Rachunek różniczkowy

Rachunek różniczkowy

OptymalizacjaEdit

Jeśli f jest funkcją różniczkowalną na ℝ (lub przedziale otwartym) i x jest lokalnym maksimum lub lokalnym minimum f, to pochodna f w punkcie x wynosi zero. Punkty, w których f'(x) = 0 nazywamy punktami krytycznymi lub punktami stacjonarnymi (a wartość f przy x nazywamy wartością krytyczną). Jeśli nie zakłada się, że f jest wszędzie różniczkowalna, to punkty, w których nie jest ona różniczkowalna, są również określane jako punkty krytyczne.

Jeśli f jest dwukrotnie różniczkowalna, to odwrotnie, punkt krytyczny x f może być analizowany przez rozważenie drugiej pochodnej f przy x :

• jeśli jest dodatnia, x jest lokalnym minimum;
• jeśli jest ujemna, x jest lokalnym maksimum;
• jeśli jest zerowa, to x może być lokalnym minimum, lokalnym maksimum lub żadnym z nich. (Na przykład, f(x) = x3 ma punkt krytyczny przy x = 0, ale nie ma tam ani maksimum ani minimum, podczas gdy f(x) = ± x4 ma punkt krytyczny przy x = 0 oraz odpowiednio minimum i maksimum.)

To się nazywa test drugiej pochodnej. Alternatywne podejście, zwane testem pierwszej pochodnej, obejmuje rozważenie znaku f’ po każdej stronie punktu krytycznego.

Branie pochodnych i rozwiązywanie dla punktów krytycznych jest zatem często prostym sposobem na znalezienie lokalnych minimów lub maksimów, co może być przydatne w optymalizacji. Zgodnie z twierdzeniem o wartościach ekstremalnych, funkcja ciągła na zamkniętym przedziale musi osiągnąć swoje minimalne i maksymalne wartości co najmniej raz. Jeśli funkcja jest różniczkowalna, minima i maksima mogą wystąpić tylko w punktach krytycznych lub punktach końcowych.

Ma to również zastosowanie w szkicowaniu wykresu: po znalezieniu lokalnych minimów i maksimów funkcji różniczkowalnej, przybliżony wykres można uzyskać na podstawie obserwacji, że będzie on albo rosnący albo malejący między punktami krytycznymi.

W wyższych wymiarach, punkt krytyczny funkcji skalarnej jest punktem, w którym gradient wynosi zero. Test drugiej pochodnej może być nadal stosowany do analizy punktów krytycznych poprzez rozważenie wartości własnych macierzy hesjanowej drugich pochodnych cząstkowych funkcji w punkcie krytycznym. Jeżeli wszystkie wartości własne są dodatnie, to punkt jest lokalnym minimum; jeżeli wszystkie są ujemne, to jest to lokalne maksimum. Jeśli istnieją pewne dodatnie i pewne ujemne wartości własne, to punkt krytyczny nazywany jest „punktem siodłowym”, a jeśli żaden z tych przypadków nie zachodzi (tzn. niektóre z wartości własnych są zerowe), to test uważa się za nierozstrzygający.

Calculus of variationsEdit

Jednym z przykładów problemu optymalizacyjnego jest: Znajdź najkrótszą krzywą między dwoma punktami na powierzchni, zakładając, że krzywa ta musi również leżeć na tej powierzchni. Jeśli powierzchnia jest płaszczyzną, to najkrótszą krzywą jest linia. Ale jeśli powierzchnia jest, na przykład, w kształcie jajka, wtedy najkrótsza ścieżka nie jest od razu oczywista. Takie ścieżki nazywamy geodezyjnymi, a jednym z najbardziej fundamentalnych problemów w rachunku wariacji jest znajdowanie geodezyjnych ścieżek. Innym przykładem jest: Znajdź powierzchnię o najmniejszym polu powierzchni wypełniającą krzywą zamkniętą w przestrzeni. Ta powierzchnia jest nazywana powierzchnią minimalną i ona również może być znaleziona przy użyciu rachunku wariacji.

