Sir Michael Atiyah necrologio
L’ultima volta che ho incontrato Michael Atiyah, che è morto all’età di 89 anni, era alla Tate Modern di Londra; non il posto più probabile per imbattersi nel più grande matematico britannico dopo Isaac Newton, ma del tutto coerente con il suo entusiasmo ad ampio raggio per la sua materia. Era il giugno 2012, e mi sono unito a lui e al fiammeggiante matematico francese Cédric Villani in una tavola rotonda: Mathematics, a Beautiful Elsewhere. Il titolo dice tutto.
Dobbiamo ringraziare l’acido solforico per la decisione di Atiyah di diventare un matematico. All’inizio del 1940, mentre la Gran Bretagna e la Francia combattevano per la sua patria, il Libano, i suoi genitori lo mandarono al Victoria college al Cairo. In un’intervista del 1984 disse che mentre era lì si interessò molto alla chimica, ma alla fine decise che fare “acido solforico e tutto quel genere di cose” non faceva per lui: “Liste di fatti, solo fatti …” Da quel momento in poi, la matematica divenne la sua passione. “Non ho mai considerato seriamente di fare altro”. Il lavoro di Atiyah avrebbe avuto una profonda influenza sulla matematica di oggi.
Atiyah era un geometra, nel senso di un pensiero visivo alleato al simbolismo astratto, un nuovo atteggiamento che travolse la matematica a metà del XX secolo. Pensava come la geometria ma ne scriveva come l’algebra, e un’algebra molto esoterica. La sua ricerca si divide in quattro periodi principali, in qualche misura sovrapposti – negli anni ’50, la geometria algebrica; negli anni ’60 e nei primi anni ’70, la teoria K; dagli anni ’60 agli anni ’80, la teoria degli indici; e dalla fine degli anni ’70 alla metà degli anni ’80, la teoria di gauge, dove le sue idee divennero estremamente influenti nella fisica quantistica.
La geometria algebrica si sviluppò originariamente da un profondo legame tra geometria e algebra promosso nel 1600 da René Descartes. Inizia con il piano di Euclide e introduce le coordinate – coppie di numeri che descrivono la posizione di un punto, proprio come la latitudine e la longitudine determinano un punto sulla superficie terrestre. Le proprietà geometriche delle curve possono poi essere descritte da equazioni algebriche, così le domande di geometria possono essere affrontate usando l’algebra, e viceversa.
Tra la fine del 1800 e l’inizio del 1900, un nuovo bambino apparve sul blocco matematico: la topologia, in cui le forme geometriche possono essere deformate come se fossero fatte di materiale elastico. Le caratteristiche classiche come le lunghezze e gli angoli perdono il loro significato e sono sostituite da concetti come l’essere connessi, annodati o con un buco come una ciambella.
La topologia si rivelò fondamentale per molti settori della matematica. Furono escogitate tecniche per associare a uno spazio topologico vari “invarianti”, che rivelano quando gli spazi possono o non possono essere deformati l’uno nell’altro.
Uno degli invarianti più potenti, l’omologia, fu stabilito da Emmy Noether, la più grande matematica donna della fine del 1800 e dell’inizio del 1900. Ha reinterpretato, in termini di algebra astratta, metodi rudimentali per contare caratteristiche come il numero di buchi in una superficie.
In effetti, Noether ha spiegato che oltre a contare i buchi e le strutture associate, possiamo chiedere come si combinano, ed estrarre informazioni topologiche dalla risposta.
Atiyah iniziò la sua carriera di ricerca nella geometria algebrica, ma sotto l’influenza del suo supervisore, William Hodge, a Cambridge, si spostò rapidamente in un campo adiacente, la geometria differenziale, che studia concetti come la curvatura – come uno spazio si discosta dal piano piatto di Euclide. Lì fece grandi progressi nelle interazioni tra la geometria algebrica, la geometria differenziale e la topologia.
Le indagini di Euclide su un cerchio includono le sue tangenti: linee rette che lo toccano in un punto, come una strada che sostiene una ruota di bicicletta. Allo stesso modo, una sfera ha una famiglia di piani tangenti, uno per ogni punto della sua superficie. Una famiglia generale di questo tipo si chiama fascio vettoriale: “fascio” perché la sfera lega tutti i piani insieme, e “vettore” perché gli analoghi di linee e piani di dimensioni superiori sono chiamati spazi vettoriali.
La topologia di un fascio vettoriale fornisce informazioni sullo spazio sottostante. Le tangenti a un cerchio, per esempio, formano un cilindro. Come prova: ruotate ogni linea tangente di un angolo retto, fuori dal piano del cerchio, e otterrete un cilindro. C’è un altro fascio vettoriale associato a un cerchio, in cui le linee si attorcigliano per formare la famosa banda di Möbius, una superficie che differisce topologicamente da un cilindro poiché ha un solo lato. Atiyah ha applicato queste idee alle “curve ellittiche”, in realtà superfici a forma di ciambella con interessanti proprietà teoretiche dei numeri.
Il suo prossimo argomento, la teoria K, è una vasta estensione dell’invariante di omologia di Noether. Un cilindro e una banda di Möbius sono topologicamente distinti perché i loro fasci associati hanno torsioni diverse. La K-teoria sfrutta i fasci vettoriali per catturare gli analoghi dimensionali superiori di tali torsioni.
L’argomento subì un periodo di rapido sviluppo negli anni ’60, stimolato da notevoli collegamenti ad altre importanti aree della matematica, e fornì ai topologi un potente kit di invarianti.
