Cálculo diferencial
OptimizationEdit
Se f é uma função diferenciável em ℝ (ou um intervalo aberto) e x é um máximo local ou um mínimo local de f, então a derivada de f em x é zero. Pontos onde f'(x) = 0 são chamados de pontos críticos ou pontos estacionários (e o valor de f a x é chamado de valor crítico). Se f não for assumido como diferenciável em qualquer lugar, então os pontos nos quais ele não é diferenciável também são designados como pontos críticos.
Se f é duas vezes diferenciável, então inversamente, um ponto crítico x de f pode ser analisado considerando a segunda derivada de f em x :
- se é positivo, x é um mínimo local;
- se é negativo, x é um máximo local;
- se é zero, então x pode ser um mínimo local, um máximo local, ou nenhum dos dois. (Por exemplo, f(x) = x3 tem um ponto crítico em x = 0, mas lá não tem um máximo nem um mínimo, enquanto f(x) = ± x4 tem um ponto crítico em x = 0 e um mínimo e um máximo, respectivamente, lá.)
Este é chamado de segundo teste derivativo. Uma abordagem alternativa, chamada teste da primeira derivada, envolve considerar o sinal do f’ em cada lado do ponto crítico.
Tar derivadas e resolver para pontos críticos é, portanto, muitas vezes uma forma simples de encontrar mínimos ou máximos locais, o que pode ser útil na otimização. Pelo teorema de valores extremos, uma função contínua em um intervalo fechado deve atingir seus valores mínimos e máximos pelo menos uma vez. Se a função é diferenciável, os mínimos e máximos só podem ocorrer em pontos críticos ou pontos finais.
Esta também tem aplicações em esboços gráficos: uma vez que os mínimos e máximos locais de uma função diferenciável tenham sido encontrados, um gráfico aproximado do gráfico pode ser obtido a partir da observação de que ele estará aumentando ou diminuindo entre pontos críticos.
Em dimensões superiores, um ponto crítico de uma função de valor escalar é um ponto em que o gradiente é zero. O segundo teste derivado ainda pode ser usado para analisar pontos críticos considerando os autovalores da matriz Hessiana da segunda derivada parcial da função no ponto crítico. Se todos os autovalores são positivos, então o ponto é um mínimo local; se todos são negativos, é um máximo local. Se há alguns autovalores positivos e alguns negativos, então o ponto crítico é chamado de “ponto de sela”, e se nenhum desses casos se mantém (ou seja, alguns dos autovalores são zero) então o teste é considerado inconclusivo.
Cálculo de variaçõesEditar
Um exemplo de um problema de otimização é: Encontrar a curva mais curta entre dois pontos de uma superfície, assumindo que a curva também deve estar sobre a superfície. Se a superfície é um plano, então a curva mais curta é uma linha. Mas se a superfície tiver, por exemplo, a forma de um ovo, então o caminho mais curto não é imediatamente claro. Estes caminhos são chamados geodésicos, e um dos problemas mais fundamentais no cálculo das variações é encontrar geodésicos. Outro exemplo é: Encontrar a menor área de preenchimento de superfície numa curva fechada no espaço. Esta superfície é chamada de superfície mínima e também pode ser encontrada usando o cálculo de variações.
PhysicsEdit
Calculus é de vital importância em física: muitos processos físicos são descritos por equações envolvendo derivadas, chamadas equações diferenciais. A física está particularmente preocupada com a forma como as quantidades mudam e se desenvolvem ao longo do tempo, e o conceito de “derivada do tempo” – a taxa de mudança ao longo do tempo – é essencial para a definição precisa de vários conceitos importantes. Em particular, as derivadas do tempo da posição de um objeto são significativas na física newtoniana:
- velocidade é a derivada (em relação ao tempo) do deslocamento de um objeto (distância da posição original)
- aceleração é a derivada (em relação ao tempo) da velocidade de um objeto, ou seja, a segunda derivada (em relação ao tempo) da posição de um objeto.
Por exemplo, se a posição de um objeto em uma linha é dada por
x ( t ) = – 16 t 2 + 16 t + 32 , {\displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,\,\!}
então a velocidade do objecto é
x ˙ ( t ) = x ′ ( t ) = – 32 t + 16 , {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle {\displayt {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\,\!}
e a aceleração do objeto é
x ¨ ( t ) = x ″ ( t ) = – 32 , {\displaystyle {\ddot {\ddot {x}}(t)=x”(t)=-32,\,\!}
que é constante.
