Răspunsul la viață, la univers și la tot ce există
O echipă condusă de Andrew Sutherland de la MIT și Andrew Booker de la Universitatea Bristol a rezolvat ultima piesă a unui celebru puzzle matematic vechi de 65 de ani cu un răspuns pentru cel mai evaziv număr dintre toate: 42.
Numărul 42 este deosebit de important pentru fanii romanului științifico-fantastic „Ghidul autostopistului galactic” al lui Douglas Adams, deoarece acest număr este răspunsul dat de un supercomputer la „Întrebarea supremă a vieții, a universului și a tuturor lucrurilor”.
Booker a vrut, de asemenea, să afle răspunsul la 42. Adică, există trei cuburi a căror sumă este 42?
Acest puzzle al sumei a trei cuburi, stabilit pentru prima dată în 1954 la Universitatea din Cambridge și cunoscut sub numele de Ecuația Diofantină x3+y3+z3=k, i-a provocat pe matematicieni să găsească soluții pentru numerele de la 1 la 100. În cazul numerelor mici, acest tip de ecuație este mai ușor de rezolvat: de exemplu, 29 ar putea fi scris ca 33 + 13 + 13, în timp ce 32 este de nerezolvat. Toate au fost în cele din urmă rezolvate, sau s-a dovedit că nu pot fi rezolvate, folosind diverse tehnici și supercomputere, cu excepția a două numere: 33 și 42.
Booker a conceput un algoritm ingenios și a petrecut săptămâni întregi pe supercomputerul universității sale când a găsit recent o soluție pentru 33. Dar când s-a întors să rezolve pentru 42, Booker a descoperit că necesarul de calcul era cu un ordin de mărime mai mare și ar putea fi dincolo de capacitatea supercomputerului său. Booker spune că a primit multe oferte de ajutor pentru a găsi răspunsul, dar în schimb a apelat la prietenul său Andrew „Drew” Sutherland, cercetător științific principal în cadrul Departamentului de Matematică. „Este un expert mondial în acest gen de lucruri”, spune Booker.
Sutherland, a cărui specialitate include calculele masiv paralele, a doborât în 2017 recordul pentru cel mai mare cluster Compute Engine, cu 580.000 de nuclee pe Preemptible Virtual Machines, cel mai mare cluster de calcul de înaltă performanță cunoscut care rulează în cloud-ul public.
Ca și alți teoreticieni ai numerelor computaționale care lucrează în geometria aritmetică, el era conștient de problema „sumei a trei cuburi”. Iar cei doi lucraseră împreună înainte, ajutând la construirea bazei de date LMFDB (L-functions and Modular Forms Database), un atlas online de obiecte matematice legate de ceea ce este cunoscut sub numele de Programul Langlands. „Am fost încântat când Andy m-a rugat să mă alătur lui în acest proiect”, spune Sutherland.
Booker și Sutherland au discutat despre strategia algoritmică ce urmează a fi folosită în căutarea unei soluții pentru 42. Așa cum Booker a constatat cu soluția sa pentru 33, ei știau că nu trebuie să recurgă la încercarea tuturor posibilităților pentru x, y și z.
„Există un singur parametru întreg, d, care determină un set relativ mic de posibilități pentru x, y și z astfel încât valoarea absolută a lui z să fie sub o limită de căutare aleasă B”, spune Sutherland. „Se enumeră apoi valorile pentru d și se verifică fiecare dintre posibilele x, y, z asociate lui d. În încercarea de a descifra 33, limita de căutare B a fost 1016, dar acest B s-a dovedit a fi prea mic pentru a descifra 42; în schimb, am folosit B = 1017 (1017 este 100 de milioane de miliarde).
În caz contrar, principala diferență între căutarea lui 33 și căutarea lui 42 ar fi dimensiunea căutării și platforma informatică utilizată. Mulțumită unei oferte generoase din partea companiei britanice Charity Engine, Booker și Sutherland au putut să apeleze la puterea de calcul a peste 400.000 de PC-uri de acasă ale unor voluntari, din întreaga lume, fiecăruia dintre aceștia fiindu-i atribuită o serie de valori pentru d. Calculul de pe fiecare PC rulează în fundal, astfel încât proprietarul își poate folosi în continuare PC-ul pentru alte sarcini.
Sutherland este, de asemenea, un fan al lui Douglas Adams, așa că proiectul a fost irezistibil.
