Aceleração angular
Partícula em duas dimensõesEditar
Em duas dimensões, a aceleração angular orbital é a velocidade a que a velocidade angular bidimensional da partícula sobre a origem muda. A velocidade angular instantânea ω em qualquer momento é dada por
ω = v ⊥ r {\displaystyle \omega ={\frac {\perp }}{r}}}
,
where r {\i1}displaystyle r
>
é a distância da origem e v ⊥ {\\\i1}displaystyle v_{\i}{\i1}
é a componente transversal da velocidade instantânea (ou seja, a componente perpendicular ao vetor de posição), que por convenção é positiva para o movimento anti-horário e negativa para o movimento horário.
Por isso, a aceleração angular instantânea α da partícula é dada por
α = d d t ( v ⊥ r ) {\displaystyle \alpha ={\frac {d}{dt}}({\frac {v_{\perp }}{r}}}
.
Expandir o lado direito usando a regra do produto a partir do cálculo diferencial, isto torna-se
α = 1 r d v ⊥ d t – v ⊥ r 2 d r d t {\i1}-alpha ={\i1}{r}}frac {dv_{\i}{dt}-{\i}-frac {v_{\i}{r^{\i}}{r^{2}}{r^frac {dr}{dt}}
.
No caso especial em que a partícula sofre um movimento circular sobre a origem, d v ⊥ d t {\i1}displaystyle {dv_{\i}}{dt}}{d
>
torna-se apenas a aceleração tangencial a ⊥ {\i1}displaystyle a_{\i}{\i1}
, e d r d t {\i1}displaystyle {\i}{dt}}
.
Em duas dimensões, a aceleração angular é um número com sinal de mais ou menos indicando orientação, mas não apontando em uma direção. O sinal é convencionalmente considerado positivo se a velocidade angular aumentar no sentido anti-horário ou diminuir no sentido horário, e o sinal é considerado negativo se a velocidade angular aumentar no sentido horário ou diminuir no sentido anti-horário. A aceleração angular pode então ser denominada de um pseudoscalar, uma quantidade numérica que muda de sinal sob uma inversão de paridade, tal como inverter um eixo ou mudar os dois eixos.
Partícula em três dimensõesEditar
Em três dimensões, a aceleração angular orbital é a taxa à qual o vetor de velocidade angular orbital tridimensional muda com o tempo. O vector de velocidade angular instantânea ω {\displaystyle {\displaystyle {\dboldsymbol {\domega }}}
em qualquer momento é dado por ω = r × v r 2 {\i1}displaystyle {\i}={\i1}frac {\i}mathbf {\i} \vezes matemathbf {v}{r^{2}}}}
,
onde r {\i1}displaystyle {\i}mathbf {r }
é o vector de posição da partícula e v {\i1}mathbf {v}
é o seu vector de velocidade.
Por isso, a aceleração angular orbital é o vector α {\\i1}displaystyle {\i1}boldsymbol {\i}alpha
definido por α = d d d t ( r × v r 2 ) {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}displaystyle {\i}{\i1}boldsymbol {\i}={\i1}frac {\i}{\i}(dt}frac {\i}mathbf {\i}{r^{\i}}(r × v r 2 )
.
Expandindo esta derivada usando a regra do produto para produtos cruzados e a regra do quociente normal, obtém-se:
α = 1 r 2 ( r × d v d t + d r d t × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = 1 r 2 ( r × a + v × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = r × a r 2 – 2 r 3 d r d t ( r × v ) . Símbolo de símbolo de fuso horário \vezes o fracfracfffffffffffffffffff (dt}{dt}}{r^{r^ 3}}{r^frac {dt}}(mathbf {r} {dt}}(mathbf {r} {v} )\\\\&=={frac {1}{r^{2}}(mathbf {r^) {r^ff Times {a} +\i}mathbf {v} {v} \\\\&=={\i}(r^{2}}(mathbf {r^) times {mathbf {a} +\i}mathbf {v} {v}Frac {\a2}{r^3}{r^frac {dr}{dt}}(mathbff {r} {r}times {mathbf {v} )\\\\&={frac {mathbff{r} \vezes matemathbf …e o seu tempo de trabalho…
Desde r × v {\i1}mathbf {r} \vezes matemathbf
>
é apenas r 2 ω r^{\i1}{\i1}{\i1}boldsymbol ^{\i}{\i1}boldsymbol ^{\i}
, o segundo termo pode ser reescrito como – 2 r d r d t ω ω
. No caso em que a distância r {\i1}displaystyle r
da partícula da origem não muda com o tempo (que inclui o movimento circular como subcasa), o segundo termo desaparece e a fórmula acima simplifica para α = r × a r 2 {\\i1}{\i1}displaystyle {\i}boldsymbol {\i}={\i1}frac {\i}mathbf {\i} \vezes matemathbf }{r^{2}}}}
.
