Typy liczb
Purplemath
Liczby są klasyfikowane według typu. Pierwszym typem liczb jest pierwszy typ, o którym kiedykolwiek się dowiedziałeś: liczby liczone lub „naturalne”:
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
Następnym typem są liczby „całkowite”, które są liczbami naturalnymi wraz z zerem:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
(Liczba zero, rozpowszechniona w Indiach przez północno-afrykańskich uczonych, była pierwotnie postrzegana przez władze europejskie jako demoniczna.)
Content Continues Below
MathHelp.com
Następnie pojawiają się „liczby całkowite”, czyli zero, liczby naturalne i ujemne liczby naturalne:
…., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
Kolejnym typem liczb są liczby „racjonalne”, czyli ułamkowe, które są technicznie traktowane jako stosunki (podziały) liczb całkowitych. Innymi słowy, ułamek powstaje przez podzielenie jednej liczby całkowitej przez inną liczbę całkowitą.
Zauważ, że każdy nowy typ liczby zawiera w sobie poprzedni typ. Całki są po prostu liczbami naturalnymi z wrzuconym zerem. Liczby całkowite są po prostu całkami z wrzuconymi ujemnymi. A ułamki są po prostu liczbami całkowitymi z wszystkimi ich dzielnikami. (Pamiętaj, że każdą liczbę całkowitą możesz zamienić w ułamek, stawiając ją nad cyfrą 1. Na przykład, liczba całkowita 4 jest również ułamkiem
).
Ułamek
Skoro już nauczyłeś się o ułamkach, jest jeszcze jedna główna klasyfikacja liczb: te, które nie mogą być zapisane jako ułamki. Pamiętaj, że ułamki (znane również jako liczby racjonalne) mogą być zapisane jako ułamki dziesiętne kończące się lub powtarzające się; na przykład, 0.5 =
i 0.76 = , są ułamkami dziesiętnymi kończącymi się, podczas gdy 0.333333…. = i 0.538461538461… = są ułamkami dziesiętnymi powtarzającymi się. Z drugiej strony, mamy wszystkie te inne liczby, które mogą być zapisane jako niepowtarzające się, niekończące się liczby dziesiętne; te liczby są nieracjonalne (to znaczy, że nie mogą być zapisane jako ułamki), więc są one nazywane „irracjonalnymi”. Przykładem może być („pierwiastek kwadratowy z dwóch”) lub liczba („3.14159…”, z geometrii). Racjonalne i irracjonalne są dwoma całkowicie odrębnymi typami liczb; nie pokrywają się.
Uwaga
Umieszczenie tych dwóch głównych klasyfikacji, racjonalnych i irracjonalnych, razem w jednym zestawie daje nam liczby „rzeczywiste”. Chyba że miałeś do czynienia z liczbami złożonymi (liczby z „i” w nich, takich jak 4 – 3i), a następnie każda liczba, którą kiedykolwiek widziałeś był „prawdziwe” liczby. „Ale dlaczego”, pytasz, „są one nazywane 'prawdziwe’ liczby? Czy istnieją 'udawane’ liczby?” Cóż, tak, faktycznie są, choć są one faktycznie nazywane „urojone” liczby; są one tym, co jest używane do tworzenia złożonych liczb, a „urojone” jest to, co „i” stands for.
Affiliate
Najczęstszym pytaniem, które słyszę w odniesieniu do typów liczb jest coś wzdłuż linii „Czy liczba rzeczywista jest irracjonalna, lub jest irracjonalna liczba rzeczywista, lub ani … ani oba?”. O ile nie wiesz o kompleksach, wszystko, co kiedykolwiek zrobiłeś, używałeś liczb rzeczywistych. Jeśli liczba nie ma w sobie litery „i”, to jest prawdziwa.
Oto kilka typowych pytań dotyczących liczb (zakładając, że nie uczyłeś się jeszcze o imaginariach i kompleksach):
-
True or False: Liczba całkowita jest także liczbą racjonalną.
Ponieważ każdą liczbę całkowitą można sformatować jako ułamek przez postawienie jej nad 1, to stwierdzenie jest prawdziwe.
-
True or False: Liczba racjonalna jest także liczbą całkowitą.
Niekoniecznie; liczba całkowita 4 jest także liczbą racjonalną
, ale na przykład liczba racjonalna nie jest także liczbą całkowitą. Więc to stwierdzenie jest fałszywe.
-
True or False: Liczba jest albo liczbą racjonalną, albo liczbą irracjonalną, ale nie obiema tymi liczbami.
Prawda! W postaci dziesiętnej, liczba jest albo niekończąca się i nie powtarzająca (więc jest irracjonalna), albo nie jest (więc jest racjonalna); nie ma nakładania się tych dwóch typów liczb!
Content Continues Below
Klasyfikuj według typu liczby; niektóre liczby mogą być więcej niż jednego typu.
-
0,45
Jest to ułamek dziesiętny końcowy, więc można go zapisać jako ułamek:
. Ponieważ ten ułamek nie sprowadza się do liczby całkowitej, to nie jest liczbą całkowitą ani naturalną. A wszystko jest rzeczywiste, więc odpowiedź brzmi: racjonalne, rzeczywiste
-
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510…
Prawdopodobnie rozpoznajesz to jako π, chociaż może to być więcej miejsc po przecinku niż zwykle używasz. Chodzi jednak o to, że ułamek dziesiętny nie powtarza się, więc π jest irracjonalne. A wszystko (o czym wiesz do tej pory) jest rzeczywiste, więc odpowiedź brzmi: irracjonalne, rzeczywiste
-
3.14159
Nie daj się zwieść! Tak, często używasz czegoś takiego jako przybliżenia π, ale to nie jest π! To jest zaokrąglone przybliżenie dziesiętne, a ponieważ to przybliżenie kończy się, to jest to faktycznie racjonalne, w przeciwieństwie do samego π, który jest irracjonalny! Odpowiedź to: rational, real
Affiliate
-
10
Oczywiście, jest to liczba liczona. Oznacza to, że jest to również liczba całkowita i całkowita. W zależności od tekstu i nauczyciela (jest pewna niekonsekwencja), może to być również liczone jako racjonalne, które technicznie rzecz biorąc jest. No i oczywiście jest to też liczba rzeczywista. Odpowiedź brzmi: natural, whole, integer, rational (possibly), real
To jest ułamek, więc jest to rational. Jest to również liczba rzeczywista, więc odpowiedź brzmi: rational, real
Można to również zapisać jako
, co jest takie samo jak w poprzednim problemie. Odpowiedź brzmi: racjonalne, rzeczywiste
Twoim pierwszym odruchem może być stwierdzenie, że jest to irracjonalne, ponieważ jest to pierwiastek kwadratowy, ale zauważ, że ten pierwiastek kwadratowy upraszcza się:
, który jest po prostu liczbą całkowitą. Odpowiedź brzmi: integer, rational, real
Ta liczba jest podana jako ułamek, ale zauważ, że zmniejsza się do -3, więc może być również liczbą całkowitą. The answer is: integer (possibly), rational, real
Except for the section in your book where you have to classify numbers according to type, you really won’t need to be terribly familiar with this hierarchy. Ważniejsze jest, aby wiedzieć, co te terminy oznaczają, kiedy je słyszysz. Na przykład, jeśli twój nauczyciel mówi o „liczbach całkowitych”, powinieneś wiedzieć, że termin ten odnosi się do liczb liczących, ich negacji i zera.
URL: https://www.purplemath.com/modules/numtypes.htm