Teorema del fattore
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Teorema di raccordo
Risoluzione di equazioni cubiche
Teorema di raccordo e fattore Teoremi
Altre lezioni di algebra
Teorema di raccordo e teorema dei fattori
Cos’è il teorema dei fattori?
Quando f(x) è diviso per (x – a), otteniamo
f(x) = (x – a)Q(x) + resto
Dal teorema del resto otteniamo
f(x) = (x – a)Q(x) + f(a)
Se f(a) = 0 allora il resto è 0 e
f(x) = (x – a)Q(x)
Si può quindi dire che (x – a) è un fattore di f(x)
Il teorema del fattore afferma che
(x – a) è un fattore del polinomio f(x) se e solo se f(a) = 0
Si noti che le seguenti affermazioni sono equivalenti per qualsiasi polinomio f(x).
- (x – a) è un fattore di f(x).
- Il resto è zero quando f(x) è diviso per (x – a).
- f(a) = 0.
- La soluzione di f(x) = 0 è a.
- Lo zero della funzione f(x) è a.
Esempio:
Determinare se x + 1 è un fattore dei seguenti polinomi.
a) 3×4 + x3 – x2 + 3x + 2
b) x6 + 2x(x – 1) – 4
Soluzione:
a) Sia f(x) = 3×4 + x3 – x2 + 3x + 2
f(-1) = 3(-1)4 + (-1)3 – (-1)2 +3(-1) + 2
= 3(1) + (-1) – 1 – 3 + 2 = 0
Quindi, x + 1 è un fattore di f(x)
b) Sia g(x) = x6 + 2x(x – 1) – 4
g(-1) = (-1)6 + 2(-1)( -2) -4 = 1
Quindi, x + 1 non è un fattore di g(x)
Come usare il teorema del fattore e del resto?
Cosa sono i teoremi e come possono essere usati per trovare la fattorizzazione lineare di un polinomio?
Il Teorema del resto afferma che se un polinomio, f(x), è diviso per x – k, il resto è uguale a f(k).
Il Teorema del Fattore afferma che il polinomio x – k è un fattore del polinomio f(x) se e solo se f(k) = 0.
Esempio:
Lascia che f(x) = 2×3 – 3×2 – 5x + 6
X – 1 è un fattore?
Trova tutti gli altri fattori.
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Come usare il teorema dei fattori per fattorizzare i polinomi?
Esempi:
-
Fattore P(x) = 3×3 – x2 – 19x + 8
-
Fattore P(x) = 2×3 – 9×2 + x + 12
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Come trovare i fattori rimanenti di un polinomio?
Una lezione sul teorema dei fattori e sulla fattorizzazione completa di un polinomio.
- Per imparare la connessione tra il teorema dei fattori e il teorema del resto.
- Per imparare come usare il teorema dei fattori per determinare se un binomio è un fattore di un dato polinomio o no.
- Per usare la divisione sintetica, insieme al teorema dei fattori per aiutare a fattorizzare un polinomio.
Esempio:
Fattore x4 – 3×3 – 7×2 + 15x + 18
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Applicazione del teorema del fattore
Come usare il teorema del fattore per determinare se x – c è un fattore del polinomio f?
Esempi:
- f(x) = 4×3 – 3×2 – 8x + 4, c = 3
- f(x) = 3×4 – 6×3 – 5x + 10, c = 1
- f(x) = 3×6 + 2×3 – 176, c = -2
- f(x) = 4×6 – 64×4 – x2 – 16, c = 4
- f(x) = 2×4 – x3 – 2x – 1, c = -1/2
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Come spiegare il teorema dei fattori?
Se f(x) è un polinomio e f(p) = 0 allora (x – p) è un fattore di f(x)
Se f(x) è un polinomio e f(-q) = 0 allora (x + q) è un fattore di f(x)
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Descrizione ed esempi del teorema del fattore
Esempi:
Provare che (x + 1) è un fattore di P(x) = x2 + 2x + 1
(x + 2) è un fattore di x3 + 4×2 – x – 3?
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