Atiyah, spesso insieme ad altri matematici di primo piano, fu una forza trainante dietro questi sviluppi. Temi importanti furono la teoria del cobordismo di René Thom (come un cerchio si divide in due mentre ci si sposta lungo un paio di pantaloni dalla vita ai buchi delle gambe, fatto solo per gli spazi multidimensionali) e il teorema della periodicità, dimostrato per la prima volta da Raoul Bott, dimostrando che i gruppi K superiori si ripetono in un ciclo di lunghezza otto.
La teoria dell’indice ha le sue origini nell’osservazione che le caratteristiche topologiche di un paesaggio, come il numero di cime, valli e passi, sono correlate tra loro. Per sbarazzarsi di un picco, appiattendolo, bisogna anche sbarazzarsi di un passo, per esempio. L’indice organizza tali fenomeni, e può essere usato, in circostanze appropriate, per dimostrare che un picco deve esistere in qualche regione.
Un paesaggio è una metafora per il grafico di una funzione matematica, e una generalizzazione estesa mette in relazione il numero di soluzioni di un’equazione differenziale con un indice topologico più esoterico.
Le equazioni differenziali mettono in relazione tra loro i tassi di variazione di varie quantità e sono onnipresenti nella fisica matematica; il teorema dell’indice di Atiyah-Singer, dimostrato insieme al matematico americano Isadore Singer nel 1963, rivela un legame molto significativo tra un indice topologico e le soluzioni di un’equazione differenziale.
In un ambiente matematico appropriato questo può portare alla prova che una soluzione deve esistere, quindi l’indice di Atiyah-Singer ha ampie applicazioni alla fisica. Quarant’anni dopo la loro scoperta, la coppia ha ricevuto congiuntamente il premio Abel dell’Accademia Norvegese di Scienze e Lettere, nel 2004.
La teoria di gauge è nata in fisica, formalizzando alcune simmetrie di campi e particelle quantistiche. Il primo esempio risale alle equazioni di James Clerk Maxwell per il campo elettromagnetico (1861), dove certe trasformazioni matematiche possono essere applicate senza cambiare la fisica.
Nel 1954 Chen Ning Yang e Robert Mills estesero questa idea all’interazione forte, che tiene insieme ogni particella quantistica nel nucleo atomico. La simmetria si è rivelata vitale per la meccanica quantistica – per esempio, il bosone di Higgs recentemente scoperto, che conferisce massa alle particelle, agisce rompendo alcune simmetrie – e le simmetrie di gauge hanno un’enorme importanza.
Atiyah ha contribuito con idee chiave alla loro matematica, usando la sua teoria dell’indice per studiare gli istantoni (particelle che strizzano l’occhio all’esistenza e immediatamente lo fanno di nuovo) e i monopoli magnetici (particelle come un polo magnetico nord senza un corrispondente polo sud).
Nel 1983 il suo studente di dottorato Simon Donaldson usò queste idee per dimostrare un teorema notevole: contrariamente a quanto quasi tutti i topologi si aspettavano, lo spazio quadridimensionale ha un numero infinito di strutture distinte differenziabili – completamente diverso in questo senso da qualsiasi altra dimensione. Il contesto più ampio per tutto questo lavoro è la teoria delle superstringhe, una presunta unificazione della teoria quantistica e della relatività di Albert Einstein.
Atiyah è nato a Londra, uno dei quattro figli di Edward, un funzionario libanese, e di sua moglie, Jean (nata Levens), nata nello Yorkshire di origine scozzese. La famiglia si trasferì a Khartoum, in Sudan, dove Michael andò a scuola prima di frequentare il Victoria College del Cairo e poi trasferirsi alla Manchester Grammar school a 16 anni per prepararsi a Cambridge. È sempre stato appassionato di matematica. Un insegnante ispiratore lo introdusse alla geometria proiettiva e all’algebra dei quaternioni di William Rowan Hamilton, e lesse la teoria dei numeri e la teoria dei gruppi – tutte cose che influenzarono chiaramente i suoi successivi interessi matematici.
Nel 1949, dopo due anni di servizio nazionale, studiò al Trinity College di Cambridge, rimanendovi per il suo dottorato. Ha ricoperto incarichi all’Institute for Advanced Study di Princeton (compresa una cattedra 1969-72), a Cambridge e a Oxford, dove è stato professore saviliano di geometria 1963-69 e professore di ricerca della Royal Society 1973-90. Divenne fellow della Royal Society nel 1962, e fu presidente della società dal 1990 al 1995. Nel 1966 vinse la medaglia Fields, la più alta onorificenza per qualsiasi matematico.
Nel 1990 divenne maestro del Trinity College, Cambridge, e direttore dell’Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, Cambridge. È stato nominato cavaliere nel 1983 e membro dell’Ordine del Merito nel 1992. Dopo essersi ritirato dal Trinity nel 1997, si è trasferito con la moglie, Lily (nata Brown), che aveva sposato nel 1955, a Edimburgo.
Atiyah è sempre stato un appassionato sostenitore dell’impegno pubblico, tenendo conferenze popolari sulla bellezza della matematica e sulla sua passione di sempre per la materia. Piccolo e compatto, con un discorso tranquillo e preciso, riusciva comunque a incantare il pubblico. È così che lo ricordo, quel giorno alla Tate Modern, mentre raccontava ai non-matematici perché lo facciamo, a cosa serve e cosa si prova.
Lui e Lily avevano tre figli: John, David e Robin. John è morto in un incidente di arrampicata nel 2002; Lily è morta l’anno scorso. Michael è sopravvissuto a David e Robin.
– Michael Francis Atiyah, matematico, nato il 22 aprile 1929; morto l’11 gennaio 2019
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