Risolvere le equazioni quadratiche per fattorizzazione (vecchio)
risolviamo alcune equazioni quadratiche per fattorizzazione quindi diciamo che ho avuto x al quadrato più 4x è uguale a 21 ora il vostro impulso potrebbe essere quello di provare a fattorizzare una X e in qualche modo metterla uguale a 21 e questo non vi porterà a buone soluzioni, probabilmente finirete per fare qualcosa che non è giustificato, quello che dovete fare qui è mettere l’intera espressione quadratica su un lato dell’equazione.quindi mettiamo sottraiamo 21 da entrambi i lati di questa equazione, il lato sinistro diventerà quindi x al quadrato più 4x meno 21 e poi il lato destro sarà uguale a 0 e il lato sinistro sarà uguale a 0.sarà uguale a 0 e il modo in cui si vuole risolvere questa è un’equazione quadratica, abbiamo un’espressione quadratica impostata su 0 e il modo in cui si vuole risolverla è quello di fattorizzarla e dire ok ognuno di questi fattori potrebbe essere uguale a 0 quindi come facciamo a fattorizzare questo beh abbiamo visto nell’ultimo video che quando si deve capire due numeri il cui prodotto è uguale a 21 negativo e la cui somma è uguale a 4 quindi questo sarebbe un più B dovrebbe essere uguale a 4 dato che il loro prodotto è negativo devono essere di segno diverso e quindi vediamo il numero che mi salta all’occhio è 7 e 3 se ho 7 negativo e 3 positivo otterrei 4 negativo quindi facciamo 7 positivo e 3 negativo 7 e 3 negativo quindi a e b positivo 7 e negativo 3 quando prendo il prodotto ottengo 21 negativo quando prendo la loro somma ottengo 4 positivo quindi posso riscrivere questa equazione qui potrei riscriverla come X più 7 volte X meno 3 è uguale a 0 e ora posso risolverla dicendo guarda ho due quantità il loro prodotto è uguale a 0 che significa che uno o entrambe devono essere uguali a 0 quindi significa che X più 7 è uguale a 0 che è una X o X meno 3 è uguale a 0 Potrei sottrarre 7 da entrambi i lati di questa equazione e otterrei X è uguale a 7 negativo e qui posso aggiungere tre a entrambi i lati di questa equazione e otterrò X è uguale a 3 quindi entrambi questi numeri sono soluzioni a di questa equazione, potete provare se fate 7 7 negativo 7 al quadrato è 49 49 negativo 7 volte 4 è meno 28 o negativo 28 e questo è davvero uguale a 21 e vi lascerò provare con il positivo 3 in realtà facciamo solo 3 al quadrato è 9 più 4 volte 3 è 12 9 più 12 è davvero 21 facciamo un paio di altri esempi diciamo che ho x al quadrato più 49 è uguale a 14x Ancora una volta, ogni volta che vedete qualcosa di simile a questo, prendete tutti i vostri termini su un lato dell’equazione e ottenete uno 0 sull’altro lato, questo è il modo migliore per risolvere un’equazione quadratica, quindi sottraiamo 14x da entrambi i lati, potremmo scriverlo come x al quadrato meno 14x più 49 è uguale a zero, vedrò 14x meno 14x è 0 questa quantità meno 14x è questa quantità proprio lì ora dobbiamo solo pensare a quali due numeri quando prendo il prodotto otterrò 49 e quando prendo la loro somma otterrò 14 negativo quindi uno deve avere lo stesso segno perché questo è un numero positivo proprio qui e saranno entrambi negativi perché la loro somma è negativa e c’è qualcosa di interessante qui 49 è un quadrato perfetto i suoi fattori sono uno sette e 49 quindi forse sette funzionerà o meglio ancora forse sette negativo funzionerà e lo fa 7 negativo per sette negativo è volte sette negativo è 49 e sette negativo più 7 negativo è negativo 14 abbiamo quel modello lì dove abbiamo due volte il numero e poi abbiamo il numero al quadrato questo è un quadrato perfetto questo è uguale a X meno sette volte X meno sette è uguale a zero non vogliamo dimenticarlo o potremmo scriverlo come X meno anche al quadrato è uguale a zero quindi questo era un punteggio perfetto questo era un quadrato perfetto di un binomio e se X meno 7 al quadrato è uguale a 0 prendete radice quadrata di entrambi i lati otterrete X meno sette è uguale a zero voglio dire potremmo dire X meno sette è zero o X meno sette è zero ma sarebbe ridondante quindi otteniamo solo X meno sette è zero aggiungete 7 a entrambi i lati e otterrete X è uguale a sette solo una soluzione qui facciamone