Sir Michael Atiyah obituário
A última vez que conheci Michael Atiyah, que morreu aos 89 anos de idade, foi no Tate Modern em Londres; não é o lugar mais provável para encontrar provavelmente o maior matemático britânico desde Isaac Newton, mas inteiramente consistente com o seu amplo entusiasmo pelo seu assunto. Era junho de 2012, e eu me juntei a ele e ao flamboyant matemático francês Cédric Villani em um painel de discussão: Matemática, um Lindo Outro Lugar. O título diz tudo.
Temos de agradecer ao ácido sulfúrico pela decisão do Atiyah de se tornar um matemático. No início de 1940, quando a Grã-Bretanha e a França lutaram por sua terra natal, o Líbano, seus pais o enviaram para o colégio Victoria, no Cairo. Em 1984, numa entrevista ele disse que enquanto lá ele se interessava muito por química, mas acabou decidindo que fazer “ácido sulfúrico e todo esse tipo de coisas” não era para ele: “Listas de factos, apenas factos…” A partir desse momento, a matemática tornou-se a sua paixão. “Eu nunca considerei seriamente fazer outra coisa.” O trabalho de Atiyah era ter uma profunda influência na matemática de hoje.
Atiyah era um geómetro, no sentido do pensamento visual aliado ao simbolismo abstracto, uma nova atitude que varreu a matemática em meados do século XX. Você pensou sobre ele como geometria mas escreveu sobre ele como álgebra, e muito esotérico álgebra nisso. A sua pesquisa divide-se em quatro períodos principais, até certo ponto sobrepostos – nos anos 50, geometria algébrica; nos anos 60 e início dos 70, teoria K; nos anos 60 a 80, teoria dos índices; e no final dos 70 a meados dos 80, teoria dos calibres, onde as suas ideias se tornaram extremamente influentes na física quântica.
Geometria algébrica originalmente desenvolvida a partir de uma profunda ligação entre geometria e álgebra promovida nos anos 1600 por René Descartes. Comece com o plano de Euclides e introduza coordenadas – pares de números descrevendo a localização de um ponto, assim como latitude e longitude determinam um ponto na superfície da Terra. As propriedades geométricas das curvas podem então ser descritas por equações algébricas, de modo que questões de geometria podem ser abordadas usando álgebra, e vice-versa.
No final do século XIX e início do século XIX, um novo cabrito apareceu no bloco matemático: topologia, na qual formas geométricas podem ser deformadas como se fossem feitas de elástico. Características clássicas como comprimentos e ângulos perdem o seu significado, e são substituídas por conceitos como estar ligado, atado, ou ter um buraco como um donut.
Topologia acabou por ser fundamental em muitas áreas da matemática. Técnicas foram concebidas para associar com um espaço topológico vários “invariantes”, que revelam quando os espaços podem ou não ser deformados uns nos outros.
Uma das mais poderosas invariantes, a homologia, foi estabelecida por Emmy Noether, a maior matemática feminina do final do século XIX e início do século XIX. Ela reinterpretou, em termos de álgebra abstrata, métodos rudimentares para contar características como o número de furos em uma superfície.
Em efeito, Noether explicou que, além de contar furos e estruturas associadas, podemos perguntar como eles se combinam, e extrair informações topológicas da resposta.
Atiyah começou sua carreira de pesquisa em geometria algébrica, mas sob a influência de seu supervisor, William Hodge, em Cambridge, ele rapidamente se mudou para um campo adjacente, geometria diferencial, que estuda conceitos como curvatura – como um espaço se desvia do plano plano plano de Euclides. Lá ele fez grandes avanços nas interações entre geometria algébrica, geometria diferencial e topologia.
Euclid’s investigações de um círculo incluem suas tangentes: linhas retas que o tocam em um ponto, como uma estrada que suporta uma roda de bicicleta. Da mesma forma, uma esfera tem uma família de planos tangentes, um para cada ponto da sua superfície. Uma família geral deste tipo é chamada de feixe vetorial: “feixe” porque a esfera une todos os planos, e “vetor” porque os análogos de linhas e planos de maior dimensão são chamados de espaços vetoriais.
A topologia de um feixe vetorial fornece informações sobre o espaço subjacente. As tangentes a um círculo, por exemplo, formam um cilindro. Como prova: rode cada linha tangente através de um ângulo recto, fora do plano do círculo, e obtém-se um cilindro. Há outro feixe vetorial associado a um círculo, no qual as linhas são torcidas para formar a famosa banda Möbius, uma superfície que difere topologicamente de um cilindro, uma vez que tem apenas um lado. Atiyah aplicou estas ideias a “curvas elípticas”, na verdade superfícies em forma de donut com interessantes propriedades teóricas numéricas.
A sua próxima tópico, Teoria K, é uma extensão de longo alcance da invariância da homologia de Noether. Um cilindro e uma banda de Möbius são topologicamente distintos porque seus feixes associados têm torções diferentes. A teoria K explora feixes vetoriais para capturar análogos dimensionais mais elevados de tais torções.
O tópico passou por um período de rápido desenvolvimento nos anos 60, estimulado por ligações notáveis com outras áreas principais da matemática, e forneceu aos topólogos um poderoso conjunto de ferramentas de invariantes.
