Calcul diferențial
OptimizareEdit
Dacă f este o funcție diferențiabilă pe ℝ (sau un interval deschis) și x este un maxim local sau un minim local al lui f, atunci derivata lui f în x este zero. Punctele în care f'(x) = 0 se numesc puncte critice sau puncte staționare (iar valoarea lui f la x se numește valoare critică). În cazul în care se presupune că f nu este pretutindeni diferențiabilă, atunci punctele în care f nu este diferențiabilă sunt, de asemenea, denumite puncte critice.
Dacă f este de două ori diferențiabilă, atunci, invers, un punct critic x al lui f poate fi analizat luând în considerare derivata a doua a lui f în x :
- dacă este pozitivă, x este un minim local;
- dacă este negativă, x este un maxim local;
- dacă este zero, atunci x poate fi un minim local, un maxim local sau niciuna dintre ele. (De exemplu, f(x) = x3 are un punct critic la x = 0, dar nu are nici un maxim și nici un minim acolo, în timp ce f(x) = ± x4 are un punct critic la x = 0 și un minim și, respectiv, un maxim, acolo.)
Acesta se numește testul derivatei a doua. O abordare alternativă, numită testul primei derivate, implică luarea în considerare a semnului lui f’ de fiecare parte a punctului critic.
Apărarea derivatelor și rezolvarea pentru punctele critice este, prin urmare, adesea o modalitate simplă de a găsi minime sau maxime locale, care pot fi utile în optimizare. Prin teorema valorilor extreme, o funcție continuă pe un interval închis trebuie să atingă valorile sale minime și maxime cel puțin o dată. Dacă funcția este diferențiabilă, minimele și maximele pot apărea numai în punctele critice sau în punctele finale.
Acest lucru are, de asemenea, aplicații în schițarea graficelor: odată ce au fost găsite minimele și maximele locale ale unei funcții diferențiabile, se poate obține o reprezentare aproximativă a graficului din observația că acesta va fi fie crescător, fie descrescător între punctele critice.
În dimensiuni mai mari, un punct critic al unei funcții cu valoare scalară este un punct în care gradientul este zero. Testul derivatei secunde poate fi utilizat în continuare pentru a analiza punctele critice prin luarea în considerare a valorilor proprii ale matricei Hessian a derivatelor parțiale secunde ale funcției în punctul critic. Dacă toate valorile proprii sunt pozitive, atunci punctul este un minim local; dacă toate sunt negative, acesta este un maxim local. Dacă există unele valori proprii pozitive și unele negative, atunci punctul critic se numește „punct de șa”, iar dacă niciunul dintre aceste cazuri nu este valabil (adică unele dintre valorile proprii sunt zero), atunci testul este considerat neconcludent.
Calculul variațiilorEdit
Un exemplu de problemă de optimizare este: Găsiți cea mai scurtă curbă între două puncte de pe o suprafață, presupunând că această curbă trebuie să se afle și pe suprafața respectivă. Dacă suprafața este un plan, atunci cea mai scurtă curbă este o dreaptă. Dar dacă suprafața este, de exemplu, în formă de ou, atunci cea mai scurtă cale nu este imediat clară. Aceste trasee se numesc geodezice, iar una dintre cele mai fundamentale probleme din calculul variațiilor este găsirea geodezicelor. Un alt exemplu este: Găsiți cea mai mică suprafață de arie care umple o curbă închisă în spațiu. Această suprafață se numește suprafață minimă și, de asemenea, poate fi găsită folosind calculul variațiilor.
FizicăEdit
Calculul este de o importanță vitală în fizică: multe procese fizice sunt descrise prin ecuații care implică derivate, numite ecuații diferențiale. Fizica este preocupată în special de modul în care cantitățile se modifică și evoluează în timp, iar conceptul de „derivată în timp” – rata de variație în timp – este esențial pentru definirea precisă a mai multor concepte importante. În special, derivatele în timp ale poziției unui obiect sunt semnificative în fizica newtoniană:
- viteza este derivata (în raport cu timpul) a deplasării unui obiect (distanța față de poziția inițială)
- accelerația este derivata (în raport cu timpul) a vitezei unui obiect, adică a doua derivată (în raport cu timpul) a poziției unui obiect.
De exemplu, dacă poziția unui obiect pe o dreaptă este dată de
x ( t ) = – 16 t 2 + 16 t + 32 , {\displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,\,\!}
atunci viteza obiectului este
x ˙ ( t ) = x ′ ( t ) = – 32 t + 16 , {\displaystyle {\dot {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\,\,\!}
și accelerația obiectului este
x ¨ ( t ) = x ″ ( t ) = – 32 , {\displaystyle {\ddot {x}}(t)=x”(t)=-32,\,\!}
care este constantă.
Ecuații diferențialeEdit
O ecuație diferențială este o relație între o colecție de funcții și derivatele lor. O ecuație diferențială ordinară este o ecuație diferențială care relaționează funcțiile de o variabilă cu derivatele lor în raport cu acea variabilă. O ecuație diferențială parțială este o ecuație diferențială care relaționează funcții de mai multe variabile cu derivatele lor parțiale. Ecuațiile diferențiale apar în mod natural în științele fizice, în modelarea matematică și în cadrul matematicii însăși. De exemplu, a doua lege a lui Newton, care descrie relația dintre accelerație și forță, poate fi enunțată ca ecuație diferențială ordinară
F ( t ) = m d 2 x d t 2 . {\displaystyle F(t)=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}
Ecuația căldurii într-o singură variabilă spațială, care descrie modul în care se difuzează căldura printr-o tijă dreaptă, este ecuația cu derivate parțiale
∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 . {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}
Aici u(x,t) este temperatura tijei în poziția x și timpul t, iar α este o constantă care depinde de cât de repede difuzează căldura prin tijă.(2-3¡)-(3+2)
Teorema valorii mediiEdit
cu a < b {\displaystyle a<b}
există un c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\în (a,b)}
cu f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a {\displaystyle f'(c)={\tfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
.