Metoda de utilizare a Charity Engine este similară cu o parte din intriga din jurul numărului 42 din romanul „Autostopistul”: După ce răspunsul lui Deep Thought, 42, se dovedește nesatisfăcător pentru oamenii de știință, care nu cunosc întrebarea la care este menit să răspundă, supercomputerul decide să calculeze Întrebarea Supremă prin construirea unui supercomputer alimentat de Pământ … cu alte cuvinte, folosind o platformă de calcul masiv paralel la nivel mondial.
„Acesta este un alt motiv pentru care mi-a plăcut foarte mult să efectuez acest calcul pe Charity Engine – am folosit, de fapt, un calculator la scară planetară pentru a rezolva o întrebare deschisă de lungă durată al cărei răspuns este 42.”
Au efectuat o serie de calcule la o capacitate mai mică pentru a testa atât codul lor, cât și rețeaua Charity Engine. Apoi au folosit o serie de optimizări și adaptări pentru a face codul mai potrivit pentru un calcul distribuit masiv, în comparație cu un calcul executat pe un singur supercomputer, spune Sutherland.
De ce nu a putut supercomputerul de la Bristol să rezolve această problemă?
„Ei bine, orice calculator *poate* rezolva problema, cu condiția să fii dispus să aștepți suficient de mult timp, dar cu aproximativ o jumătate de milion de PC-uri care lucrează la problemă în paralel (fiecare cu mai multe nuclee), am reușit să finalizăm calculul mult mai repede decât am fi putut să o facem folosind mașina de la Bristol (sau oricare dintre mașinile de aici de la MIT)”, spune Sutherland.
Utilizarea rețelei Charity Engine este, de asemenea, mai eficientă din punct de vedere energetic. „În cea mai mare parte, folosim resurse de calcul care altfel s-ar irosi”, spune Sutherland. „Atunci când stați la calculator și citiți un e-mail sau lucrați la o foaie de calcul, utilizați doar o mică parte din resursele CPU disponibile, iar aplicația Charity Engine, care se bazează pe Berkeley Open Infrastructure for Network Computing (BOINC), profită de acest lucru. Ca urmare, amprenta de carbon a acestui calcul – legată de energia electrică pe care calculele noastre au făcut ca PC-urile din rețea să o folosească peste ceea ce ar fi folosit, în orice caz – este mai mică decât ar fi fost dacă am fi folosit un supercomputer.”
Sutherland și Booker au rulat calculele pe parcursul mai multor luni, dar execuția finală de succes a fost finalizată în doar câteva săptămâni. Când a sosit e-mailul de la Charity Engine, acesta a furnizat prima soluție pentru x3+y3+z3=42:
42 = (-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3
„Când am auzit vestea, a fost cu siguranță un moment de bucurie”, spune Sutherland. „Cu aceste calcule la scară largă, investești mult timp și energie în optimizarea implementării, în modificarea parametrilor și apoi în testarea și retestarea codului timp de săptămâni și luni, fără să știi niciodată cu adevărat dacă tot efortul va da roade, așa că este extrem de satisfăcător atunci când se întâmplă acest lucru.”
Booker și Sutherland spun că mai sunt încă 10 numere, de la 101 la 1000, care trebuie rezolvate, următorul număr fiind 114.
Dar amândoi sunt mai interesați de o enigmă mai simplă, dar mai dificilă din punct de vedere computațional: dacă există mai multe răspunsuri pentru suma a trei cuburi pentru 3.
„Există patru soluții foarte ușoare care erau cunoscute de matematicianul Louis J. Mordell, care a scris celebru în 1953: „Nu știu nimic despre soluțiile întregi ale lui x3 + y3 + z3 = 3 dincolo de existența celor patru triple (1, 1, 1), (4, 4, -5), (4, -5, 4), (-5, 4, 4), (-5, 4, 4); și trebuie să fie foarte dificil, într-adevăr, să aflu ceva despre orice alte soluții”. Acest citat a motivat o mare parte din interesul pentru problema sumei a trei cuburi și, în special, pentru cazul k=3. Deși se conjecturează că ar trebui să existe un număr infinit de soluții, în ciuda a peste 65 de ani de căutări, cunoaștem doar soluțiile ușoare care erau deja cunoscute de Mordell. Ar fi foarte interesant să găsim o altă soluție pentru k=3.”
.