Reddit – wiskunde – Hoe hoog gaat wiskunde? En wat zijn de vakgebieden hoger dan calculus?
Na Multi-Variabele Calculus en Lineaire Algebra kun je een reeks volgen die Introductory Analysis heet, en die gaat over de rigoureuze basis voor Calculus, en die de taal van differentiaalvormen introduceert, zodat de stellingen van vectorcalculus kunnen worden gegeneraliseerd naar meer dan drie dimensies.
Daarna kan men een cursus Reële Analyse volgen, die begint met Meettheorie en zich bezighoudt met de veralgemening van integratie voor ongebruikelijke, en schijnbaar pathologische, functies van een reële variabele, en Algemene Topologie vooraf of gelijktijdig met deze cursus is aan te bevelen; zij kan ook materiaal bevatten over ruimten van functies, die het onderwerp zijn van de volgende cursus.
Daarna kun je Functionele Analyse volgen, die in de kern gaat over de problemen die zich voordoen bij lineaire algebra over oneindig-dimensionale vectorruimten; kennis van Complexe Analyse is ook aan te raden, vanwege iets dat spectrale theorie heet en dat je vertelt wanneer je een uitdrukking die prima werkt als een complex-verschilbare functie, kunt vervangen door een lineaire operator voor de variabele. (Dit zou een flashback moeten inhouden naar de Cayley-Hamilton stelling uit de lineaire algebra, waar je leerde dat als je de karakteristieke polynoom van een vierkante matrix uitdrukt, en dan de variabele door de matrix vervangt, je de nulmatrix krijgt.)
Daarna zou je waarschijnlijk onderwerpcursussen volgen in dingen als operatortheorie en de theorie van C*-algebra’s, die bovendien een grad-level begrip van Abstracte Algebra vereisen; tegen de tijd dat je op dit niveau komt, ben je al in graduate school en heb je zo’n cursus gevolgd, wat een gebruikelijke eerstejaarsvereiste is.
Dit was slechts één poging om het “wiskundige pad vooruit” van Calculus te vinden; er zijn andere:
De ontwikkeling van multivariabele integratie in Introductory Analysis heeft veel diep meetkundige inhoud, op vrijwel dezelfde manier als Calculus III veel schijnbaar willekeurige meetkundige inhoud heeft; het vorige pad ging uiteindelijk over het veralgemenen van de afgeleide naar functies op oneindig-dimensionale vectorruimten, maar dit pad gaat over het veralgemenen naar manifolds, die lokaal lijken op de eindig-dimensionale Euclidische ruimte.
Nu, na Calculus III, kun je hier een glimp van opvangen met een college over differentiaalmeetkunde van krommen en oppervlakken, maar het serieuze materiaal dat werkt voor hoger-dimensionale manifolds is op graduate niveau, beginnend met Riemannse Meetkunde en verder met Semi-Riemannse Meetkunde (eigenlijk, bijna elk college op graduate niveau met “Meetkunde” in de naam, behalve het onheilspellende “Algebraïsche Meetkunde”, is in deze geest). Rond deze tijd zou je misschien Algemene Topologie en Differentiële Topologie willen volgen, maar de eerstgenoemde zal sowieso een algemene vereiste zijn.
Als je de Semi-Riemannse Meetkunde kent, wil je misschien meer specifiek leren over de Lorentziaanse manifolds in de Algemene Relativiteit; de Calabi-Yau manifolds van de superstringtheorie kun je het beste begrijpen via Algebraïsche Meetkunde, en zoals je zult leren tijdens je wiskunde-opleiding, is wiskundige kennis op zich niet zo geïsoleerd als de studiekeuze je wil doen geloven.
Als je meer geïnteresseerd bent in de probleemoplossende aspecten van Calculus II, is daar niet echt veel voor, hoewel de Undergraduate-level Introduction to Differential Equations en Partial Differential Equations wel veel trucjes bevatten, net als een paar klassen die niet helemaal aansluiten op Calculus of op elkaar, bekend als Discrete Wiskunde en Introductory Number Theory (de eerste is, onder andere, een inleiding tot twee verbazingwekkende en zeer computationele gebieden van de wiskunde genaamd Grafentheorie en Combinatoriek; Het bevat ook een aardige inleiding in de logica en de verzamelingenleer en dient vaak als de les Inleiding tot het Schrijven van Bewijzen aan universiteiten).
