als afsluitende (eindigende) of herhalende decimalen; bijvoorbeeld, 0.5 =

en 0.76 = , zijn afsluitende decimalen, terwijl 0.333333…. = en 0.538461538461… = herhalende decimalen zijn. Aan de andere kant hebben we al die andere getallen die geschreven kunnen worden als niet-herhalende, niet-aflopende decimalen; deze getallen zijn niet-rationaal (dat wil zeggen dat ze niet als breuken geschreven kunnen worden), daarom worden ze de “irrationalen” genoemd. Voorbeelden zijn (“de vierkantswortel van twee”) of het getal (“3,14159…”, uit de meetkunde). De rationale getallen en de irrationalen zijn twee totaal verschillende getallensoorten; er is geen overlapping.

Als je deze twee grote classificaties, de rationale getallen en de irrationalen, samenvoegt, krijg je de “reële” getallen. Tenzij je te maken hebt gehad met complexe getallen (de getallen met een “i” erin, zoals 4 – 3i), dan is elk getal dat je ooit hebt gezien een “reëel” getal geweest. “Maar waarom”, vraag je, “worden ze ‘echte’ getallen genoemd? Zijn er ook ‘onechte’ getallen?” Nou, ja, eigenlijk zijn ze er, hoewel ze eigenlijk “imaginaire” getallen worden genoemd; ze zijn wat wordt gebruikt om de complexe getallen te maken, en “imaginary” is waar de “i” voor staat.

Affiliate

De meest voorkomende vraag die ik hoor met betrekking tot getaltypes is iets in de trant van “Is een reëel getal irrationeel, of is een irrationeel getal reëel, of geen van beide… of allebei?” Tenzij je iets weet over complexen, heb je altijd reële getallen gebruikt. Tenzij er een “i” in het getal staat, is het een reëel getal.

Hier volgen enkele typische getallen-achtige vragen (ervan uitgaande dat je nog niet geleerd hebt over imaginaties en complexen):

• Waar of onwaar: Een geheel getal is ook een rationaal getal.

Sinds elk geheel getal als breuk kan worden geformatteerd door het over 1 te zetten, dan is deze bewering waar.

• Waar of Onwaar: Een rationaal getal is ook een geheel getal.

Niet noodzakelijk; het gehele getal 4 is ook het rationale getal

maar bijvoorbeeld het rationale getal is niet ook een geheel getal. Deze bewering is dus onjuist.

• Waar of onwaar: Een getal is óf een rationaal getal óf een irrationaal getal, maar niet allebei.

Waar! In decimale vorm is een getal ofwel niet-terminerend en niet-herhalend (dus een irrationaal) of anders niet (dus een rationaal); er is geen overlap tussen deze twee getaltypes!

Content Continues Below

Classificeer volgens getaltype; sommige getallen kunnen van meer dan één type zijn.

• 0,45

Dit is een afsluitende decimaal, dus kan het geschreven worden als een breuk:

. Aangezien deze breuk niet herleidt tot een geheel getal, is het geen geheel getal of een natuurlijk getal. En alles is een reëel, dus het antwoord is: rationaal, reëel

• 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510…

Je herkent dit waarschijnlijk als π, hoewel dit misschien meer decimalen zijn dan je gebruikelijk bent. Het punt is echter dat de decimaal zich niet herhaalt, dus π is een irrationale. En alles (wat je tot nu toe weet) is een reeel, dus het antwoord is: irrationaal, reeel

• 3.14159

Laat je hierdoor niet voor de gek houden! Ja, je gebruikt vaak zoiets als een benadering van π, maar het is niet π! Dit is een afgeronde decimale benadering, en aangezien deze benadering eindigt, is dit eigenlijk een rationale, in tegenstelling tot π zelf, die irrationaal is! Het antwoord is: rationaal, reëel

Verbonden

• 10

Het is duidelijk dat dit een telgetal is. Dat betekent dat het ook een geheel getal en een geheel getal is. Afhankelijk van de tekst en de leraar (er is enige inconsistentie), kan dit ook als een rationale geteld worden, wat het technisch gezien ook is. En natuurlijk is het ook een reëel. Het antwoord is: natuurlijk, geheel, geheel getal, rationaal (eventueel), reëel

Dit is een breuk, dus een rationaal. Het is ook een reëel, dus het antwoord is: rationaal, reëel

Dit kan ook geschreven worden als

, wat hetzelfde is als het vorige probleem. Het antwoord is: rationaal, reëel

Je eerste impuls is misschien om te zeggen dat dit irrationeel is, omdat het een vierkantswortel is, maar merk op dat deze vierkantswortel vereenvoudigt:

, wat gewoon een geheel getal is. Het antwoord is: geheel, rationaal, reëel

Dit getal wordt een breuk genoemd, maar merk op dat het herleidt tot -3, dus dit kan ook tellen als een geheel getal. Het antwoord is: geheel (mogelijk), rationaal, reëel

Behoudens voor het deel in uw boek waar u getallen moet indelen volgens type, hoeft u niet echt vertrouwd te zijn met deze hiërarchie. Het is belangrijker te weten wat de termen betekenen als je ze hoort. Als je leraar het bijvoorbeeld heeft over “gehele getallen”, moet je weten dat die term verwijst naar de telgetallen, hun negatieven en nul.

URL: https://www.purplemath.com/modules/numtypes.htm