Iperbole

Iperbole

Sapevi che l’orbita di un veicolo spaziale può talvolta essere un’iperbole?

Un veicolo spaziale può usare la gravità di un pianeta per alterare il suo percorso e spingerlo ad alta velocità lontano dal pianeta e indietro nello spazio usando una tecnica chiamata “fionda gravitazionale”.

Se questo accade, allora il percorso del veicolo spaziale è una iperbole.

(Gioca con questo a Gravity Freeplay)

Definizione

Un’iperbole è due curve che sono come archi infiniti.

Guardando solo una delle curve:

ogni punto P è più vicino a F che a G di una certa quantità costante

L’altra curva è un’immagine speculare, ed è più vicina a G che a F.

In altre parole, la distanza da P a F è sempre minore della distanza P a G di una certa quantità costante. (E per l’altra curva P a G è sempre minore di P a F di quella quantità costante.)

Ogni arco è chiamato un ramo e F e G sono chiamati ciascuno un fuoco.

Prova tu stesso:

Prova a spostare il punto P: cosa noti sulle lunghezze PF e PG?

Prova anche a mettere il punto P sull’altro ramo.

Ci sono anche altre cose interessanti:

Sul diagramma puoi vedere:

• un asse di simmetria (che passa per ogni fuoco)
• due vertici (dove ogni curva fa la sua curva più netta)
• la distanza tra i vertici (2a sul diagramma) è la costante differenza tra le lunghezze PF e PG
• due asintoti che non fanno parte dell’iperbole ma mostrano dove andrebbe la curva se continuasse indefinitamente in ciascuna delle quattro direzioni

E, in senso stretto, c’è anche un altro asse di simmetria che va nel mezzo e separa i due rami dell’iperbole.

Sezione ionica Si può ottenere un’iperbole anche quando si taglia un doppio cono. Il taglio deve essere più ripido di quello per una parabola, ma non deve essere parallelo all’asse del cono perché l’iperbole sia simmetrica. Quindi l’iperbole è una sezione conica (una sezione di un cono).

Equazione

Mettendo un’iperbole su un grafico x-y (centrato sull’asse x e sull’asse y), l’equazione della curva è:

x2a2 – y2b2 = 1

Anche:

Un vertice è a (a, 0), e l’altro è a (-a, 0)

Gli asintoti sono le linee rette:

• y = (b/a)x
• y = -(b/a)x

(Nota: l’equazione è simile a quella dell’ellisse: x2/a2 + y2/b2 = 1, tranne che per un “-” invece di un “+”)

Eccentricità

Ogni ramo di un’iperbole può anche essere definito come una curva dove le distanze di qualsiasi punto da:

• un punto fisso (il fuoco), e
• una linea retta fissa (la direttrice) sono sempre nello stesso rapporto.

Questo rapporto è chiamato eccentricità, e per un’iperbole è sempre maggiore di 1.

L’eccentricità (di solito indicata con la lettera e) mostra quanto l’iperbole sia “non curvilinea” (diversa da un cerchio).

In questo diagramma:

• P è un punto sulla curva,
• F è il fuoco e
• N è il punto sulla direttrice in modo che PN sia perpendicolare alla direttrice.

L’eccentricità è il rapporto PF/PN, e ha la formula:

e = √(a2+b2)a

Utilizzando “a” e “b” dal diagramma sopra.

Latus Rectum

Il Latus Rectum è la linea passante per il fuoco e parallela alla direttrice. La lunghezza del Latus Rectum è 2b2/a.

1/x

La funzione reciproca y = 1/x è un’iperbole!