Reddit – math – Cât de sus merge matematica? Și care sunt domeniile mai înalte decât calculul?
După Calculul cu mai multe variabile și Algebra liniară, puteți urma o secvență numită Introducere în analiză, care se referă la fundamentul riguros al calculului și care introduce limbajul formelor diferențiale, astfel încât teoremele calculului vectorial să poată fi generalizate la mai mult de trei dimensiuni.
Apoi, după aceea, puteți urma un curs numit Analiză reală, care începe cu Teoria măsurii și este preocupat de modul în care s-ar generaliza integrarea pentru funcții neobișnuite, și aparent patologice, ale unei variabile reale, iar Topologia generală înainte sau concomitent cu aceasta este recomandabilă; poate include, de asemenea, material despre spațiile funcțiilor, care sunt subiectul cursului următor.
După aceasta, puteți urma Analiză funcțională, care, în esența sa, se referă la problemele care apar atunci când se face algebră liniară pe spații vectoriale infinit-dimensionale; cunoașterea Analizei complexe este de asemenea recomandabilă, din cauza a ceva numit teoria spectrală care vă spune când puteți lua o expresie care funcționează bine ca o funcție diferențiabilă complexă și să înlocuiți variabila cu un operator liniar. (Acest lucru ar trebui să implice o rememorare a teoremei Cayley-Hamilton din algebra liniară, în care ați învățat că, dacă extindeți polinomul caracteristic al unei matrice pătrate și apoi înlocuiți variabila cu matricea, veți obține matricea zero.)
După aceea, probabil că veți urma cursuri de subiecte în chestii precum teoria operatorilor și teoria algebrelor C*, care necesită în plus o înțelegere la nivel de absolvire a algebrei abstracte; când veți ajunge la acest nivel, veți fi intrat la școala de absolvenți și veți fi urmat un astfel de curs, care este o cerință obișnuită în primul an.
Aceasta a fost doar o încercare de a găsi „calea matematică de urmat” de la Calcul; mai sunt și altele:
Dezvoltarea integrării multivariabile în Introducere în analiză are o mulțime de substanță geometrică profundă, în același mod în care Calculul III are o mulțime de conținut geometric aparent aleatoriu; calea anterioară a fost în cele din urmă despre generalizarea derivatei la funcții pe spații vectoriale infinit-dimensionale, dar aceasta este despre generalizarea ei la manifolduri, care local arată ca spațiul euclidian finit-dimensional.
Acum, după Calculul III, puteți avea o idee despre acest lucru cu un curs de licență despre Geometria diferențială a curbelor și suprafețelor, dar lucrurile serioase care funcționează pentru manifolduri cu dimensiuni mai mari sunt la nivel de absolvire, începând cu Geometria Riemanniană și continuând cu Geometria Semi-Riemanniană (de fapt, aproape orice curs de absolvire cu „Geometrie” în numele său, cu excepția sinistrei „Geometrie Algebrică”, este în această direcție). În această perioadă s-ar putea să doriți să urmați Topologie generală și Topologie diferențială, dar prima va fi oricum o cerință generală.
Dacă vă cunoașteți Geometria Semi-Riemanniană, ați putea dori să învățați mai specific despre mulțimile Lorentziene din Relativitatea Generală; în ceea ce privește mulțimile Calabi-Yau din teoria supercorzilor, acestea sunt cel mai bine înțelese prin intermediul Geometriei Algebrice și, după cum veți învăța pe măsură ce avansați în matematică, cunoștințele matematice în sine nu sunt atât de izolate pe cât v-ar face să credeți selecția cursurilor.
Dacă aspectele legate de rezolvarea problemelor din Calculul II sunt mai mult ceea ce vă interesează, nu prea există prea multe pentru asta, deși Introducere în ecuațiile diferențiale și Ecuațiile diferențiale parțiale la nivel de licență includ numeroase pungi de trucuri, la fel ca și câteva cursuri care nu prea urmează de la Calcul sau unul altuia, cunoscute sub numele de Matematică discretă și Introducere în teoria numerelor (primul este, printre altele, o introducere în două domenii uimitoare și foarte computaționale ale matematicii numite Teoria grafurilor și Combinatorică; include, de asemenea, o frumoasă introducere în Logică și Teoria seturilor și servește adesea drept curs de Introducere în scrierea de dovezi în universități).
