Accelerazione angolare
Particella in due dimensioniModifica
In due dimensioni, l’accelerazione angolare orbitale è la velocità con cui la velocità angolare orbitale bidimensionale della particella intorno all’origine cambia. La velocità angolare istantanea ω in qualsiasi punto del tempo è data da
ω = v ⊥ r {displaystyle \omega ={frac {v_{perp }{r}}}
,
dove r {displaystyle r}
è la distanza dall’origine e v ⊥ {displaystyle v_{\\perp}
è la componente trasversale della velocità istantanea (cioè la componente perpendicolare al vettore posizione), che per convenzione è positiva per il moto antiorario e negativa per il moto orario.
Pertanto, l’accelerazione angolare istantanea α della particella è data da
α = d d t ( v ⊥ r ) {displaystyle \alpha ={frac {d}{dt}}({\frac {v_{\perp }{r})}
.
Espandendo la parte destra usando la regola del prodotto del calcolo differenziale, questo diventa
α = 1 r d v ⊥ d t – v ⊥ r 2 d r d t {displaystyle \alpha ={\frac {1}{r}{frac {dv_{\perp}{dt}-{\frac {v_{\perp}{r^{2}}{\frac {dr}{dt}}
.
Nel caso speciale in cui la particella subisce un moto circolare intorno all’origine, d v ⊥ d t {displaystyle {\frac {dv_{\perp}}{dt}}
diventa solo l’accelerazione tangenziale a ⊥ {displaystyle a_{\\perp}
, e d r d t {displaystyle {frac {dr}{dt}}
svanisce (poiché la distanza dall’origine rimane costante), quindi l’equazione di cui sopra si semplifica in α = a ⊥ r {\displaystyle \alpha ={frac {a_{\perp}}{r}}}
.
In due dimensioni, l’accelerazione angolare è un numero con segno più o meno che indica l’orientamento, ma non punta in una direzione. Il segno è convenzionalmente considerato positivo se la velocità angolare aumenta in senso antiorario o diminuisce in senso orario, e il segno è considerato negativo se la velocità angolare aumenta in senso orario o diminuisce in senso antiorario. L’accelerazione angolare può quindi essere definita uno pseudoscalare, una quantità numerica che cambia segno sotto un’inversione di parità, come l’inversione di un asse o lo scambio dei due assi.
Particella in tre dimensioniModifica
In tre dimensioni, l’accelerazione angolare orbitale è la velocità con cui il vettore di velocità angolare orbitale tridimensionale cambia nel tempo. Il vettore velocità angolare istantanea ω {displaystyle {boldsymbol {omega}}
in qualsiasi punto del tempo è dato da ω = r × v r 2 {displaystyle {boldsymbol {omega}={frac {mathbf {r} \tempi \mathbf {v} }{r^{2}}}}
,
dove r {displaystyle \mathbf {r} }
è il vettore posizione della particella e v {displaystyle \mathbf {v}
è il suo vettore velocità.
Pertanto, l’accelerazione angolare orbitale è il vettore α {displaystyle {boldsymbol {alpha}}
definito da α = d d t ( r × v r 2 ) {displaystyle {boldsymbol {alpha}={frac {d}{dt}}({\frac {mathbf {r} \times \mathbf {v}}{r^{2}})}
.
Espandendo questa derivata usando la regola del prodotto per i prodotti incrociati e la regola del quoziente ordinario, si ottiene:
α = 1 r 2 ( r × d v d t + d r d t × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = 1 r 2 ( r × a + v × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = r × a r 2 – 2 r 3 d r d t ( r × v ) . {displaystyle {begin{aligned}{boldsymbol {alpha }&={frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \tempo {dmathbf {v} + tempo {dmathbf {r} + tempo {dmathbf {r} + tempo {dmathbf {r} )-{frac {2}{r^{3}}}{frac {dr}{dt}(\mathbf {r} \tempi \mathbf {v} )\\\\&={frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \tempi \mathbf {a} +mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{3}}}{frac {dr}{dt}(\mathbf {r} \tempi \mathbf {v} )\\\\&={frac {mathbf {r} \tempi \mathbf {a} {r^{2}}}-{frac {2}{r^{3}}{frac {dr}{dt}(\mathbf {r} \tempi \mathbf {v} ).\end{aligned}}
Siccome r × v {displaystyle \mathbf {r} \volte \mathbf {v} }
è solo r 2 ω {displaystyle r^{2}{boldsymbol {\omega}}
, il secondo termine può essere riscritto come – 2 r d r d t ω {{displaystyle -{frac {2}{r}}{frac {dr}{dt}}{boldsymbol {\omega }}
. Nel caso in cui la distanza r {displaystyle r}
della particella dall’origine non cambia con il tempo (che include il moto circolare come sottocaso), il secondo termine svanisce e la formula di cui sopra si semplifica in α = r × a r 2 {\displaystyle {boldsymbol {alpha }={frac {mathbf {r} \volte \mathbf {a} }{r^{2}}}}
.