Er zijn lessen Differentiaalvergelijkingen boven dat niveau, maar de meeste daarvan gaan over hoe te bewijzen dat vergelijkingen eigenlijk oplossingen hebben en hoe ze zich zouden gedragen, maar niet zozeer over gesloten-vorm of reeksoplossingen voor specifieke vergelijkingen (en de studie op hoog niveau van PDE’s vereist in principe Functionele Analyse en al het harde leren dat tot op dat punt komt); er is enige synergie met Numerieke Analyse, de studie van numerieke benaderingsmethoden, die belangrijker is dan je op het eerste gezicht zou denken (je zou de middelpuntregel, de methode van Newton en de voorwaartse Eulermethode op het eerste gezicht kunnen verwerpen, maar ze werken waar geen gesloten-vormoplossingen kunnen worden gevonden, en numerieke methoden worden nog verfijnder).
Want waarschijnlijkheid en statistiek zijn gebaseerd op begrippen als gemiddelden en oppervlakten, is het mogelijk om ze te baseren op hun meer verfijnde formuleringen met Calculus en Meettheorie; in principe kan elke afslag in die eerste reeks tot aan het begin van het doctoraal niveau worden gebruikt om te beginnen met een steeds serieuzere studie van Statistiek.
De behoeften van de Analyse waren de belangrijkste motiverende factor achter de verzamelingenleer, en hoewel je er genoeg van leert om je te redden (en het steeds opnieuw bekijkt) in je andere op bewijzen gebaseerde wiskundelessen, is het nog steeds een vruchtbaar gebied van onderzoek.
Technisch gezien heb je niet eens Calculus of Lineaire Algebra nodig om Abstracte Algebra te leren, maar het helpt om van tevoren de “wiskundige rijpheid” van een Lineaire Algebra-les te hebben.
Abstracte Algebra ligt aan de basis van Algebraïsche Geometrie (in feite de studie van de oplossingenverzamelingen van veeltermvergelijkingen in meer dan één variabele), Algebraïsche Topologie (de studie van algebraïsche invarianten voor het classificeren van topologische ruimten), en een verrassend aantal dingen die kunnen worden geassisteerd door berekeningen (er is zelfs een softwarepakket alleen voor Commutatieve Algebra, CoCoA genaamd).
Het ligt ook aan de basis van de Algebraïsche Getaltheorie, die uit een verrassend aantal gebieden van de wiskunde put, net als de andere grote tak van de getaltheorie, de Analytische Getaltheorie (Complexe Analyse is hier een absolute voorwaarde); je zou van meet af aan niet raden dat bijna de hele rest van de wiskunde moet worden ingeschakeld om de natuurlijke getallen te bestuderen.
Oh, net zoals Analyse de belangrijkste drijfveer was achter Set Theorie, was Algebra de belangrijkste drijfveer achter Categorietheorie; ze zijn echter niet helemaal gescheiden, want groepen en ringen worden beschreven als “verzamelingen met…”, en er zijn zeker categorietheoretische inzichten in de structuren van Analyse.
Dit was niet eens een bijzonder grondige uiteenzetting, maar het volstaat te zeggen dat de gebieden van de wiskunde niet totaal geordend zijn in moeilijkheidsgraad of in hoe een student ze zou moeten leren; ze zijn niet eens georganiseerd in een boom, maar meer als een graaf. (Ook de termen “totaal geordend”, “boom”, en “graaf” zouden behandeld worden in Discrete Wiskunde.)
Vaak is de volgorde waarin een student het gemakkelijkst wiskunde zou leren anders dan de logische volgorde waarin de kennis is opgebouwd; in het bijzonder, speciale cursussen over de grondslagen van de wiskunde zijn op het graduaatniveau, maar voor die tijd kun je werken alsof de grondslagen goed zijn.
Toch, als een probleemoplossende techniek vereist is voor een bepaalde les, moet de les worden gevolgd na de les waarin de techniek wordt onderwezen; daarom vereist een eerste cursus in Complexe Variabelen ten minste Calculus III, waar eerst lijnintegralen worden behandeld.