Există cursuri de Ecuații diferențiale dincolo de acest nivel, dar cele mai multe dintre ele se referă la modul de a demonstra că ecuațiile au de fapt soluții și la modul în care acestea s-ar comporta, dar nu atât de mult despre soluții în formă închisă sau în serie pentru ecuații specifice (iar studiul la nivel înalt al PDE-urilor necesită practic Analiză funcțională și toată învățarea grea care vine până la acel punct); există o anumită sinergie cu Analiza numerică, studiul metodelor de aproximare numerică, care este mai importantă decât ați putea crede la început (s-ar putea să ignorați la început regula punctului median, metoda lui Newton și metoda Euler directă, dar acestea funcționează acolo unde nu se pot găsi soluții în formă închisă, iar metodele numerice devin și mai sofisticate).
După ce probabilitatea și statistica se bazează pe concepte precum mediile și aria, este posibil să se bazeze pe formulările lor mai sofisticate cu ajutorul Calculului și al Teoriei Măsurilor; practic, orice rampă de ieșire din acea primă secvență până la nivelul de început de studii superioare poate fi folosită pentru a începe un studiu tot mai serios al Statisticii.
Nevoile de Analiză au fost principalul factor de motivare din spatele teoriei seturilor și, deși înveți suficient de mult din ea pentru a te descurca (și a o tot recapitula) în celelalte cursuri de matematică bazate pe demonstrații, este încă un domeniu de cercetare fructuos.
Tehnic nici măcar nu ai nevoie de Calcul sau Algebră Lineară pentru a învăța Algebră Abstractă, dar ajută să ai în prealabil „maturitatea matematică” a unui curs de Algebră Lineară.
Algebra Abstractă se află în spatele Geometriei Algebrice (practic, studiul seturilor de soluții ale ecuațiilor polinomiale în mai mult de o variabilă), al Topologiei Algebrice (studiul invarianților algebrici pentru clasificarea spațiilor topologice) și a unui număr surprinzător de lucruri care pot fi asistate de calcul (există chiar un pachet software doar pentru Algebra Comutativă, numit CoCoA).
Este, de asemenea, în spatele Teoriei Algebrice a Numerelor, care trage dintr-un număr surprinzător de domenii ale matematicii, la fel ca și cealaltă ramură majoră a teoriei numerelor, Teoria Analitică a Numerelor (Analiza Complexă este o condiție prealabilă certă aici); nu ați ghici de la început că aproape tot restul matematicii trebuie să fie adus pentru a studia numerele naturale.
Oh, așa cum Analiza a fost principalul motivator din spatele Teoriei Seturilor, Algebra a fost principalul motivator din spatele Teoriei Categoriilor; totuși, ele nu sunt complet separate, deoarece grupurile și inelele sunt descrise ca „seturi cu…”, și există cu siguranță perspective teoretice ale categoriilor în structurile din Analiză.
Aceasta nici măcar nu a fost o relatare deosebit de amănunțită, dar este suficient să spunem că domeniile matematicii nu sunt total ordonate în funcție de nivelul de dificultate sau de modul în care un student ar trebui să le învețe; ele nu sunt nici măcar organizate într-un arbore, ci mai degrabă ca un digraf. (De asemenea, termenii „total ordonat”, „arbore” și „digraf” ar fi acoperiți în Matematică discretă.)
De multe ori, ordinea în care un student ar învăța cel mai ușor matematica este diferită de ordinea logică în care se construiesc cunoștințele; în special, cursurile dedicate despre fundamentele matematicii sunt la nivel de absolvire, dar înainte de aceasta, se poate lucra ca și cum fundamentele sunt solide.
Cu toate acestea, dacă o tehnică de rezolvare a problemelor este necesară pentru un anumit curs, cursul ar trebui să fie urmat după cursul în care se predă tehnica respectivă, motiv pentru care un prim curs de variabile complexe necesită cel puțin Calcul III, unde sunt abordate mai întâi integralele de linie.
.