Oplossen van kwadratische vergelijkingen door ontbinden in factoren (oud)
laten we eens wat kwadratische vergelijkingen oplossen door ontbinden in factoren, dus laten we zeggen dat ik x in het kwadraat plus 4x gelijk is aan 21. Nu zou je impuls kunnen zijn om te proberen en dat gelijk te stellen aan 21 en dat zal niet tot goede oplossingen leiden. Je zult waarschijnlijk iets doen wat niet gerechtvaardigd is. Wat je hier moet doen is de hele kwadratische uitdrukking aan één kant van de vergelijking zetten en het aan de linkerkant doen.dus laten we 21 aftrekken van beide kanten van deze vergelijking. De linkerkant wordt dan x kwadraat plus 4x min 21 en dan wordt de rechterkanthand zal gelijk zijn aan 0 en de manier waarop je dit wilt oplossen is dit is een kwadratische vergelijking we hebben een kwadratische uitdrukking die gelijk wordt gesteld aan 0 de manier waarop je dit wilt oplossen is dat je ze wilt ontbinden in factoren en zeggen ok elk van deze factoren kan dan gelijk zijn aan 0 dus hoe ontbinden we dit goed we zagen in de laatste video dat wanneer je moet uitzoeken waarvan het product gelijk is aan negatief 21 en de som gelijk is aan 4 dus dit zou a plus B moeten zijn gelijk aan 4 omdat hun product negatief is ze moeten van verschillende tekens en dus laten we eens kijken het nummer dat eruit springt voor mij is 7 en 3 als ik negatief 7 en positief 3 zou ik negatief 4 krijgen dus laten we positieve doen 7 en negatief 3 dus a en B positief 7 en negatief 3 als ik het product neem krijg ik negatief 21 als ik hun som neem krijg ik positief 4 dus ik kan deze vergelijking hier herschrijven ik kan het herschrijven als X plus 7 maal X min 3 is gelijk aan 0 en nu kan ik dit oplossen door te zeggen kijk ik heb twee hoeveelheden hun product is gelijk aan 0 dat betekent dat één of beide gelijk moet zijn aan 0 dus dat betekent dat X plus 7 gelijk is aan 0 dat is een X of X min 3 is gelijk aan 0 Ik kan 7 aftrekken van beide kanten van deze vergelijking en dan krijg ik X is gelijk aan negatief 7 en hier kan ik drie toevoegen aan beide kanten van deze vergelijking en dan krijg ik X is gelijk aan 3 dus dit zijn allebei oplossingen voor Deze vergelijking kun je uitproberen als je 7 7 negatief 7 in het kwadraat doet is 49 49 negatief 7 keer 4 is min 28 of negatief 28 en dat is inderdaad gelijk aan 21 en ik laat je het uitproberen met de positieve 3 eigenlijk laten we het gewoon doen 3 in het kwadraat is 9 plus 4 keer 3 is 12 9 plus 12 is inderdaad 21 laten we nog een paar voorbeelden doen laten we zeggen dat ik x in het kwadraat heb plus 49 is gelijk aan 14x nogmaals als je zoiets ziet zet al je termen op een aan de ene kant van de vergelijking en krijg een 0 aan de andere kant dat is de beste manier om een kwadratische vergelijking op te lossen dus laten we 14x van beide kanten aftrekken we kunnen dit schrijven als x kwadraat min 14x plus 49 is gelijk aan nul ik ga 14x min 14x is 0 deze hoeveelheid min 14x is deze hoeveelheid daar nu moeten we nadenken over welke twee getallen als ik het product neem krijg ik 49 en als ik hun som neem krijg ik negatief 14 dus één ze moeten hetzelfde teken hebben want dit is een positief getal hier en ze gaan allebei negatief zijn want hun som is negatief en er is iets interessants hier 49 is een perfect kwadraat het is factoren een zeven en 49 dus misschien zeven zal werken of nog beter misschien negatieve zeven zal werken en het doet negatieve 7 keer negatieve zeven is keer negatieve zeven is 49 en negatieve zeven plus negatieve 7 is negatief 14 we hebben dat patroon daar waar we hebben twee keer het getal en dan hebben we het getal in het kwadraat dit is een perfect kwadraat dit is gelijk aan X min zeven keer X min zeven het is gelijk aan nul wil je dat niet vergeten of we kunnen dit schrijven als X min even in het kwadraat is gelijk aan nul dus dit was een perfecte score dit was een perfect kwadraat van een binomiaal en als X min 7 in het kwadraat is gelijk aan 0 neem dan de vierkantswortel van beide kanten dan krijg je X min zeven is gelijk aan nul ik bedoel we kunnen zeggen X min zeven is nul of X min zeven is nul maar dat zou overbodig zijn dus we krijgen gewoon X min zeven is nul voeg 7 toe aan beide kanten en je krijgt X is gelijk aan zeven slechts