Algebra iniziale
Obiettivi di apprendimento
- Plottare coppie ordinate
- Identificare le componenti del piano delle coordinate
- Plottare coppie ordinate sul piano di coordinate
- Identificare i quadranti sul piano di coordinate
- Identificare i quattro quadranti di un piano di coordinate
- Data una coppia ordinata, determinare il suo quadrante
Il piano delle coordinate è stato sviluppato secoli fa (nel 1637, per essere esatti) e perfezionato dal matematico francese René Descartes. In suo onore, il sistema è talvolta chiamato sistema di coordinate cartesiane. Il piano delle coordinate può essere usato per tracciare punti e tracciare linee. Questo sistema ci permette di descrivere relazioni algebriche in un senso visivo, e ci aiuta anche a creare e interpretare concetti algebrici.
I componenti del piano di coordinate
Tu hai probabilmente usato un piano di coordinate prima. Per esempio, hai mai usato una griglia per mappare la posizione di un oggetto? (Questo viene fatto spesso anche con le mappe stradali.)
Questa “mappa” usa una griglia orizzontale e verticale per trasmettere informazioni sulla posizione di un oggetto. Notate che le lettere A-F sono elencate lungo la parte superiore, e i numeri 1-6 sono elencati lungo il bordo sinistro. La posizione generale di qualsiasi oggetto su questa mappa può essere trovata usando la lettera e il numero della sua casella della griglia. Per esempio, puoi trovare l’elemento che esiste nella casella “4F” muovendo il dito lungo l’orizzontale fino alla lettera F e poi dritto verso il basso in modo da essere in linea con il 4. Troverai un disco blu in questa posizione sulla mappa.
Il piano delle coordinate ha elementi simili alla griglia mostrata sopra. È costituito da un asse orizzontale e un asse verticale, linee di numeri che si intersecano ad angolo retto. (Sono perpendicolari tra loro.)
L’asse orizzontale nel piano delle coordinate è chiamato asse x. L’asse verticale è chiamato asse y. Il punto in cui i due assi si intersecano è chiamato origine. L’origine è a 0 sull’asse x e a 0 sull’asse y.
Le posizioni sul piano delle coordinate sono descritte come coppie ordinate. Una coppia ordinata ti dice la posizione di un punto mettendo in relazione la posizione del punto lungo l’asse x (il primo valore della coppia ordinata) e lungo l’asse y (il secondo valore della coppia ordinata).
In una coppia ordinata, come (x, y), il primo valore è chiamato coordinata x e il secondo valore è la coordinata y. Si noti che la coordinata x è elencata prima della coordinata y. Poiché l’origine ha una coordinata x di 0 e una coordinata y di 0, la sua coppia ordinata è scritta (0, 0).
Considera il punto qui sotto.
Per identificare la posizione di questo punto, inizia dall’origine (0, 0) e spostati a destra lungo l’asse x fino a trovarti sotto il punto. Guarda l’etichetta sull’asse x. Il 4 indica che, dall’origine, hai viaggiato quattro unità a destra lungo l’asse x. Questa è la coordinata x, il primo numero della coppia ordinata.
Dal 4 sull’asse x spostati verso il punto e nota il numero con cui si allinea sull’asse y. Il 3 indica che, dopo aver lasciato l’asse delle x, hai viaggiato 3 unità verso l’alto in direzione verticale, la direzione dell’asse delle y. Questo numero è la coordinata y, il secondo numero della coppia ordinata. Con una coordinata x di 4 e una coordinata y di 3, si ha la coppia ordinata (4, 3).
Guardiamo un altro esempio.
Esempio
Descrivi il punto mostrato come una coppia ordinata.
Descrivere il punto mostrato come una coppia ordinata
Tracciare punti nel piano delle coordinate
Ora che sai come usare gli assi x e y, puoi anche tracciare una coppia ordinata. Ricorda solo che entrambi i processi partono dall’origine – l’inizio! L’esempio che segue mostra come tracciare la coppia ordinata (1,3).
Esempio
Traccia il punto (1, 3).
Nell’esempio precedente, entrambe le coordinate x e y erano positive. Quando una (o entrambe) le coordinate di una coppia ordinata è negativa, è necessario muoversi in direzione negativa lungo uno o entrambi gli assi. Considera l’esempio seguente in cui entrambe le coordinate sono negative.
Esempio
Plottare il punto (-4,-2).