Dall’equazione di cui sopra, si può recuperare l’accelerazione radiale incrociata in questo caso speciale come:
a ⊥ = α × r {displaystyle \mathbf {a} _{perp }={boldsymbol {\alpha}}times \mathbf {r} }
.
A differenza delle due dimensioni, l’accelerazione angolare in tre dimensioni non deve necessariamente essere associata a una variazione della velocità angolare: se il vettore posizione della particella si “torce” nello spazio in modo tale che il suo piano istantaneo di spostamento angolare (cioè il piano istantaneo in cui il vettore posizione spazza via l’angolo) cambia continuamente con il tempo, allora anche se la velocità angolare (cioè la velocità a cui il vettore posizione spazza via l’angolo) è costante, ci sarà ancora un’accelerazione angolare non nulla perché la direzione del vettore velocità angolare cambia continuamente con il tempo. Questo non può accadere in due dimensioni perché il vettore posizione è ristretto ad un piano fisso in modo che qualsiasi cambiamento nella velocità angolare deve essere attraverso un cambiamento nella sua magnitudine.
Il vettore accelerazione angolare è più propriamente chiamato uno pseudovettore: Ha tre componenti che si trasformano sotto le rotazioni allo stesso modo delle coordinate cartesiane di un punto, ma che sotto le riflessioni non si trasformano come le coordinate cartesiane.
Relazione con la coppiaModifica
La coppia netta su una particella puntiforme è definita come lo pseudovettore
τ = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }=\mathbf {r} \volte \mathbf {F} }
,
dove F {displaystyle \mathbf {F} }
è la forza netta sulla particella.
La coppia è l’analogo rotazionale della forza: induce un cambiamento nello stato rotazionale di un sistema, proprio come la forza induce un cambiamento nello stato traslazionale di un sistema. Poiché la forza netta su una particella può essere collegata all’accelerazione della particella dall’equazione F = m a {displaystyle \mathbf {F} =mathbf {a} }
, si può sperare di costruire una relazione simile che colleghi la coppia netta su una particella all’accelerazione angolare della particella. Questo può essere fatto come segue:
Prima, sostituendo F = m a {displaystyle \mathbf {F} =mathbf {a} }
nella precedente equazione per la coppia, si ottiene τ = m ( r × a ) = m r 2 ( r × a r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }=m(\mathbf {r} \tempi \mathbf {a} )=mr^{2}({\frac {mathbf {r} \tempi \mathbf {a}})}
.
Ma dalla sezione precedente si è ricavato che
α = r × a r 2 – 2 r d r d t ω {displaystyle {boldsymbol {alpha }}={frac {mathbf {r} \tempi \mathbf {a}
,
dove α {displaystyle {{boldsymbol{alpha}}
è l’accelerazione angolare orbitale della particella e ω {displaystyle {\boldsymbol {\omega}}
è la velocità angolare orbitale della particella. Pertanto, segue che τ = m r 2 ( α + 2 r d r d t ω ) = m r 2 α + 2 m r d r d t ω . {Se si considera che il risultato di un’operazione di questo tipo è un’operazione che non ha nulla a che vedere con la realtà, si può affermare che τ = m r 2 ( α + 2 r d r d t ω ) = m r 2 + 2 m r d r d t ω . \\\\&=mr^{2}({dr}{dr}{dt}}{boldsymbol {{omega }})\\\\&=mr^{2}{boldsymbol {{alpha }}+2mr{frac {dr}{dt}}{boldsymbol {omega }}.\end{aligned}}
Nel caso speciale in cui la distanza r {displaystyle r}
della particella dall’origine non cambia con il tempo, il secondo termine nell’equazione precedente scompare e l’equazione di cui sopra si semplifica in τ = m r 2 α {displaystyle {boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{boldsymbol {\alpha}}
,
che può essere interpretato come un “analogo rotazionale” di F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =mathbf {a} }
, dove la quantità m r 2 {displaystyle mr^{2}
(nota come momento d’inerzia della particella) svolge il ruolo della massa m {displaystyle m}
. Tuttavia, a differenza di F = m a {displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
, questa equazione non è applicabile ad una traiettoria arbitraria. In conclusione, la relazione generale tra coppia e accelerazione angolare è necessariamente più complicata di quella tra forza e accelerazione lineare.