Hoekversnelling
Deeltje in twee dimensiesEdit
In twee dimensies is de baanhoekversnelling de snelheid waarmee de tweedimensionale baanhoeksnelheid van het deeltje om de oorsprong verandert. De momentane hoeksnelheid ω op een willekeurig tijdstip wordt gegeven door
ω = v ⊥ r {\displaystyle \omega ={v_{\perp }}{r}}
,
waarbij r {\an8}
de afstand tot de oorsprong is en v ⊥ {\displaystyle v_{\perp }}
de radiale dwarscomponent van de momentane snelheid (d.w.z. de component loodrecht op de positievector), die volgens conventie positief is voor een beweging tegen de klok in en negatief voor een beweging met de klok mee.
De momentane hoekversnelling α van het deeltje wordt dus gegeven door
α = d d t ( v ⊥ r ) {\displaystyle \alpha ={\frac {d}{dt}}({\frac {v_{\perp }}{r}})}
.
Uitbreiding van het rechterlid met behulp van de productregel uit de differentiaalrekening, wordt dit
α = 1 r d v ⊥ d t – v ⊥ r 2 d r d t {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}}
.
In het speciale geval dat het deeltje een cirkelvormige beweging om de oorsprong ondergaat, is d v ⊥ d t {\displaystyle {\frac {dv_{\perp }}{dt}}
wordt gewoon de tangentiële versnelling a ⊥ {\displaystyle a_{perp }}
, en d r d t {\displaystyle {\frac {dr}{dt}}
verdwijnt (omdat de afstand tot de oorsprong constant blijft), zodat de bovenstaande vergelijking vereenvoudigt tot α = a ⊥ r {\displaystyle \alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}
.
In twee dimensies is de hoekversnelling een getal met plus- of minteken dat de oriëntatie aangeeft, maar niet in een richting wijst. Het teken wordt gewoonlijk positief opgevat als de hoeksnelheid toeneemt in de richting van de wijzers van de klok of afneemt in de richting van de wijzers van de klok, en het teken wordt negatief opgevat als de hoeksnelheid toeneemt in de richting van de wijzers van de klok of afneemt in de richting van de wijzers van de klok. De hoekversnelling kan dan een pseudoscalair worden genoemd, een numerieke grootheid die van teken verandert onder een pariteitsinversie, zoals het omkeren van een as of het verwisselen van de twee assen.
Deeltje in drie dimensiesEdit
In drie dimensies is de orbitale hoekversnelling de snelheid waarmee de driedimensionale orbitale hoeksnelheidsvector met de tijd verandert. De momentane hoeksnelheidsvector ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
op elk tijdstip wordt gegeven door ω = r × v r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \maal \mathbf {v} }{r^{2}}}}
,
waarbij r {\mathbf {r}} }
de positievector van het deeltje is en v {\displaystyle \mathbf {v} }
is de snelheidsvector.
De baanhoekversnelling is dus de vector α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}
gedefinieerd door α = d d t ( r × v r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d}{dt}}({\frac {\mathbf {r} \keer \mathbf {v}}{r^{2}})}
.
Door deze afgeleide uit te breiden met behulp van de productregel voor kruisproducten en de gewone quotiëntregel krijgt men:
α = 1 r 2 ( r × d v d t + d r d t × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = 1 r 2 ( r × a + v × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = r × a r 2 – 2 r 3 d r d t ( r × v ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}(\mathbf {r} \tijden {\frac {d\mathbf {v}}{dt}}+{\frac {d\mathbf {r}} )-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )\\\\&={\frac {1}{r^{2}}(\mathbf {r} \tijden \mathbf {a}}+{\mathbf {v} )-{\frac {1}{r^{2}}(\mathbf {r} \maal \mathbf {a} +{\mathbf {v} \times \mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{2}}}}}{\frac {d\mathbf {v}}}}+{\frac {d\mathbf {v}}}{r}}{\frac {2}{r^{3}}{\frac {dr}{dt}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )\\\\&={\frac {\mathbf {r} \maal \mathbf {a}} }{r^{2}}-{\frac {2}{r^{3}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} ).\end{aligned}}
Sinds r × v {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }
is gewoon r 2 ω {\displaystyle r^{2}{\boldsymbol {\omega }}}
, kan de tweede term worden herschreven als – 2 r d r d t ω {{\displaystyle -{frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}}
. In het geval dat de afstand r {\displaystyle r}
van het deeltje tot de oorsprong niet met de tijd verandert (waaronder cirkelvormige beweging in een subgeval valt), verdwijnt de tweede term en wordt de bovenstaande formule vereenvoudigd tot α = r × a r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r}} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}}
.
