Rozwiązywanie równań kwadratowych przez faktorowanie (stary)
let’s solve some quadratic equations by factoring so let’s say I had x squared plus 4x is equal to 21 now your impulse might be to try to factor X i jakoś ustawić, że równa się 21 i to nie doprowadzi cię do dobrych rozwiązań prawdopodobnie skończysz robiąc coś, co nie jest uzasadnione to, co musisz zrobić tutaj jest umieścić całe wyrażenie kwadratowe na jednej stronie równania zrobi to na lewą-Lewa strona równania to x podniesione do kwadratu plus 4x minus 21, a prawa strona będzie równa 0.a wtedy prawa strona będzie równa 0 i sposób, w jaki chcesz to rozwiązać to jest równanie kwadratowe, mamy wyrażenie kwadratowe równe 0 sposób, w jaki chcesz to rozwiązać to chcesz je uśrednić i powiedzieć, że każdy z tych czynników może być równy 0 więc jak to uśrednić? się dwie liczby, których iloczyn jest równy ujemny 21 i których suma jest równa 4 więc to będzie a plus B będzie musiał być równy 4 ponieważ ich produkt jest ujemny muszą być różne znaki i tak zobaczmy numer, który wyskakuje na mnie jest 7 i 3 jeśli mam ujemny 7 i dodatni 3 dostałbym ujemny 4 więc zróbmy dodatni 7 i ujemne 3 więc a i B dodatnie 7 i ujemne 3 kiedy wezmę iloczyn otrzymam ujemne 21 kiedy wezmę ich sumę otrzymam dodatnie 4 więc mogę przepisać to równanie tutaj mogę je przepisać jako X plus 7 razy X minus 3 jest równe 0 i teraz mogę to rozwiązać mówiąc mam dwie wielkości ich iloczyn jest równy 0 to znaczy że jedna lub obie muszą być równe 0 więc to oznacza, że X plus 7 jest równe 0 to jest X lub X minus 3 jest równe 0 mógłbym odjąć 7 od obu stron tego równania i otrzymałbym X jest równe minus 7 a tutaj mogę dodać trzy do obu stron tego równania i otrzymam X jest równe 3 więc obie te liczby są rozwiązaniami tego równania możesz spróbować tego równania możesz spróbować jeśli zrobisz 7 7 ujemne 7 podniesione do kwadratu to 49 49 ujemne 7 razy 4 to minus 28 lub ujemne 28 i to rzeczywiście równa się 21 i pozwolę ci spróbować z dodatnim 3 faktycznie zróbmy to 3 podniesione do kwadratu to 9 plus 4 razy 3 to 12 9 plus 12 to rzeczywiście 21 zróbmy jeszcze kilka przykładów powiedzmy, że mam x podniesione do kwadratu plus 49 jest równe 14x po raz kolejny, gdy widzisz coś takiego, aby uzyskać wszystkie swoje warunki na jednej stronie równania i uzyskać 0 po drugiej stronie, że jest to najlepszy sposób, aby rozwiązać równanie kwadratowe, więc odejmijmy 14x z obu stron możemy napisać to jako x kwadratowe minus 14x plus 49 jest równe zero Zamierzam zobaczyć 14x minus 14x jest 0 ta ilość minus 14x to ta ilość teraz musimy się zastanowić jakie dwie liczby, kiedy wezmę iloczyn otrzymam 49 a kiedy wezmę ich sumę otrzymam ujemne 14 więc jedna musi być tego samego znaku ponieważ jest to liczba dodatnia a obie będą ujemne ponieważ ich suma jest ujemna i jest coś interesującego tutaj 49 jest doskonały kwadrat to czynniki są jeden siedem i 49 tak może siedem będzie działać lub nawet lepiej może ujemne siedem będzie działać i to robi ujemny 7 razy ujemny siedem jest razy ujemny siedem jest 49 i ujemny siedem plus ujemny 7 jest ujemny 14 mamy, że wzór tam gdzie mamy dwa razy liczba a potem mamy liczbę podniesioną do kwadratu to jest doskonały kwadrat to jest równe X minus siedem razy X minus siedem to jest równe zero nie chcemy o tym zapomnieć lub możemy to zapisać jako X minus nawet podniesione do kwadratu jest równe zero więc to był doskonały wynik to był doskonały kwadrat dwumianu i jeśli X minus 7 podniesione do kwadratu jest równe 0 weź pierwiastek kwadratowy z obu stron to otrzymasz pierwiastek kwadratowy z obu stron dostaniemy X minus siedem jest równe zero to znaczy moglibyśmy powiedzieć X minus siedem jest zero lub X minus siedem jest zero ale to byłoby zbędne więc po prostu dostaniemy X minus siedem jest zero dodaj 7 do obu stron i dostaniemy X jest równe siedem tylko jedno rozwiązanie zróbmy jeszcze jedno zróbmy jeszcze jedno w kolorze różowym zróbmy jeszcze jedno w kolorze różowym powiedzmy, że mamy x podniesione do kwadratu