Calcolo differenziale

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Calcolo differenziale

OptimizationEdit

Se f è una funzione differenziabile su ℝ (o un intervallo aperto) e x è un massimo locale o un minimo locale di f, allora la derivata di f in x è zero. I punti in cui f'(x) = 0 sono chiamati punti critici o punti stazionari (e il valore di f in x è chiamato valore critico). Se non si assume che f sia ovunque differenziabile, allora anche i punti in cui non è differenziabile sono detti punti critici.

Se f è due volte differenziabile, allora al contrario, un punto critico x di f può essere analizzato considerando la derivata seconda di f in x :

• se è positiva, x è un minimo locale;
• se è negativa, x è un massimo locale;
• se è zero, allora x potrebbe essere un minimo locale, un massimo locale o nessuno dei due. (Per esempio, f(x) = x3 ha un punto critico in x = 0, ma non ha né un massimo né un minimo lì, mentre f(x) = ± x4 ha un punto critico in x = 0 e un minimo e un massimo, rispettivamente, lì.)

Questo è chiamato test della derivata seconda. Un approccio alternativo, chiamato test della prima derivata, comporta la considerazione del segno di f’ su ogni lato del punto critico.

Prendere le derivate e risolvere i punti critici è quindi spesso un modo semplice per trovare minimi o massimi locali, che possono essere utili nell’ottimizzazione. Per il teorema dei valori estremi, una funzione continua su un intervallo chiuso deve raggiungere i suoi valori minimi e massimi almeno una volta. Se la funzione è differenziabile, i minimi e i massimi possono verificarsi solo nei punti critici o nei punti finali.

Questo ha anche applicazioni nel disegno dei grafici: una volta trovati i minimi e i massimi locali di una funzione differenziabile, un grafico approssimativo del grafico può essere ottenuto dall’osservazione che sarà crescente o decrescente tra i punti critici.

In dimensioni superiori, un punto critico di una funzione con valore scalare è un punto in cui il gradiente è zero. Il test delle derivate secondarie può ancora essere usato per analizzare i punti critici considerando gli autovalori della matrice Hessiana delle derivate secondarie parziali della funzione nel punto critico. Se tutti gli autovalori sono positivi, allora il punto è un minimo locale; se sono tutti negativi, è un massimo locale. Se ci sono alcuni autovalori positivi e alcuni autovalori negativi, allora il punto critico è chiamato “punto di sella”, e se nessuno di questi casi si verifica (cioè, alcuni degli autovalori sono zero) allora il test è considerato inconcludente.

Calcolo delle variazioniModifica

Un esempio di problema di ottimizzazione è: Trovare la curva più breve tra due punti su una superficie, assumendo che la curva deve anche stare sulla superficie. Se la superficie è un piano, allora la curva più breve è una linea. Ma se la superficie è, per esempio, a forma di uovo, allora il percorso più breve non è immediatamente chiaro. Questi percorsi sono chiamati geodetiche, e uno dei problemi fondamentali del calcolo delle variazioni è trovare le geodetiche. Un altro esempio è: Trova la superficie di area più piccola che riempie una curva chiusa nello spazio. Questa superficie è chiamata superficie minima e anch’essa può essere trovata usando il calcolo delle variazioni.

FisicaModifica

Il calcolo è di vitale importanza in fisica: molti processi fisici sono descritti da equazioni con derivate, chiamate equazioni differenziali. La fisica è particolarmente interessata al modo in cui le quantità cambiano e si sviluppano nel tempo, e il concetto di “derivata del tempo” – il tasso di cambiamento nel tempo – è essenziale per la definizione precisa di diversi concetti importanti. In particolare, le derivate temporali della posizione di un oggetto sono significative nella fisica newtoniana:

• la velocità è la derivata (rispetto al tempo) dello spostamento di un oggetto (distanza dalla posizione originale)
• l’accelerazione è la derivata (rispetto al tempo) della velocità di un oggetto, cioè la seconda derivata (rispetto al tempo) della posizione di un oggetto.
  

  allora la velocità dell’oggetto è

  x ˙ ( t ) = x ′ ( t ) = – 32 t + 16 , {displaystyle {{punto {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\\,\!}

  

  e l’accelerazione dell’oggetto è

  x ¨ ( t ) = x ″ ( t ) = – 32 , {\displaystyle {\ddot {x}(t)=x”(t)=-32,\\\,\!}

  

  che è costante.

  Equazioni differenzialiModifica

  Articolo principale: Equazione differenziale

  Un’equazione differenziale è una relazione tra un insieme di funzioni e le loro derivate. Un’equazione differenziale ordinaria è un’equazione differenziale che mette in relazione funzioni di una variabile con le loro derivate rispetto a quella variabile. Un’equazione differenziale parziale è un’equazione differenziale che mette in relazione funzioni di più di una variabile con le loro derivate parziali. Le equazioni differenziali sorgono naturalmente nelle scienze fisiche, nella modellazione matematica e nella matematica stessa. Per esempio, la seconda legge di Newton, che descrive la relazione tra accelerazione e forza, può essere enunciata come equazione differenziale ordinaria

  F ( t ) = m d 2 x d t 2 . {F(t)=m{frac {d^{2}x}{dt^{2}}.

  

  L’equazione del calore in una variabile di spazio, che descrive come il calore si diffonde attraverso una barra rettilinea, è l’equazione differenziale parziale

  ∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 . {displaystyle {frac {parziale u}{parziale t}}=alpha {frac {\parziale ^{2}u}{parziale x^{2}}.

