Tipos de Números
Púrpura
Números são classificados de acordo com o tipo. O primeiro tipo de número é o primeiro tipo que você aprendeu: a contagem, ou números “naturais”:
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
O próximo tipo são os números “inteiros”, que são os números naturais juntamente com zero:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
(O número zero, espalhado da Índia por estudiosos norte-africanos, foi originalmente visto pelas autoridades europeias como sendo demoníaco.)
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Então vêm os “inteiros”, que são zero, os números naturais, e os negativos dos naturais:
….-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
O próximo tipo de número é o “racional”, ou fracionário, números, que são tecnicamente considerados como proporções (divisões) de números inteiros. Em outras palavras, uma fração é formada pela divisão de um inteiro por outro inteiro.
Nota que cada novo tipo de número contém o tipo anterior dentro dele. Os números inteiros são apenas os naturais com zero atirado dentro. Os números inteiros são apenas os atacados com os negativos lançados. E as frações são apenas os inteiros com todas as suas divisões jogadas dentro. (Lembre-se que você pode transformar qualquer número inteiro em uma fração colocando sobre o número 1. Por exemplo, o número inteiro 4 também é a fração
.)
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Após ter aprendido sobre fracções, há outra grande classificação de números: os que não podem ser escritos como fracções. Lembre-se que as frações (também conhecidas como números racionais) podem ser escritas como terminando (terminando) ou repetindo decimais; por exemplo, 0,5 =
e 0,76 = , estão terminando decimais, enquanto 0,333333…. = e 0,538461538461… = estão repetindo decimais. Por outro lado, temos todos aqueles outros números que podem ser escritos como decimais não repetitivos e não terminados; estes números são não racionais (ou seja, não podem ser escritos como frações), por isso são chamados de “irracionais”. Exemplos seriam (“a raiz quadrada de dois”) ou o número (“3.14159…”, da geometria). Os racionais e os irracionais são dois tipos de números totalmente separados; não há sobreposição.
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Pondo estas duas classificações principais, os racionais e os irracionais, juntos num só conjunto dá-lhe os números “reais”. A menos que você tenha lidado com números complexos (os números com um “i” neles, como 4 – 3i), então cada número que você já viu foi um número “real”. “Mas por que”, você pergunta, “eles são chamados de números ‘reais’? Existem números de ‘fingimento’?” Bem, sim, na verdade existem, embora eles sejam realmente chamados de números “imaginários”; eles são o que é usado para fazer os números complexos, e “imaginário” é o que o “i” significa.
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A pergunta mais comum que ouço em relação aos tipos de números é algo do tipo “Um número real é irracional, ou um número irracional é real, ou nenhum… ou ambos?” A menos que você saiba sobre complexos, tudo o que você já fez usou números reais. A menos que o número tenha um “i” nele, é um real.
Aqui estão algumas perguntas típicas do tipo número (assumindo que você ainda não aprendeu sobre imaginários e complexos):
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Verdadeiro ou Falso: Um inteiro também é um número racional.
Desde que qualquer inteiro possa ser formatado como uma fração colocando mais de 1, então esta afirmação é verdadeira.
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Verdadeiro ou Falso: Um número racional também é um número inteiro.
Não necessariamente; o número inteiro 4 também é o número racional
mas, por exemplo, o número racional não é também um número inteiro. Portanto, esta afirmação é falsa.
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Verdadeiro ou Falso: Um número ou é um número racional ou um número irracional, mas não ambos.
Verdadeiro! Na forma decimal, um número ou é não-terminal e não repetitivo (portanto é irracional) ou então não é (portanto é racional); não há sobreposição entre estes dois tipos de números!
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Classificar de acordo com o tipo de número; alguns números podem ser de mais de um tipo.
-
0.45
Esta é uma casa decimal terminante, por isso pode ser escrita como uma fração:
. Como esta fração não reduz a um número inteiro, então não é um inteiro ou um natural. E tudo é um real, então a resposta é: racional, real
-
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510…
Você provavelmente reconhece isto como sendo π, embora isto possa ser mais casas decimais do que você costumeiramente usa. A questão, entretanto, é que a casa decimal não se repete, então π é um irracional. E tudo (que você sabe até agora) é um real, então a resposta é: irracional, real
-
3.14159
Não se deixe enganar por isto! Sim, você frequentemente usa algo assim como uma aproximação de π, mas não é π! Esta é uma aproximação decimal arredondada, e, como esta aproximação termina, é na verdade uma aproximação racional, ao contrário do próprio π, que é irracional! A resposta é: racional, real
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10
Obviamente, este é um número de contagem. Isso significa que é também um número inteiro e um inteiro. Dependendo do texto e do professor (há alguma inconsistência), isto também pode ser contado como um racional, o que tecnicamente falando é. E, claro, também é um real. A resposta é: natural, inteiro, inteiro, racional (possivelmente), real
Esta é uma fração, portanto é uma racional. É também um real, então a resposta é: racional, real
Esta também pode ser escrita como
, que é a mesma que o problema anterior. A resposta é: racional, real
O seu primeiro impulso pode ser dizer que isto é irracional, porque é uma raiz quadrada, mas note que esta raiz quadrada simplifica:
, que é apenas um número inteiro. A resposta é: inteiro, racional, real
Este número é indicado como uma fração, mas note que ele se reduz a -3, então isto também pode contar como um número inteiro. A resposta é: inteiro (possivelmente), racional, real
Exceto para a seção do seu livro onde você tem que classificar números de acordo com o tipo, você realmente não vai precisar estar terrivelmente familiarizado com esta hierarquia. É mais importante saber o que os termos significam quando os ouve. Por exemplo, se o seu professor falar sobre “inteiros”, você deve saber que o termo se refere aos números de contagem, seus negativos e zero.
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