Atiyah, frequentemente em conjunto com outros matemáticos líderes, foi uma força motriz por trás destes desenvolvimentos. Temas importantes foram a teoria do cobordismo de René Thom (como um círculo se divide em dois à medida que se desce um par de calças da cintura para os buracos das pernas, feito apenas para espaços multidimensionais) e o teorema da periodicidade, primeiro provado por Raoul Bott, mostrando que os grupos K mais altos se repetem num ciclo de oito.
A teoria do índice tem a sua origem na observação de que as características topológicas de uma paisagem, tais como o número de picos de montanha, vales e passagens, estão relacionadas entre si. Para se livrar de um pico, aplanando-o, é preciso também se livrar de um desfiladeiro, por exemplo. O índice organiza tais fenômenos, e pode ser usado, em circunstâncias adequadas, para provar que um pico deve existir em alguma região.
Uma paisagem é uma metáfora para o gráfico de uma função matemática, e uma generalização varredura relaciona o número de soluções de uma equação diferencial com um índice topológico mais esotérico.
As equações diferenciais relacionam taxas de variação de várias quantidades entre si, e são omnipresentes na física matemática; o Teorema do Índice Atiyah-Singer, provado em conjunto com o matemático americano Isadore Singer em 1963, revela uma ligação altamente significativa entre um índice topológico e as soluções de uma equação diferencial.
Em um cenário matemático apropriado isto pode levar a uma prova de que uma solução deve existir, por isso o índice Atiyah-Singer tem aplicações generalizadas à física. Quarenta anos após a sua descoberta, a dupla recebeu conjuntamente o prémio Abel da Academia Norueguesa de Ciências e Cartas, em 2004.
A teoria da medida surgiu na física, formalizando certas simetrias de campos quânticos e partículas. O primeiro exemplo surgiu das equações de James Clerk Maxwell para o campo eletromagnético (1861), onde certas transformações matemáticas podem ser aplicadas sem alterar a física.
Em 1954 Chen Ning Yang e Robert Mills estenderam esta idéia à forte interação, que mantém unida cada partícula quântica no núcleo atômico. A simetria revelou-se vital para a mecânica quântica – por exemplo, o recém-descoberto bóson Higgs, que confere massa às partículas, age quebrando certas simetrias – e as simetrias de medida têm enorme importância.
Atiyah contribuiu com ideias chave para a sua matemática, usando a sua teoria de índice para estudar os instantâneos (partículas que piscam para a existência e piscam imediatamente para fora novamente) e monopolos magnéticos (partículas como um pólo magnético norte sem qualquer pólo sul correspondente).
Em 1983 seu aluno de doutorado Simon Donaldson usou estas idéias para provar um teorema notável: ao contrário do que quase todos os topólogos esperavam, o espaço tetradimensional tem infinitamente muitas estruturas distintas diferenciáveis – totalmente diferentes, neste aspecto, de qualquer outra dimensão. O contexto mais amplo para todo este trabalho é a teoria das supercordas, uma unificação conjeturada da teoria quântica e da relatividade de Albert Einstein.
Atiyah nasceu em Londres, um dos quatro filhos de Edward, um funcionário público libanês, e sua esposa, Jean (nee Levens), que nasceu em Yorkshire de ascendência escocesa. A família mudou-se para Khartoum, Sudão, onde Michael foi para a escola antes de entrar no Victoria College, no Cairo, e depois mudou-se para a escola Manchester Grammar aos 16 anos para se preparar para Cambridge. Ele estava sempre interessado em matemática. Um professor inspirador apresentou-lhe a geometria projetiva e a álgebra de quaterniões de William Rowan Hamilton, e ele leu sobre teoria dos números e teoria dos grupos – tudo isso influenciou claramente seus interesses matemáticos posteriores.
Em 1949, após dois anos de serviço nacional, ele estudou no Trinity College, Cambridge, permanecendo lá para o seu doutorado. Ele ocupou cargos no Institute for Advanced Study em Princeton (incluindo uma cátedra 1969-72), e em Cambridge e Oxford, onde foi professor Savilian de geometria 1963-69 e professor de pesquisa da Royal Society 1973-90. Tornou-se fellow da Royal Society em 1962, e foi presidente da sociedade de 1990 a 1995. Em 1966 ganhou uma medalha Fields, a maior honra para qualquer matemático.
Em 1990 tornou-se mestre do Trinity College, Cambridge, e diretor do Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, Cambridge. Ele foi nomeado cavaleiro em 1983 e tornou-se membro da Ordem de Mérito em 1992. Depois de se aposentar da Trindade em 1997 ele se mudou com sua esposa, Lily (nee Brown), com quem se casou em 1955, para Edimburgo.
Atiyah sempre foi um grande defensor do engajamento público, dando palestras populares sobre a beleza da matemática e sua paixão vitalícia pelo assunto. Pequeno e compacto, com uma entrega tranquila e precisa, ele conseguia, no entanto, manter um público enfeitiçado. É assim que me lembro dele, naquele dia na Tate Modern, dizendo aos não matemáticos porque o fazemos, para que serve e como é.
Ele e Lily tiveram três filhos: John, David e Robin. John morreu em um acidente de escalada em 2002; Lily morreu no ano passado. Michael é sobrevivido por David e Robin.
– Michael Francis Atiyah, matemático, nascido a 22 de Abril de 1929; morreu a 11 de Janeiro de 2019
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