Teoria do Factor
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Teoria e Teorema do Factor Principal
Qual é o Teorema do Factor?
Quando f(x) é dividido por (x – a), obtemos
f(x) = (x – a)Q(x) + restante
Do Teorema do Restante obtemos
f(x) = (x – a)Q(x) + f(a)
Se f(a) = 0 então o restante é 0 e
f(x) = (x – a)Q(x)
Podemos então dizer que (x – a) é um fator de f(x)
O Teorema do Fator afirma que
(x – a) é um fator do polinômio f(x) se e somente se f(a) = 0
Notem que as seguintes afirmações são equivalentes para qualquer polinômio f(x).
- (x – a) é um fator de f(x).
- O restante é zero quando f(x) é dividido por (x – a).
- f(a) = 0.
- A solução para f(x) = 0 é a.
- O zero da função f(x) é a.
Exemplo:
Determinar se x + 1 é um fator dos seguintes polinômios.
a) 3×4 + x3 – x2 + 3x + 2
b) x6 + 2x(x – 1) – 4
Solução:
a) Let f(x) = 3×4 + x3 – x2 + 3x + 2
f(-1) = 3(-1)4 + (-1)3 – (-1)2 +3(-1) + 2
= 3(1) + (-1) – 1 – 3 + 2 = 0
Portanto, x + 1 é um fator de f(x)
b) Let g(x) = x6 + 2x(x – 1) – 4
g(-1) = (-1)6 + 2(-1)( -2) -4 = 1
Então, x + 1 não é um fator de g(x)
Como usar o teorema do fator e o teorema do resto?
O que são os teoremas e como podem ser usados para encontrar a factorização linear de um polinómio?
O Teorema Restante afirma que se um polinómio, f(x), for dividido por x – k, o restante é igual a f(k).
O Teorema do Fator declara que o polinômio x – k é um fator do polinômio f(x) se e somente se f(k) = 0.
Exemplo:
Deixe f(x) = 2×3 – 3×2 – 5x + 6
Is x – 1 um fator?
Encontrar todos os outros fatores.
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Como usar o Teorema do Fator para os Polinômios Fator?
Exemplos:
-
Factor P(x) = 3×3 – x2 – 19x + 8
-
Factor P(x) = 2×3 – 9×2 + x + 12
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Como Encontrar os Factores Restantes de um Polinómio?
Uma lição sobre o teorema do fator e completamente fatorando um polinômio.
- Para aprender a conexão entre o teorema do fator e o teorema restante.
- Para aprender como usar o teorema do fator para determinar se um binômio é ou não um fator de um determinado polinômio.
- Para usar divisão sintética, junto com o teorema do fator para ajudar o fator de um polinômio.
Exemplo:
Fator completo x4 – 3×3 – 7×2 + 15x + 18
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Aplicação do Teorema do Fator
Como usar o teorema do fator para determinar se x – c é um fator do polinômio f?
Exemplos:
- f(x) = 4×3 – 3×2 – 8x + 4, c = 3
- f(x) = 3×4 – 6×3 – 5x + 10, c = 1
- f(x) = 3×6 + 2×3 – 176, c = -2
- f(x) = 4×6 – 64×4 – x2 – 16, c = 4
- f(x) = 2×4 – x3 – 2x – 1, c = -1/2
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Como Explicar o Teorema do Fator?
Se f(x) é um polinómio e f(p) = 0 então (x – p) é um factor de f(x)
Se f(x) é um polinómio e f(-q) = 0 então (x + q) é um fator de f(x)
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Descrição e Exemplos do Teorema do Fator
Exemplos:
Prove que (x + 1) é um fator de P(x) = x2 + 2x + 1
Is (x + 2) é um fator de x3 + 4×2 – x – 3?
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