La coordinata x è -4 perché viene prima nella coppia ordinata. Inizia dall’origine e muovi 4 unità in direzione negativa (sinistra) lungo l’asse x.
La coordinata y è -2 perché è la seconda nella coppia ordinata. Ora spostati di 2 unità in direzione negativa (giù). Se guardi verso l’asse y, dovresti essere allineato con -2 su quell’asse.
I passi per tracciare un punto sono riassunti qui sotto.
Passi per tracciare una coppia ordinata (x, y) nel piano delle coordinate
- Determina la coordinata x. A partire dall’origine, muoviti orizzontalmente, nella direzione dell’asse x, della distanza data dalla coordinata x. Se la coordinata x è positiva, spostati verso destra; se la coordinata x è negativa, spostati verso sinistra.
- Determina la coordinata y. A partire dalla coordinata x, spostarsi verticalmente, nella direzione dell’asse y, della distanza data dalla coordinata y. Se la coordinata y è positiva, spostati verso l’alto; se la coordinata y è negativa, spostati verso il basso.
- Disegna un punto nella posizione finale. Etichetta il punto con la coppia ordinata.
Tracciare punti sul piano delle coordinate
Identifica i quadranti e usali per tracciare punti
L’intersezione delle assi x e y del piano delle coordinate lo divide in quattro sezioni. Queste quattro sezioni sono chiamate quadranti. I quadranti sono nominati usando i numeri romani I, II, III e IV iniziando dal quadrante in alto a destra e muovendosi in senso antiorario.
Le coppie ordinate all’interno di ogni particolare quadrante condividono certe caratteristiche. Guarda ogni quadrante nel grafico qui sotto. Cosa noti sui segni delle coordinate x e y dei punti all’interno di ogni quadrante?
In ogni quadrante, i segni delle coordinate x e y di ogni coppia ordinata sono gli stessi. Essi seguono anche uno schema, che è delineato nella tabella sottostante.
| Quadrante | Forma generale del punto in questo quadrante | Esempio | Descrizione |
|---|---|---|---|
| I | (+,+) | (5,4) | Partendo dall’origine, vai lungo l’asse x in direzione positiva (destra) e lungo l’asse y in direzione positiva (su). |
| II | (-,+) | (-5,4) | Partendo dall’origine, vai lungo l’asse x in direzione negativa (sinistra) e lungo l’asse y in direzione positiva (su). |
| III | (-,-) | (-5,-4) | Partendo dall’origine, vai lungo l’asse x in direzione negativa (sinistra) e lungo l’asse y in direzione negativa (giù). |
| IV | (+,-) | (5,-4) | Partendo dall’origine, vai lungo l’asse x in direzione positiva (destra) e lungo l’asse y in direzione negativa (giù). |
Una volta che conosci i quadranti nel piano delle coordinate, puoi determinare il quadrante di una coppia ordinata senza nemmeno fare un grafico guardando il grafico qui sopra. Ecco un altro modo per pensarci.
L’esempio qui sotto spiega come determinare la posizione del quadrante di un punto semplicemente pensando ai segni delle sue coordinate. Pensare alla posizione del quadrante prima di tracciare un punto può aiutare a prevenire un errore. È anche una conoscenza utile per controllare di aver tracciato un punto correttamente.
Esempio
In quale quadrante si trova il punto (-7,10)?
Esempio
In quale quadrante si trova il punto (-10,-5)?
Cosa succede se una coppia ordinata ha una coordinata x o y pari a zero? L’esempio qui sotto mostra il grafico della coppia ordinata (0,4).
Un punto situato su uno degli assi non è considerato in un quadrante. È semplicemente su uno degli assi. Ogni volta che la coordinata x è 0, il punto si trova sull’asse y. Allo stesso modo, qualsiasi punto che ha una coordinata y pari a 0 si trova sull’asse x.
Identificare i quadranti e usarli per tracciare punti
Sommario
Il piano delle coordinate è un sistema per rappresentare graficamente e descrivere punti e linee. Il piano delle coordinate è composto da un asse orizzontale (x) e un asse verticale (y). L’intersezione di queste linee crea l’origine, che è il punto (0,0). Il piano delle coordinate è diviso in quattro quadranti. Insieme, queste caratteristiche del sistema di coordinate permettono la rappresentazione grafica e la comunicazione di punti, linee e altri concetti algebrici.