Hipérbole

Hipérbole

Você sabia que a órbita de uma nave espacial às vezes pode ser uma hipérbole?

Uma nave espacial pode usar a gravidade de um planeta para alterar seu caminho e impulsioná-la em alta velocidade para longe do planeta e voltar ao espaço usando uma técnica chamada “gravitacional slingshot”.

Se isso acontecer, então o caminho da nave espacial é uma hipérbole.

(Jogue com isto no Gravity Freeplay)

Definição

Uma hipérbole é duas curvas que são como arcos infinitos.

Locando apenas uma das curvas:

A qualquer ponto P é mais próximo de F do que de G por alguma quantidade constante

A outra curva é uma imagem espelho, e é mais próxima de G do que de F.

Por outras palavras, a distância de P a F é sempre menor do que a distância de P a G por alguma quantidade constante. (E para a outra curva de P a G é sempre menor do que P a F por essa quantidade constante.)

Cada arco é chamado de ramo e F e G são cada um chamado de foco.

Tente você mesmo:

Tente o ponto móvel P: o que você observa sobre os comprimentos PF e PG ?

Tente também colocar o ponto P no outro ramo.

Há algumas outras coisas interessantes, também:

>No diagrama você pode ver:

• um eixo de simetria (que passa por cada foco)
• dois vértices (onde cada curva faz a sua curva mais acentuada)
• a distância entre os vértices (2a no diagrama) é a constante diferença entre os comprimentos PF e PG
• duas assímptotas que não fazem parte da hiperbola mas mostram para onde a curva iria se continuasse indefinidamente em cada uma das quatro direções

E, A rigor, há também um outro eixo de simetria que desce pelo meio e separa os dois ramos da hipérbole.

Secção Cónica Também se pode obter uma hipérbole quando se corta através de um cone duplo. A fatia deve ser mais íngreme que a de uma parábola, mas não tem de ser paralela ao eixo do cone para que a hipérbole seja simétrica. Então a hipérbole é uma secção cónica (uma secção de um cone).

Equação

Colocando uma hipérbole sobre um gráfico x-y (centrado sobre os eixos x e y), a equação da curva é:

x2a2 – y2b2 = 1

>

Também:

Um vértice está em (a, 0), e o outro está em (-a, 0)

As assímptotas são as linhas rectas:

• y = (b/a)x
• y = -(b/a)x

(Nota: a equação é semelhante à equação da elipse: x2/a2 + y2/b2 = 1, exceto por um “-” ao invés de um “+”)

Excentricidade

Uma ramificação de uma hipérbole também pode ser definida como uma curva onde as distâncias de qualquer ponto de:

• um ponto fixo (o foco), e
• uma reta fixa (a diretriz) estão sempre na mesma proporção.

Esta razão é chamada de excentricidade, e para uma hiperbola é sempre maior que 1.

A excentricidade (geralmente mostrada como a letra e) mostra como “uncurvy” (variando de ser um círculo) o hiperbolais.

Neste diagrama:

• P é um ponto na curva,
• F é o foco e
• N é o ponto na directriz de modo que PN é perpendicular à directriz.

A excentricidade é a razão PF/PN, e tem a fórmula:

e = √(a2+b2)a

Usando “a” e “b” a partir do diagrama acima.

Latus Rectum

O Latus Rectum é a linha através do foco e paralela à diretriz. O comprimento do Latus Rectum é 2b2/a.

1/x

A função recíproca y = 1/x é uma hiperbola!