Hyperbool

Hyperbool

Wist je dat de baan van een ruimteschip soms een hyperbool kan zijn?

Een ruimteschip kan de zwaartekracht van een planeet gebruiken om zijn pad te veranderen en het met hoge snelheid van de planeet weg te stuwen en weer de ruimte in met een techniek die “gravitationele katapult” heet.

Als dit gebeurt, dan is het pad van het ruimteschip een hyperbool.

(Speel hiermee bij Gravity Freeplay)

Definitie

Een hyperbool is twee krommen die als oneindige bogen zijn.

Een van de krommen bekeken:

Elk punt P ligt constant dichter bij F dan bij G

De andere kromme is een spiegelbeeld, en ligt dichter bij G dan bij F.

Met andere woorden, de afstand van P tot F is altijd constant kleiner dan de afstand van P tot G. (En voor de andere kromme is P tot G altijd kleiner dan P tot F met die constante hoeveelheid.)

Elke boog wordt een tak genoemd en F en G worden elk een brandpunt genoemd.

Probeer het zelf eens:

Probeer eens punt P te verplaatsen: wat merkt u van de lengtes PF en PG ?

Probeer ook eens punt P op de andere tak te zetten.

Er zijn nog meer interessante dingen:

Op het diagram kun je zien:

• een symmetrie-as (die door elk brandpunt gaat)
• twee hoekpunten (waar elke kromme zijn scherpste bocht maakt)
• de afstand tussen de hoekpunten (2a op het diagram) is het constante verschil tussen de lengtes PF en PG
• twee asymptoten die geen deel uitmaken van de hyperbool maar aangeven waar de kromme heen zou gaan als ze oneindig in elk van de vier richtingen zou doorlopen

En, strikt genomen is er ook een andere symmetrie-as die door het midden loopt en de twee takken van de hyperbool scheidt.

Conische doorsnede Je kunt ook een hyperbool krijgen als je door een dubbele kegel snijdt. De snede moet steiler zijn dan die voor een parabool, maar hoeft niet evenwijdig te zijn aan de as van de kegel, wil de hyperbool symmetrisch zijn. De hyperbool is dus een kegelsnede (een doorsnede van een kegel).

Vergelijking

Als je een hyperbool op een x-y grafiek zet (met het middelpunt op de x-as en de y-as), dan is de vergelijking van de kromme:

x2a2 – y2b2 = 1

Ook:

Een hoekpunt ligt op (a, 0), en het andere op (-a, 0)

De asymptoten zijn de rechte lijnen:

• y = (b/a)x
• y = -(b/a)x

(Merk op: de vergelijking is gelijk aan de vergelijking van de ellips: x2/a2 + y2/b2 = 1, behalve een “-” in plaats van een “+”)

Excentriciteit

Een tak van een hyperbool kan ook worden gedefinieerd als een kromme waarbij de afstanden van elk punt tot:

• een vast punt (het brandpunt), en
• een vaste rechte lijn (de directrix)altijd in dezelfde verhouding staan.

Deze verhouding heet de excentriciteit, en is voor een hyperbool altijd groter dan 1.

De excentriciteit (meestal weergegeven als de letter e) geeft aan hoe “uncurvy” (afwijkend van het zijn van een cirkel) de hyperbolais is.

Op dit diagram:

• P is een punt op de kromme,
• F is het brandpunt en
• N is het punt op de directrix, zodat PN loodrecht op de directrix staat.

De excentriciteit is de verhouding PF/PN, en heeft de formule:

e = √(a2+b2)a

Gebruik makend van “a” en “b” uit het diagram hierboven.

Latus Rectum

De Latus Rectum is de lijn door het brandpunt en evenwijdig aan de directrix. De lengte van het Latus Rectum is 2b2/a.

1/x

De reciproke functie y = 1/x is een hyperbool!