Reddit – matemática – Qual é o nível da matemática? E quais são os campos mais altos do que o cálculo?
Após Cálculo Multi-Variável e Álgebra Linear, você pode tomar uma seqüência chamada Análise Introdutória, que é sobre o fundamento rigoroso do Cálculo, e que introduz a linguagem das formas diferenciais para que os teoremas do cálculo vetorial possam ser generalizados para mais de três dimensões.
Então depois disso, você pode tomar uma classe chamada Análise Real, que começa com Teoria da Medida e se preocupa em como se generalizaria a integração para funções incomuns, e aparentemente patológicas, de uma variável real, e Topologia Geral antes ou ao mesmo tempo é aconselhável; pode também incluir material sobre espaços de funções, que são o assunto da próxima classe.
Depois disso, você pode tomar a Análise Funcional, que no seu núcleo é sobre as questões que surgem ao fazer álgebra linear sobre espaços vetoriais infinitamente dimensionais; o conhecimento da Análise Complexa também é aconselhável, por causa de algo chamado teoria espectral que diz quando você pode tomar uma expressão que funciona bem como uma função complexa-diferenciável e substituir a variável por um operador linear. (Isto deve envolver um flashback para o teorema de Cayley-Hamilton da álgebra linear, onde você aprendeu que se você expandir o polinômio característico de uma matriz quadrada, e depois substituir a variável pela matriz, você obtém a matriz zero.)
Depois disso você provavelmente faria cursos de tópicos em coisas como a teoria do operador e a teoria da Álgebra C*, que adicionalmente requerem uma compreensão do nível de graduação da Álgebra Abstrata; quando você chegar a este nível, você terá entrado na pós-graduação e terá feito tal classe, o que é um requisito comum no primeiro ano.
Esta foi apenas uma tentativa de encontrar o “caminho da matemática à frente” do Cálculo; há outras:
O desenvolvimento da integração multivariável na Análise Introdutória tem muita substância geométrica profunda, da mesma forma que o Cálculo III tem muito conteúdo geométrico aparentemente aleatório; o caminho anterior era, em última análise, sobre a generalização da derivada para funções em espaços vetoriais infinitamente dimensionais, mas este é sobre a generalização para coletores, que localmente se parecem com o espaço Euclidiano finito-dimensional.
Agora depois do Cálculo III, você pode ter um vislumbre disto com uma aula de graduação sobre a Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies, mas a coisa séria que funciona para coletores de dimensões mais elevadas está no nível de graduação, começando com a Geometria Riemanniana e continuando com a Geometria Semi-Riemanniana (na verdade, quase qualquer classe de gradiente com “Geometria” em seu nome, exceto a sinistra “Geometria Algébrica”, está nesta veia). Por esta altura poderá querer fazer Topologia Geral e Topologia Diferencial, mas a primeira será um requisito geral de qualquer forma.
Se você conhece a sua Geometria Semi-Riemanniana, você pode querer aprender mais especificamente sobre os coletores Lorentzianos na Relatividade Geral; quanto aos coletores Calabi-Yau da teoria das supercordas, eles são melhor compreendidos através da Geometria Algébrica, e como você aprenderá ao passar pela matemática, o conhecimento matemático em si não é tão siloado como as seleções de curso fariam você acreditar.
Se os aspectos de resolução de problemas do Cálculo II são mais do que aquilo que lhe interessa, não há muito para isso, embora a Introdução às Equações Diferenciais e as Equações Diferenciais Parciais de nível universitário incluam inúmeros sacos de truques, assim como um par de aulas que não seguem bem o Cálculo ou um ao outro, conhecidas como Matemática Discreta e Teoria dos Números Introdutórios (a primeira é, entre outras coisas, uma introdução a duas áreas incríveis e altamente computacionais da matemática chamadas Teoria Gráfica e Combinatória; também inclui uma agradável introdução à Lógica e Teoria dos Conjuntos e muitas vezes serve como a aula de Introdução à Prova de Escrita nas universidades).
Há aulas em Equações Diferenciais além desse nível, mas a maioria delas são sobre como provar que as equações realmente têm soluções e como se comportariam, mas não tanto sobre soluções de forma fechada ou em série para equações específicas (e o estudo de alto nível de PDEs basicamente requer Análise Funcional e todo o aprendizado duro que chega até esse ponto); há alguma sinergia com a Análise Numérica, o estudo de métodos de aproximação numérica, que é mais importante do que você possa pensar no início (você pode eliminar a regra do ponto médio, o método de Newton, e o método de Euler no início, mas eles funcionam onde as soluções de forma fechada não podem ser encontradas, e os métodos numéricos se tornam ainda mais sofisticados).
Com a probabilidade e a estatística sendo baseadas em conceitos como médias e área, é possível baseá-las em suas formulações mais sofisticadas com a Teoria do Cálculo e da Medida; basicamente qualquer fora da rampa nessa primeira seqüência até o nível de graduação inicial pode ser usada para iniciar um estudo cada vez mais sério de Estatística.
As necessidades da Análise foram o principal fator motivador por trás da teoria estabelecida, e embora você aprenda o suficiente para passar (e continuar a re-capitalizá-la) em suas outras aulas de matemática baseadas em provas, ainda é uma área frutífera de pesquisa.
Tecnicamente você não precisa nem de Cálculo ou Álgebra Linear para aprender Álgebra Abstrata, mas ajuda a ter a “maturidade matemática” de uma aula de Álgebra Linear antes.
Abstract Algebra está por trás da Geometria Algébrica (basicamente, o estudo dos conjuntos de soluções de equações polinomiais em mais de uma variável), Topologia Algébrica (o estudo das invariantes algébricas para classificar espaços topológicos), e um número surpreendente de coisas que podem ser assistidas por computação (há até mesmo um pacote de software apenas para Álgebra Comutativa, chamado CoCoA).
Também está por detrás da Teoria Algébrica dos Números, que se baseia num número surpreendente de áreas da matemática, tal como o outro ramo importante da teoria dos números, a Teoria Analítica dos Números (a Análise Complexa é um pré-requisito definido aqui); você não adivinharia desde o início que quase todo o resto da matemática precisa ser trazido para estudar os números naturais.
Oh, assim como a Análise foi o principal motivador por detrás da Teoria dos Conjuntos, a Álgebra foi o principal motivador por detrás da Teoria dos Conjuntos; no entanto, eles não estão totalmente separados, porque os grupos e os anéis são descritos como “conjuntos com…”, e existem definitivamente insights teóricos de categoria sobre as estruturas da Análise.
Este nem sequer foi um relato particularmente completo, mas basta dizer que os campos da matemática não estão totalmente ordenados em nível de dificuldade ou em como um estudante deve aprendê-los; eles não estão sequer organizados em uma árvore, mas mais como um gráfico digital. (Também, os termos “totalmente ordenados”, “árvore”, e “digraph” seriam cobertos em Matemática Discreta.)
Muitas vezes, a ordem na qual um aluno aprenderia mais facilmente matemática é diferente da ordem lógica na qual o conhecimento é construído; em particular, cursos dedicados sobre os fundamentos da matemática estão no nível de pós-graduação, mas antes disso, você pode trabalhar como se os fundamentos fossem sólidos.
Still, se uma técnica de resolução de problemas é necessária para uma determinada aula, a aula deve ser feita após a aula em que a técnica é ensinada, razão pela qual um primeiro curso de Variáveis Complexas requer pelo menos Cálculo III, onde as integrais de linha são cobertas pela primeira vez.