un’altra facciamone un’altra in rosa un’altra in rosa diciamo che abbiamo x al quadrato meno 64 è uguale a zero ora questo sembra interessante proprio qui questo sembra interessante potreste avere già potreste già la campana potrebbe suonare nella vostra testa su come risolvere questo non ha un termine X ma potremmo pensare che abbia un extra io potrei riscrivere questo come x al quadrato più 0x meno 64 così in questa situazione potremmo dire ok quali due numeri quando li moltiplico sono uguali a 64 e quando li aggiungo sono uguali a zero e poi quando prendo il loro prodotto sto ottenendo un numero negativo giusto questo è a volte B è un numero negativo quindi questo deve significare che hanno segni opposti quindi questo deve significare che hanno segni opposti quando li aggiungo ottengo zero questo deve significare che a più meno B è uguale a zero o che a è uguale a B che abbiamo a che fare con lo stesso numero che essenzialmente abbiamo a che fare con lo stesso numero ci sono i negativi di ogni altro quindi cosa può essere beh se stiamo facendo lo stesso numero e i loro negativi di ogni altro se sono se abbiamo a che fare con i negativi di ogni altro beh il 64 è esattamente 8 al quadrato ma è 64 negativo quindi forse abbiamo a che fare con 1 8 negativo e stiamo facendo con 1 8 positivo e se aggiungiamo questi due insieme arriviamo davvero a zero quindi questo sarà X più o X meno 8 volte X più 8 ora non devi sempre passare attraverso questo processo che ho fatto qui potresti già ricordare che se ho un più B per a meno B allora è uguale ad a al quadrato meno B al quadrato quindi se vedete qualcosa che corrisponde allo schema a quadrato meno B al quadrato potete dire immediatamente che sarà a più B a più B a è X B è otto volte meno B facciamo un altro paio di problemi generali non vi dico che tipo saranno diciamo che abbiamo X fatemi cambiare colore, sta diventando monotono diciamo che abbiamo x al quadrato meno 24x più 144 è uguale a zero beh 144 è vistosamente 12 al quadrato e questo è vistosamente 2 volte 12 negativo al quadrato o questo è considerato 12 negativo al quadrato quindi questo è 12 negativo per 12 negativo questo è 12 negativo più 12 negativo quindi questa espressione può esserescritta come X meno 12 volte X meno 12 o X meno 12 al quadrato e la metteremo uguale a 0 questo sarà 0 quando X meno 12 è uguale a 0 si potrebbe dire che ognuno di questi potrebbe essere uguale a 0 ma sono la stessa cosa aggiungete 12 a entrambi i lati dell’equazione e otterrete X è uguale a 12 e ho appena realizzato questo problema qui sopra l’ho fattorizzato ma non ho effettivamente risolto l’equazione quindi questo deve essere uguale a 0 facciamo un passo indietro a questa equazione qui sopra e l’unico modo in cui questa cosa qui sarà 0 è se o X meno 8 è uguale a 0 o X più 8 è uguale a 0 quindi aggiungete 8 a entrambi i lati di questo otterrete X potrebbe essere uguale a 8 sottraete 8 da entrambi i lati di questo otterrete X potrebbe anche essere uguale a 8 negativo quindi speriamo di farne un altro solo per avere davvero il punto nella vostra testa facciamo un altro diciamo che abbiamo 4x al quadrato meno 25 è uguale a 0 quindi potreste già vedere lo schema questo è un a al quadrato questo è un a al quadrato questo è un b al quadrato abbiamo lo schema di a al quadrato meno b al quadrato dove in questo caso a sarebbe uguale a 2x giusto questo è 2x al quadrato e b sarebbe uguale a 5 quindi se avete a al quadrato meno b al quadrato a al quadrato meno b al quadrato questo sarà uguale a a più b volte a meno b in questa situazione questo significa che 4x al quadrato meno 25 sarà 2x più 5 volte 2x meno 5 e naturalmente sarà uguale a 0 e questo sarà uguale a 0 solo se 2x più 5 è uguale a 0 o 2x meno 5 è uguale a zero e quindi possiamo risolvere ognuno di questi sottrarre 5 da entrambi i lati si ottiene 2x è uguale a 5 negativo dividere entrambi i lati per 2 si potrebbe ottenere una soluzione è negativo 5 metà qui aggiungere 5 a entrambi i lati si ottiene 2x è uguale a positivo 5 dividere entrambi i lati per 2 si ottiene X potrebbe anche essere uguale a positivo 5 metà quindi entrambi questi soddisfare quella equazione lassù