Accelerație unghiulară
Particula în două dimensiuniEdit
În două dimensiuni, accelerația unghiulară orbitală este viteza cu care se modifică viteza unghiulară orbitală bidimensională a particulei în jurul originii. Viteza unghiulară instantanee ω în orice moment de timp este dată de
ω = v ⊥ r {\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}}{r}}}}.
,
unde r {\displaystyle r}
este distanța de la origine și v ⊥ {\displaystyle v_{\perp }} {\displaystyle v_{\perp }}
este componenta transradială a vitezei instantanee (adică componenta perpendiculară pe vectorul de poziție), care, prin convenție, este pozitivă pentru mișcarea în sens invers acelor de ceasornic și negativă pentru mișcarea în sensul acelor de ceasornic.
Prin urmare, accelerația unghiulară instantanee α a particulei este dată de
α = d d t ( v ⊥ r ) {\displaystyle \alpha ={\frac {d}{dt}}({\frac {v_{\perp }}{r}})}
.
Extinderea părții drepte folosind regula produsului din calculul diferențial, aceasta devine
α = 1 r d v ⊥ d t – v ⊥ r 2 d r d t {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}}
.
În cazul special în care particula suferă o mișcare circulară în jurul originii, d v ⊥ d t {\displaystyle {\frac {dv_{{\perp }}}{dt}}
devine doar accelerația tangențială a ⊥ {\displaystyle a_{\perp }}}.
, iar d r d t {\displaystyle {\frac {dr}{dt}}}
dispare (deoarece distanța față de origine rămâne constantă), astfel încât ecuația de mai sus se simplifică la α = a ⊥ r {\displaystyle \alpha ={\frac {a_{\perp }}}{r}}}}
.
În două dimensiuni, accelerația unghiulară este un număr cu semnul plus sau minus care indică orientarea, dar nu indică o direcție. Semnul este considerat în mod convențional ca fiind pozitiv dacă viteza unghiulară crește în sensul invers acelor de ceasornic sau scade în sensul acelor de ceasornic, iar semnul este considerat negativ dacă viteza unghiulară crește în sensul acelor de ceasornic sau scade în sensul invers acelor de ceasornic. În acest caz, accelerația unghiulară poate fi numită un pseudoscalar, o mărime numerică care își schimbă semnul în cazul unei inversări de paritate, cum ar fi inversarea unei axe sau comutarea celor două axe.
Particula în trei dimensiuniEdit
În trei dimensiuni, accelerația unghiulară orbitală este rata cu care vectorul viteză unghiulară orbitală tridimensională se modifică în timp. Vectorul viteză unghiulară instantanee ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}.
în orice moment în timp este dat de ω = r × v r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}}
,
unde r {\displaystyle \mathbf {r} }
este vectorul de poziție al particulei și v {\displaystyle \mathbf {v} }
este vectorul viteză al acesteia.
Prin urmare, accelerația unghiulară orbitală este vectorul α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}.
definit de α = d d t ( r × v r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d}{dt}}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}})}
.
Extinzând această derivată cu ajutorul regulii produsului pentru produsele încrucișate și a regulii ordinare a coeficientului, se obține:
α = 1 r 2 ( r × d v d t + d r d t × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = 1 r 2 ( r × a + v × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = r × a r 2 – 2 r 3 d r d t ( r × v ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )\\\\&={\frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \times \mathbf {a} +\mathbf {v} \times \mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \timpuri \mathbf {v} )\\\\&={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} ).\end{aligned}}}
Din moment ce r × v {\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} }
este doar r 2 ω {\displaystyle r^{2}{\boldsymbol {\omega }}
, al doilea termen poate fi rescris ca – 2 r d r d r d t ω {\displaystyle -{\frac {2}{r}}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}
. În cazul în care distanța r {\displaystyle r}
a particulei față de origine nu se modifică în funcție de timp (ceea ce include mișcarea circulară ca un subcaz), cel de-al doilea termen dispare și formula de mai sus se simplifică la α = r × a r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {\r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}}
.
Din ecuația de mai sus, se poate recupera accelerația razei transversale în acest caz special sub forma:
a ⊥ = α × r {\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} }
.
În mod diferit față de cele două dimensiuni, accelerația unghiulară în trei dimensiuni nu trebuie să fie asociată cu o modificare a vitezei unghiulare: Dacă vectorul de poziție al particulei se „răsucește” în spațiu astfel încât planul său instantaneu de deplasare unghiulară (i.e. planul instantaneu în care vectorul de poziție măsoară unghiul) se modifică continuu cu timpul, atunci, chiar dacă viteza unghiulară (adică viteza cu care vectorul de poziție măsoară unghiul) este constantă, va exista totuși o accelerație unghiulară diferită de zero, deoarece direcția vectorului de viteză unghiulară se modifică continuu cu timpul. Acest lucru nu se poate întâmpla în două dimensiuni, deoarece vectorul de poziție este restricționat la un plan fix, astfel încât orice modificare a vitezei unghiulare trebuie să se producă printr-o modificare a mărimii sale.
Vectorialul accelerației unghiulare este numit mai corect pseudovector: El are trei componente care se transformă în cazul rotațiilor în același mod în care o fac coordonatele carteziene ale unui punct, dar care în cazul reflexiilor nu se transformă ca și coordonatele carteziene.
Relația cu cuplulEdit
Cuplul net asupra unei particule punctiforme este definit ca fiind pseudovectorul
τ = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} }
,
unde F {\displaystyle \mathbf {F} }
este forța netă asupra particulei.
Cuplul este analogul rotațional al forței: el induce schimbarea stării de rotație a unui sistem, la fel cum forța induce schimbarea stării de translație a unui sistem. Deoarece forța netă asupra unei particule poate fi legată de accelerația particulei prin ecuația F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a}. }
, se poate spera să se construiască o relație similară care să lege cuplul net asupra unei particule de accelerația unghiulară a particulei. Acest lucru poate fi realizat după cum urmează:
În primul rând, înlocuind F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
în ecuația de mai sus pentru cuplu, se obține τ = m ( r × a ) = m r 2 ( r × a r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=m(\mathbf {r} \times \mathbf {a} )=mr^{2}({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}}})}
.
Dar din secțiunea anterioară, s-a dedus că
α = r × a r r 2 – 2 r d r d t ω {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}
,
unde α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}
este accelerația unghiulară orbitală a particulei și ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
este viteza unghiulară orbitală a particulei. Prin urmare, rezultă că τ = m r 2 ( α + 2 r d r d r d t ω ) = m r 2 α + 2 m r d r d r d t ω . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=mr^{2}({\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {2}{r}}}{\frac {dr}{dt}}}{\boldsymbol {\omega }})\\\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}+2mr{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}.\end{aligned}}}
În cazul special în care distanța r {\displaystyle r}
a particulei față de origine nu se modifică cu timpul, al doilea termen din ecuația de mai sus dispare și ecuația de mai sus se simplifică la τ = m r 2 α {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}}.
,
care poate fi interpretat ca un „analog rotațional” al lui F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
, unde cantitatea m r 2 {\displaystyle mr^{2}}
(cunoscută sub numele de momentul de inerție al particulei) joacă rolul masei m {\displaystyle m}
. Totuși, spre deosebire de F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
, această ecuație nu este aplicabilă unei traiectorii arbitrare. În concluzie, relația generală dintre cuplu și accelerația unghiulară este în mod necesar mai complicată decât cea pentru forță și accelerație liniară.