FizykaEdit

Kalkulacja ma istotne znaczenie w fizyce: wiele procesów fizycznych jest opisywanych przez równania zawierające pochodne, zwane równaniami różniczkowymi. Fizyka jest szczególnie zainteresowana sposobem, w jaki wielkości zmieniają się i rozwijają w czasie, a pojęcie „pochodnej czasowej” – tempo zmian w czasie – jest niezbędne do precyzyjnego zdefiniowania kilku ważnych pojęć. W szczególności, pochodne położenia obiektu w czasie są istotne w fizyce newtonowskiej:

• prędkość jest pochodną (względem czasu) przemieszczenia obiektu (odległości od pierwotnego położenia)
• przyspieszenie jest pochodną (względem czasu) prędkości obiektu, czyli drugą pochodną (względem czasu) położenia obiektu.

Na przykład, jeśli położenie obiektu na prostej jest dane przez

x ( t ) = – 16 t 2 + 16 t + 32 , to {{displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,}

tym samym prędkość obiektu wynosi

x ˙ ( t ) = x ′ ( t ) = – 32 t + 16 , {displaystyle {x}(t)=x'(t)=-32t+16,\\}

a przyspieszenie obiektu wynosi

x ¨ ( t ) = x ″ ( t ) = – 32 , {displaystyle {{dot {x}}(t)=x'(t)=-32,\!}

które jest stałe.

Równania różniczkoweEdit

Równanie różniczkowe to relacja między zbiorem funkcji i ich pochodnych. Równanie różniczkowe zwyczajne jest równaniem różniczkowym, które odnosi funkcje jednej zmiennej do ich pochodnych w odniesieniu do tej zmiennej. Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie różniczkowe, które odnosi funkcje więcej niż jednej zmiennej do ich pochodnych cząstkowych. Równania różniczkowe pojawiają się w sposób naturalny w naukach fizycznych, w modelowaniu matematycznym i w samej matematyce. Na przykład, drugie prawo Newtona, które opisuje związek między przyspieszeniem i siłą, można przedstawić jako równanie różniczkowe zwyczajne

F ( t ) = m d 2 x d t 2 . {{displaystyle F(t)=m{frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}.}

Równanie ciepła w jednej zmiennej przestrzennej, opisujące sposób dyfuzji ciepła przez pręt prosty, jest równaniem różniczkowym cząstkowym

∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 . {{displaystyle}} = ∂ ∂ u}{{2202↩ t}}= ∂ ∂ u}{{2202↩ x^{2}}}}.}

Tutaj u(x,t) jest temperaturą pręta w położeniu x i czasie t, a α jest stałą zależną od szybkości dyfuzji ciepła przez pręt.(2-3′)-(3+2)

Twierdzenie o średniej wartościEdycja

Twierdzenie o wartości średniej podaje związek między wartościami pochodnej a wartościami funkcji pierwotnej. Jeżeli f(x) jest funkcją rzeczywistą, a a i b są liczbami, przy czym a < b, to twierdzenie o wartości średniej mówi, że przy łagodnych założeniach nachylenie między dwoma punktami (a, f(a)) i (b, f(b)) jest równe nachyleniu prostej stycznej do f w pewnym punkcie c między a i b. Innymi słowy,

f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a . {{displaystyle f'(c)={frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}

W praktyce, to co robi twierdzenie o średniej wartości, to kontrola funkcji pod względem jej pochodnej. Na przykład, załóżmy, że f ma pochodną równą zero w każdym punkcie. Oznacza to, że jej linia styczna jest pozioma w każdym punkcie, więc funkcja powinna być również pozioma. Twierdzenie o wartości średniej dowodzi, że tak musi być: nachylenie między dowolnymi dwoma punktami na wykresie funkcji f musi być równe nachyleniu jednej z linii stycznych do tej funkcji. Wszystkie te nachylenia wynoszą zero, więc każda prosta poprowadzona z jednego punktu wykresu do innego punktu również będzie miała nachylenie równe zero. Ale to oznacza, że funkcja nie porusza się ani w górę, ani w dół, więc musi być linią poziomą. Bardziej skomplikowane warunki na pochodnej prowadzą do mniej precyzyjnych, ale wciąż bardzo użytecznych informacji o oryginalnej funkcji.