Equações diferenciaisEditar
Uma equação diferencial é uma relação entre um conjunto de funções e suas derivadas. Uma equação diferencial ordinária é uma equação diferencial que relaciona funções de uma variável com as suas derivadas em relação a essa variável. Uma equação diferencial parcial é uma equação diferencial que relaciona funções de mais de uma variável com as suas derivadas parciais. As equações diferenciais surgem naturalmente nas ciências físicas, na modelação matemática e dentro da própria matemática. Por exemplo, a segunda lei de Newton, que descreve a relação entre aceleração e força, pode ser declarada como a equação diferencial ordinária
F ( t ) = m d 2 x d t 2 . F(t)=m{\\frac {d^{2}x}{dt^{2}}.}
A equação de calor numa variável espacial, que descreve como o calor se difunde através de uma vara recta, é a equação diferencial parcial
∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 . estilo de jogo ^^frac ^frac ^parcial u^parcial t^=alpha ^frac ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2
Aqui u(x,t) é a temperatura da haste na posição x e tempo t e α é uma constante que depende de quão rápido o calor se difunde através da haste.(2-3¡)-(3+2)
Teorema do valor médioEditar
com a < b {\i1}displaystyle a<b}
há um c ∈ ( a , b ) c\a (a,b)}
com f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a {\i1}f'(c)={\i1}frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
.
O teorema do valor médio dá uma relação entre os valores da derivada e os valores da função original. Se f(x) é uma função com valor real e a e b são números com a < b, então o teorema do valor médio diz que sob hipóteses leves, a inclinação entre os dois pontos (a, f(a)) e (b, f(b)) é igual à inclinação da linha tangente a f em algum ponto c entre a e b. Em outras palavras,
f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a . {\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}
Na prática, o teorema do valor médio é controlar uma função em termos da sua derivada. Por exemplo, suponha que f tenha uma derivada igual a zero em cada ponto. Isto significa que sua linha tangente é horizontal em cada ponto, portanto a função também deve ser horizontal. O teorema do valor médio prova que isto deve ser verdade: A inclinação entre quaisquer dois pontos do gráfico de f deve ser igual à inclinação de uma das linhas tangentes de f. Todas estas inclinações são zero, portanto qualquer linha de um ponto do gráfico para outro ponto também terá inclinação zero. Mas isso diz que a função não se move para cima ou para baixo, por isso deve ser uma linha horizontal. Condições mais complicadas sobre a derivada levam a informações menos precisas mas ainda altamente úteis sobre a função original.
Série Taylor polinomial e TaylorEdit
A derivada dá a melhor aproximação linear possível de uma função num determinado ponto, mas isto pode ser muito diferente da função original. Uma maneira de melhorar a aproximação é fazer uma aproximação quadrática. Ou seja, a linearização de uma função com valor real f(x) no ponto x0 é um polinômio linear a + b(x – x0), e pode ser possível obter uma melhor aproximação considerando um polinômio quadrático a + b(x – x0) + c(x – x0)2. Melhor ainda pode ser um polinômio cúbico a + b(x – x0) + c(x – x0)2 + d(x – x0)3, e esta idéia pode ser estendida arbitrariamente a polinômios de alto grau. Para cada um destes polinómios, deve haver uma melhor escolha possível dos coeficientes a, b, c, e d que faça a aproximação tão boa quanto possível.
Na vizinhança de x0, para uma melhor escolha possível é sempre f(x0), e para b a melhor escolha possível é sempre f'(x0). Para c, d, e coeficientes superiores, estes coeficientes são determinados por derivados superiores de f. c deve ser sempre f”(x0)/2, e d deve ser sempre f””(x0)/3! O uso destes coeficientes dá o polinômio de Taylor de f. O polinômio de Taylor de grau d é o polinômio de grau d que melhor se aproxima de f, e seus coeficientes podem ser encontrados através de uma generalização das fórmulas acima. O teorema de Taylor dá uma ligação precisa sobre o quão boa é a aproximação. Se f é um polinómio de grau menor ou igual a d, então o polinómio de Taylor de grau d é igual a f.
O limite dos polinómios de Taylor é uma série infinita chamada série de Taylor. A série Taylor é frequentemente uma aproximação muito boa à função original. Funções que são iguais à sua série Taylor são chamadas funções analíticas. É impossível que funções com descontinuidades ou cantos afiados sejam analíticas; além disso, existem funções suaves que também não são analíticas.
Teorema da função implícitaEditar
Algumas formas geométricas naturais, tais como círculos, não podem ser desenhadas como o gráfico de uma função. Por exemplo, se f(x, y) = x2 + y2 – 1, então o círculo é o conjunto de todos os pares (x, y) tal que f(x, y) = 0. Este conjunto é chamado de conjunto zero de f, e não é o mesmo que o gráfico de f, que é um parabolóide. O teorema da função implícita converte relações tais como f(x, y) = 0 em funções. Ele afirma que se f é continuamente diferenciável, então em torno da maioria dos pontos, o conjunto zero de f se parece com gráficos de funções colados juntos. Os pontos onde isso não é verdade são determinados por uma condição na derivada de f. O círculo, por exemplo, pode ser colado juntos a partir dos gráficos das duas funções ± √1 – x2. Em uma vizinhança de cada ponto do círculo, exceto (-1, 0) e (1, 0), uma destas duas funções tem um gráfico que se parece com o círculo. (Estas duas funções também se encontram (-1, 0) e (1, 0), mas isto não é garantido pelo teorema da função implícita.)
O teorema da função implícita está intimamente relacionado com o teorema da função inversa, que afirma quando uma função se parece com gráficos de funções inversíveis colados juntos.