één oplossing daar laten we er nog één doen laten we er nog één doen in het roze nog één in het roze laten we zeggen we hebben x kwadraat min 64 is gelijk aan nul nu dit ziet er interessant uit hier dit ziet er interessant uit je zou al je zou al de bel kunnen rinkelen in je hoofd over hoe dit op te lossen dit heeft geen X term maar we kunnen denken aan het hebben van een extra ik kan dit herschrijven als x kwadraat plus 0x min 64 dus in deze situatie kunnen we zeggen oké welke twee getallen als ik ze vermenigvuldig gelijk aan 64 en als ik ze optel gelijk aan nul en dan als ik hun product neem krijg ik een negatief getal juist dit is a maal B het is een negatief getal dus dat moet betekenen dat ze tegengestelde tekens hebben dus dat moet betekenen dat ze tegengestelde tekens hebben als ik ze optel krijg ik nul dat moet betekenen dat a plus min B gelijk is aan nul of dat a gelijk is aan B dat we te maken hebben met hetzelfde getal wat we in wezen te maken hebben met hetzelfde getal er zijn de negatieven van elkaar dus wat kan het zijn goed als we hetzelfde getal doen en hun negatieven van elkaar als ze als we te maken hebben met negatieven van elkaar goed de 64 is precies 8 in het kwadraat maar het is negatief 64 dus misschien hebben we te maken met 1 negatieve 8 en we hebben te maken met 1 positieve 8 en als we die twee bij elkaar optellen komen we inderdaad op nul uit dus dit wordt X plus of X min 8 keer X plus 8 nu hoef je niet altijd door dit proces te gaan wat ik hier heb gedaan je herinnert je misschien al dat als ik een plus B keer een min B dan is dat gelijk aan een kwadraat min B kwadraat dus als je iets ziet dat past in het patroon een kwadraat min B kwadraat dan kun je meteen zeggen oh dat wordt een plus B een plus B a is X B is acht keer een min B laten we nog een paar algemene problemen doen ik vertel je niet wat voor type deze gaan worden laten we zeggen we hebben X laat me van kleur veranderen het wordt eentonig laten we zeggen we hebben x in het kwadraat min 24x plus 144 is gelijk aan nul nou 144 het is opvallend 12 in het kwadraat en dit is opvallend 2 keer negatief 12 of dit wordt beschouwd als negatief 12 in het kwadraat dus dit is negatief 12 keer negatief 12 dit is negatief 12 plus negatief 12 dus deze uitdrukking kan worden herschrevengeschreven als X min 12 keer X min 12 of X min 12 in het kwadraat en we stellen dat gelijk aan 0 dit wordt 0 als X min 12 gelijk is aan 0 je zou kunnen zeggen dat een van deze gelijk is aan 0 maar ze zijn hetzelfde voeg 12 toe aan beide kanten van die vergelijking en je krijgt X is gelijk aan 12 en ik realiseerde me net dit probleem hier ik heb het in factoren uitgedrukt maar ik heb de vergelijking niet echt opgelost dus dit moet gelijk zijn aan 0 laten we een stap terug doen naar deze vergelijking en de enige manier dat dit ding hier 0 zal zijn is als ofwel X min 8 gelijk is aan 0 of X plus 8 gelijk is aan 0 dus voeg 8 toe aan beide zijden van dit krijg je X kan gelijk zijn aan 8 trek 8 af van beide zijden van dit krijg je X kan ook gelijk zijn aan negatieve 8 dus hopelijk laten we er nog een doen gewoon om echt echt het punt in je hoofd te boren laten we nog een doen laten we zeggen dat we 4x kwadraat min 25 gelijk is aan 0 dus je ziet misschien al het patroon dit is een a in het kwadraat dit is een a in het kwadraat dit is een B in het kwadraat we hebben het patroon van a in het kwadraat min B in het kwadraat waar in dit geval a gelijk is aan 2x juist dit is 2x in het kwadraat en B is gelijk aan 5 dus als je a in het kwadraat min B in het kwadraat hebt dan is dit gelijk aan a plus B maal a min B in deze situatie dat betekent dat 4x in het kwadraat min 25 gelijk is aan 2x plus 5 maal 2x min 5 en natuurlijk zal dat gelijk zijn aan 0 en dit zal alleen gelijk zijn aan 0 als ofwel 2x plus 5 gelijk is aan 0 of 2x min 5 gelijk is aan nul en dan kunnen we elk van deze oplossen trek 5 af van beide zijden je krijgt 2x is gelijk aan negatief 5 deel beide zijden door 2 je zou een oplossing kunnen krijgen is negatief 5 helften hier voeg 5 toe aan beide zijden je krijgt 2x is gelijk aan positief 5 deel beide zijden door 2 je krijgt X kan ook gelijk zijn aan positief 5 helften dus beide van deze voldoen aan die vergelijking daarboven