Uit bovenstaande vergelijking kan men de dwarsstraalversnelling in dit speciale geval afleiden als:
a ⊥ = α × r {\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }} tijden \mathbf {r}} }
.
Anders dan in twee dimensies hoeft de hoekversnelling in drie dimensies niet gepaard te gaan met een verandering van de hoeksnelheid: als de positievector van het deeltje zodanig in de ruimte “draait” dat zijn momentane vlak van hoekverplaatsing (d.w.z. het momentane vlak waarin de positievector een hoek uitzwaait) voortdurend verandert met de tijd, dan zal er, zelfs als de hoeksnelheid (d.w.z. de snelheid waarmee de positievector een hoek uitzwaait) constant is, nog steeds een niet-nul hoekversnelling zijn omdat de richting van de hoeksnelheidsvector voortdurend verandert met de tijd. Dit kan niet gebeuren in twee dimensies omdat de positievector beperkt is tot een vast vlak zodat elke verandering in hoeksnelheid moet zijn door een verandering in zijn magnitude.
De hoekversnellingsvector wordt beter een pseudovector genoemd: Hij heeft drie componenten die onder rotaties op dezelfde manier transformeren als de cartesische coördinaten van een punt, maar die onder reflecties niet transformeren als cartesische coördinaten.
Verband met koppelEdit
Het netto koppel op een puntdeeltje is gedefinieerd als de pseudovector
τ = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {tau }}=\mathbf {r} \maal \mathbf {F}} }
,
waarbij F {{\leum}} }
de nettokracht op het deeltje is.
Torsie is het rotatie-analogon van kracht: het brengt verandering in de rotatietoestand van een systeem teweeg, net zoals kracht verandering in de translatietoestand van een systeem teweegbrengt. Aangezien de netto kracht op een deeltje kan worden verbonden met de versnelling van het deeltje door de vergelijking F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
, kan men hopen een gelijkaardig verband te construeren tussen het nettokoppel op een deeltje en de hoekversnelling van het deeltje. Dat kan als volgt worden gedaan:
Vervang eerst F = m a {\mathbf {F} =mathbf {a} }
in de bovenstaande vergelijking voor het koppel, krijgt men τ = m ( r × a ) = m r 2 ( r × a r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=m(\mathbf {r} \times \mathbf {a} )=mr^{2}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a}}{r^{2}})}
.
Maar uit het vorige hoofdstuk was af te leiden dat
α = r × a r 2 – 2 r d r d t ω {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}}{\boldsymbol {\omega }}
,
waar α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}
de baanhoekversnelling van het deeltje is en ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
is de baanhoeksnelheid van het deeltje. Hieruit volgt dat τ = m r 2 ( α + 2 r d r d t ω ) = m r 2 α + 2 m r d r d t ω . {\displaystyle {begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=mr^{2}({\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }})\\\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}+2mr{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}.\eind{aligned}}
In het speciale geval dat de afstand r {\displaystyle r}
van het deeltje tot de oorsprong niet met de tijd verandert, verdwijnt de tweede term in bovenstaande vergelijking en wordt bovenstaande vergelijking vereenvoudigd tot τ = m r 2 α {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}
,
wat kan worden geïnterpreteerd als een “rotatieanalogon” van F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a}} }
, waarbij de grootheid m r 2 {\displaystyle mr^{2}}
(bekend als het traagheidsmoment van het deeltje) de rol speelt van de massa m {\displaystyle m}
. Maar in tegenstelling tot F = m a {\displaystyle mathbf {F} =mathmathbf {a} }
, is deze vergelijking niet toepasbaar op een willekeurige baan. Kortom, het algemene verband tussen koppel en hoekversnelling is noodzakelijkerwijs ingewikkelder dan dat voor kracht en lineaire versnelling.