Da equação acima, pode-se recuperar a aceleração radial cruzada neste caso especial como:
a ⊥ = α × r {\i1}displaystyle {\i}mathbf {a} _{\i1}{\i1}{\i1}boldsymbol {\i}{\i1}boldsymbol {\i}==bolos de fendas {\i} }
.
Não parecido em duas dimensões, a aceleração angular em três dimensões não precisa estar associada a uma mudança na velocidade angular: Se o vetor de posição da partícula “gira” no espaço de tal forma que seu plano instantâneo de deslocamento angular (ou seja o plano instantâneo em que o vetor de posição varre o ângulo) muda continuamente com o tempo, então mesmo que a velocidade angular (isto é, a velocidade em que o vetor de posição varre o ângulo) seja constante, ainda assim haverá uma aceleração angular não zero porque a direção do vetor de velocidade angular muda continuamente com o tempo. Isto não pode acontecer em duas dimensões porque o vector de posição está restrito a um plano fixo, pelo que qualquer alteração na velocidade angular deve ser através de uma alteração na sua magnitude.
O vector de aceleração angular é mais propriamente chamado pseudovector: \vezes matef. }
,
where F {\an8}displaystyle {\an8}mathbf {\an8} }
é a força líquida sobre a partícula.
Torque é o análogo rotacional da força: induz a mudança no estado rotacional de um sistema, tal como a força induz a mudança no estado translacional de um sistema. Como a força da rede sobre uma partícula pode estar ligada à aceleração da partícula pela equação F = m a {\i1}mathbf {F} =mathbf {a} }
, pode-se esperar construir uma relação semelhante ligando o torque líquido sobre uma partícula à aceleração angular da partícula. Isso pode ser feito da seguinte forma:
Primeiro, substituindo F = m a {\i}mathbf {F} =mmathbf {a} }
na equação acima para torque, one gets τ = m ( r × a ) = m r 2 ( r × a r 2 ) {\an8}=m(mathbf {r} {\an8} =mr^{2}({\an8}(r × a ) =mr^{\an8}(r × a r 2 ) {\an8}=m(mathbf {r^2})
.
Mas da secção anterior, foi derivado que
α = r × a r 2 – 2 r d r d t ω {\i1}{\i1}displaystyle {\i}{\i1}boldsymbol {\i}={\i1}frac {\i}mathbf {\i} \vezes matemathbf “Frac”… “Dr. Frac”… “Dr. Dt.”… “Símbolo de fechadura”…
,
where α {\i1}displaystyle {\i1}boldsymbol {\i1}boldsymbol {\i}
>
é a aceleração angular orbital da partícula e ω
é a velocidade angular orbital da partícula. Portanto, segue-se que τ = m r 2 ( α + 2 r d r d t ω ) = m r 2 α + 2 m r d r d t ω . Símbolo de fração \\\\&=mr^{2}{\i1}{\i1}{\i1}boldsymbol {\i}{\i1}+2mrrfrac {\i}{\i}{\i1}boldsymbol {\i}{\i}boldsymbol {\i}\Fim de linha…
No caso especial em que a distância r {\i1}displaystyle r
,
que pode ser interpretado como um “análogo rotacional” a F = m a {\a}mathbf {F} =mathbf {a} }
, onde a quantidade m r 2 {\i1}displaystyle mr^{\i}}
(conhecido como o momento de inércia da partícula) desempenha o papel da massa m {\\i1}displaystyle m
. No entanto, ao contrário de F = m a {\an8}mathbf {\an8} =mathbf {a} }
, esta equação não é aplicável a uma trajetória arbitrária. Em conclusão, a relação geral entre torque e aceleração angular é necessariamente mais complicada do que a relação entre força e aceleração linear.