minus 64 jest równe zero teraz to wygląda interesująco tutaj to wygląda interesująco możesz mieć już może już Dzwonek może być dzwonienie w głowie na jak rozwiązać to nie ma terminu X, ale możemy myśleć o tym jako o posiadaniu dodatkowego mnie może przepisać to jako x podniesione do kwadratu plus 0x minus 64 tak w tej sytuacji możemy powiedzieć, że jakie dwie liczby, kiedy je mnożę są równe 64, a kiedy je dodaję są równe zero, a następnie, kiedy biorę ich iloczyn dostaję liczbę ujemną, to jest a razy B jest liczbą ujemną, więc to musi oznaczać, że mają przeciwne znaki, więc to musi oznaczać, że mają przeciwne znaki, kiedy je dodaję dostaję zero, co musi oznaczać, że że a plus minus B jest równe zero lub że a jest równe B, że mamy do czynienia z tą samą liczbą, co w zasadzie mamy do czynienia z tą samą liczbą, są negatywy siebie nawzajem, więc co to może być, jeśli robimy tę samą liczbę i ich negatywy siebie nawzajem, jeśli są, jeśli mamy do czynienia z negatywami siebie nawzajem, więc 64 jest dokładnie 8 podniesione do kwadratu, ale jest ujemny 64 więc może mamy do czynienia z 1 ujemne 8 i mamy do czynienia z 1 pozytywne 8 i jeśli dodać te dwa razem rzeczywiście dostać się do zera, więc to będzie X plus lub X minus 8 razy X plus 8 teraz nie zawsze trzeba przejść przez ten proces zrobiłem tutaj może już pamiętać, że jeśli mam plus B razy B minus B to jest równe kwadratowi minus B podniesionemu do kwadratu więc jeśli widzisz coś co pasuje do wzoru kwadrat minus B podniesiony do kwadratu możesz od razu powiedzieć oh to będzie a plus B a plus B a plus B a jest X B jest osiem razy a minus B zróbmy jeszcze kilka ogólnych problemów nie mówię jaki to będzie typ powiedzmy, że mamy X pozwólcie, że zmienię kolory, robi się monotonnie. Powiedzmy, że mamy x podniesione do kwadratu minus 24x plus 144 jest równe zero, cóż 144 jest wyraźnie 12 podniesione do kwadratu, a to jest wyraźnie 2 razy ujemne 12 lub to jest uważane za ujemne 12 podniesione do kwadratu, więc to jest ujemne 12 razy ujemne 12 to jest ujemne 12 plus ujemne 12, więc to wyrażenie może być ponowniezapisane jako X minus 12 razy X minus 12 lub X minus 12 podniesione do kwadratu i zamierzamy ustawić to równe 0 to będzie 0 kiedy X minus 12 jest równe 0 można powiedzieć, że każde z nich może być równe 0 ale to ta sama rzecz dodaj 12 do obu stron tego równania i otrzymasz X jest równe 12 i właśnie zdałem sobie sprawę z tego problemu tutaj, faktoryzowałem to ale nie rozwiązałem równania więc to musi być równe 0 zróbmy krok wstecz do tego równania i jedynym sposobem, żeby to coś tutaj było równe 0 jest to, że albo X minus 8 jest równe 0 albo X plus 8 jest równe 0 więc dodajmy 8 do obu stron tego dostajemy X może być równe 8 odejmujemy 8 od obu stron tego dostajemy X może być również równe minus 8 więc miejmy nadzieję, że zrobimy jeszcze jedno tylko po to, żeby naprawdę wbić ci ten punkt do głowy zróbmy jeszcze jedno powiedzmy, że mamy 4x kwadrat minus 25 jest równe 0 więc możesz już zobaczyć wzór to jest a podniesione do kwadratu to jest a podniesione do kwadratu to jest B podniesione do kwadratu mamy wzór a podniesione do kwadratu minus B podniesione do kwadratu gdzie w tym przypadku a byłoby równe 2x prawda to jest 2x podniesione do kwadratu a B byłoby równe 5 więc jeśli masz a podniesione do kwadratu minus B podniesione do kwadratu a podniesione do kwadratu minus B to będzie równe a plus B razy a minus B w tej sytuacji oznacza to, że 4x podniesione do kwadratu minus 25 będzie 2x plus 5 razy 2x minus 5 i oczywiście to będzie równe 0 i to będzie równe 0 tylko wtedy gdy 2x plus 5 jest równe 0 lub 2x minus 5 jest równe zero i wtedy możemy rozwiązać każdy z nich odjąć 5 od obu stron otrzymamy 2x jest równe minus 5 podzielić obie strony przez 2 możemy otrzymać jedno rozwiązanie jest ujemne 5 połówek tutaj dodać 5 do obu stron otrzymamy 2x jest równe dodatnie 5 podzielić obie strony przez 2 otrzymamy X może być również równe dodatnie 5 połówek więc oba te spełniają to równanie tam na górze