Wielomiany Taylora i szereg TayloraEdit

Pochodna daje najlepsze możliwe liniowe przybliżenie funkcji w danym punkcie, ale może się ono bardzo różnić od funkcji oryginalnej. Jednym ze sposobów poprawy aproksymacji jest przyjęcie aproksymacji kwadratowej. Oznacza to, że linearyzacja funkcji rzeczywisto-wartościowej f(x) w punkcie x0 jest wielomianem liniowym a + b(x – x0), i może być możliwe uzyskanie lepszego przybliżenia poprzez rozważenie wielomianu kwadratowego a + b(x – x0) + c(x – x0)2. Jeszcze lepszym przybliżeniem może być wielomian sześcienny a + b(x – x0) + c(x – x0)2 + d(x – x0)3, a pomysł ten można rozszerzyć na wielomiany dowolnie wysokiego stopnia. Dla każdego z tych wielomianów powinien istnieć najlepszy możliwy wybór współczynników a, b, c i d, który czyni aproksymację tak dobrą, jak to tylko możliwe.

W sąsiedztwie x0, dla a najlepszym możliwym wyborem jest zawsze f(x0), a dla b najlepszym możliwym wyborem jest zawsze f'(x0). Dla c, d i współczynników wyższych stopni, współczynniki te są określone przez wyższe pochodne f. c powinno być zawsze f”(x0)/2, a d powinno być zawsze f”'(x0)/3! Użycie tych współczynników daje wielomian Taylora f. Wielomian Taylora stopnia d jest wielomianem stopnia d, który najlepiej aproksymuje f, a jego współczynniki można znaleźć poprzez uogólnienie powyższych wzorów. Twierdzenie Taylora daje dokładne ograniczenie na to, jak dobre jest to przybliżenie. Jeśli f jest wielomianem stopnia mniejszego lub równego d, to wielomian Taylora stopnia d jest równy f.

Granicą wielomianów Taylora jest nieskończony szereg zwany szeregiem Taylora. Szereg Taylora jest często bardzo dobrym przybliżeniem oryginalnej funkcji. Funkcje, które są równe swojemu szeregowi Taylora nazywamy funkcjami analitycznymi. Niemożliwe jest, aby funkcje z nieciągłościami lub ostrymi kątami były analityczne; co więcej, istnieją funkcje gładkie, które również nie są analityczne.

Twierdzenie o funkcjach jawnychEdit

Niektóre naturalne kształty geometryczne, takie jak okręgi, nie mogą być narysowane jako wykres funkcji. Na przykład, jeśli f(x, y) = x2 + y2 – 1, to okrąg jest zbiorem wszystkich par (x, y) takich, że f(x, y) = 0. Ten zbiór jest nazywany zbiorem zerowym f, i nie jest taki sam jak wykres f, który jest paraboloidą. Twierdzenie o funkcji implikowanej przekształca relacje takie jak f(x, y) = 0 na funkcje. Mówi ono, że jeśli f jest różniczkowalna w sposób ciągły, to w większości punktów zbiór zerowy f wygląda jak wykresy funkcji sklejonych razem. Punkty, w których nie jest to prawdą, są określone przez warunek na pochodną f. Na przykład okrąg można skleić z wykresów dwóch funkcji ± √1 – x2. W sąsiedztwie każdego punktu na okręgu z wyjątkiem (-1, 0) i (1, 0), jedna z tych dwóch funkcji ma wykres, który wygląda jak okrąg. (Tak się składa, że te dwie funkcje spełniają również punkty (-1, 0) i (1, 0), ale nie jest to gwarantowane przez twierdzenie o funkcjach niewymiernych.)

Twierdzenie o funkcjach niewymiernych jest ściśle związane z twierdzeniem o funkcjach odwrotnych, które mówi, kiedy funkcja wygląda jak wykresy funkcji niewymiernych sklejonych razem.