  

  Qui u(x,t) è la temperatura dell’asta nella posizione x e nel tempo t e α è una costante che dipende dalla velocità di diffusione del calore attraverso l’asta.(2-3¡)-(3+2)

  Teorema del valore medioModifica

  Articolo principale: Teorema del valore medio
  

  Il teorema del valore medio: Per ogni funzione differenziabile f : → R {\displaystyle f:\a \mathbb {R} }

  

  con a < b {\displaystyle a<b}

  

  c’è un c ∈ ( a , b ) {displaystyle c\in (a,b)}

  

  con f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a {\displaystyle f'(c)={tfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}

  

  .

  Il teorema del valore medio dà una relazione tra i valori della derivata e i valori della funzione originale. Se f(x) è una funzione a valore reale e a e b sono numeri con a < b, allora il teorema del valore medio dice che sotto ipotesi blande, la pendenza tra i due punti (a, f(a)) e (b, f(b)) è uguale alla pendenza della retta tangente a f in qualche punto c tra a e b. In altre parole,

  f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a . {\displaystyle f'(c)={frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}

  

  In pratica, ciò che il teorema del valore medio fa è controllare una funzione in termini della sua derivata. Per esempio, supponiamo che f abbia derivata uguale a zero in ogni punto. Questo significa che la sua linea tangente è orizzontale in ogni punto, quindi anche la funzione dovrebbe essere orizzontale. Il teorema del valore medio dimostra che questo deve essere vero: la pendenza tra qualsiasi due punti sul grafico di f deve essere uguale alla pendenza di una delle linee tangenti di f. Tutte queste pendenze sono zero, quindi qualsiasi linea da un punto del grafico a un altro punto avrà anche pendenza zero. Ma questo dice che la funzione non si muove su o giù, quindi deve essere una linea orizzontale. Condizioni più complicate sulla derivata portano a informazioni meno precise ma ancora molto utili sulla funzione originale.

  Polinomi di Taylor e serie di TaylorModifica

  Articoli principali: Polinomio di Taylor e serie di Taylor

  La derivata dà la migliore approssimazione lineare possibile di una funzione in un dato punto, ma questa può essere molto diversa dalla funzione originale. Un modo per migliorare l’approssimazione è prendere un’approssimazione quadratica. Cioè, la linearizzazione di una funzione reale f(x) nel punto x0 è un polinomio lineare a + b(x – x0), e può essere possibile ottenere un’approssimazione migliore considerando un polinomio quadratico a + b(x – x0) + c(x – x0)2. Ancora meglio potrebbe essere un polinomio cubico a + b(x – x0) + c(x – x0)2 + d(x – x0)3, e questa idea può essere estesa a polinomi di grado arbitrariamente alto. Per ognuno di questi polinomi, ci dovrebbe essere la migliore scelta possibile dei coefficienti a, b, c e d che rende l’approssimazione la più buona possibile.

  Nelle vicinanze di x0, per a la migliore scelta possibile è sempre f(x0), e per b la migliore scelta possibile è sempre f'(x0). Per c, d, e i coefficienti di grado superiore, questi coefficienti sono determinati dalle derivate superiori di f. c dovrebbe essere sempre f”(x0)/2, e d dovrebbe essere sempre f”'(x0)/3! Usando questi coefficienti si ottiene il polinomio di Taylor di f. Il polinomio di Taylor di grado d è il polinomio di grado d che approssima meglio f, e i suoi coefficienti possono essere trovati da una generalizzazione delle formule precedenti. Il teorema di Taylor dà un limite preciso su quanto sia buona l’approssimazione. Se f è un polinomio di grado minore o uguale a d, allora il polinomio di Taylor di grado d è uguale a f.

  Il limite dei polinomi di Taylor è una serie infinita chiamata serie di Taylor. La serie di Taylor è spesso un’ottima approssimazione della funzione originale. Le funzioni che sono uguali alla loro serie di Taylor sono chiamate funzioni analitiche. È impossibile che funzioni con discontinuità o angoli acuti siano analitiche; inoltre, esistono funzioni lisce che non sono nemmeno analitiche.

  Teorema della funzione implicitaModifica

  Articolo principale: Teorema della funzione implicita

  Alcune forme geometriche naturali, come i cerchi, non possono essere disegnate come il grafico di una funzione. Per esempio, se f(x, y) = x2 + y2 – 1, allora il cerchio è l’insieme di tutte le coppie (x, y) tali che f(x, y) = 0. Questo insieme è chiamato l’insieme zero di f, e non è lo stesso del grafico di f, che è un paraboloide. Il teorema della funzione implicita converte relazioni come f(x, y) = 0 in funzioni. Esso afferma che se f è continuamente differenziabile, allora intorno alla maggior parte dei punti, l’insieme zero di f assomiglia a grafici di funzioni incollati insieme. I punti in cui questo non è vero sono determinati da una condizione sulla derivata di f. Il cerchio, per esempio, può essere incollato insieme dai grafici delle due funzioni ± √1 – x2. In un quartiere di ogni punto del cerchio eccetto (-1, 0) e (1, 0), una di queste due funzioni ha un grafico che assomiglia al cerchio. (Queste due funzioni si incontrano anche (-1, 0) e (1, 0), ma questo non è garantito dal teorema della funzione implicita.)

  Il teorema della funzione implicita è strettamente legato al teorema della funzione inversa, che afferma quando una funzione assomiglia ai grafici di funzioni invertibili incollati insieme.