Teorema valorii medii oferă o relație între valorile derivatei și valorile funcției originale. Dacă f(x) este o funcție cu valori reale și a și b sunt numere cu a < b, atunci teorema valorii medii spune că, în ipoteze blânde, panta dintre cele două puncte (a, f(a)) și (b, f(b)) este egală cu panta dreptei tangente la f într-un anumit punct c între a și b. Cu alte cuvinte,
f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a . {\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}
În practică, ceea ce face teorema valorii medii este să controleze o funcție în termeni de derivată a acesteia. De exemplu, să presupunem că f are derivata egală cu zero în fiecare punct. Aceasta înseamnă că dreapta sa tangentă este orizontală în fiecare punct, deci funcția ar trebui să fie și ea orizontală. Teorema valorii medii dovedește că acest lucru trebuie să fie adevărat: panta dintre oricare două puncte de pe graficul lui f trebuie să fie egală cu panta uneia dintre liniile tangente lui f. Toate aceste pante sunt egale cu zero, astfel încât orice linie de la un punct al graficului la un alt punct va avea, de asemenea, panta zero. Dar asta înseamnă că funcția nu se mișcă în sus sau în jos, deci trebuie să fie o dreaptă orizontală. Condiții mai complicate asupra derivatei conduc la informații mai puțin precise, dar totuși extrem de utile, despre funcția originală.
Polinoame Taylor și serii TaylorEdit
Derivata oferă cea mai bună aproximare liniară posibilă a unei funcții într-un anumit punct, dar aceasta poate fi foarte diferită de funcția originală. O modalitate de a îmbunătăți aproximarea este de a lua o aproximare pătratică. Altfel spus, liniarizarea unei funcții cu valori reale f(x) în punctul x0 este un polinom liniar a + b(x – x0) și poate fi posibilă obținerea unei aproximări mai bune prin considerarea unui polinom pătratic a + b(x – x0) + c(x – x0)2. Și mai bine ar putea fi un polinom cubic a + b(x – x0) + c(x – x0)2 + d(x – x0)3, iar această idee poate fi extinsă la polinoame de grad arbitrar de mare. Pentru fiecare dintre aceste polinoame, ar trebui să existe cea mai bună alegere posibilă a coeficienților a, b, c și d care să facă aproximarea cât mai bună posibil.
În vecinătatea lui x0, pentru a cea mai bună alegere posibilă este întotdeauna f(x0), iar pentru b cea mai bună alegere posibilă este întotdeauna f'(x0). Pentru c, d și coeficienții de grad superior, acești coeficienți sunt determinați de derivatele superioare ale lui f. c ar trebui să fie întotdeauna f”(x0)/2, iar d ar trebui să fie întotdeauna f””(x0)/3!!!. Folosind acești coeficienți se obține polinomul Taylor al lui f. Polinomul Taylor de grad d este polinomul de grad d care aproximează cel mai bine f, iar coeficienții săi pot fi găsiți printr-o generalizare a formulelor de mai sus. Teorema lui Taylor oferă o limită precisă pentru cât de bună este aproximarea. Dacă f este un polinom de grad mai mic sau egal cu d, atunci polinomul Taylor de grad d este egal cu f.
Limita polinoamelor Taylor este o serie infinită numită serie Taylor. Seria Taylor este frecvent o aproximare foarte bună a funcției originale. Funcțiile care sunt egale cu seria lor Taylor se numesc funcții analitice. Este imposibil ca funcțiile cu discontinuități sau colțuri ascuțite să fie analitice; mai mult, există funcții netede care, de asemenea, nu sunt analitice.
Teorema funcției impliciteEdit
Câteva forme geometrice naturale, cum ar fi cercurile, nu pot fi desenate ca graficul unei funcții. De exemplu, dacă f(x, y) = x2 + y2 – 1, atunci cercul este ansamblul tuturor perechilor (x, y) astfel încât f(x, y) = 0. Acest ansamblu se numește ansamblul zero al lui f și nu este același lucru cu graficul lui f, care este un paraboloid. Teorema funcției implicite transformă relații precum f(x, y) = 0 în funcții. Aceasta afirmă că, dacă f este continuu diferențiabilă, atunci, în jurul majorității punctelor, setul zero al lui f seamănă cu graficele unor funcții lipite între ele. Punctele în care acest lucru nu este adevărat sunt determinate de o condiție privind derivata lui f. Cercul, de exemplu, poate fi lipit împreună din graficele celor două funcții ± √1 – x2. Într-o vecinătate a fiecărui punct de pe cerc, cu excepția lui (-1, 0) și (1, 0), una dintre aceste două funcții are un grafic care seamănă cu cercul. (Se întâmplă ca aceste două funcții să se întâlnească și cu (-1, 0) și (1, 0), dar acest lucru nu este garantat de teorema funcției implicite.)
Teorema funcției implicite este strâns legată de teorema funcției inverse, care afirmă când o funcție seamănă cu graficele unor funcții inversabile lipite între ele.