Teorema factorilor

Teorema factorilor

Pagini conexe
Teorema restului
Rezolvarea ecuațiilor cubice
Restularea și factorul Teoreme
Mai multe lecții de algebră

Teorema Reîntregii și Teorema Factorului

Ce este teorema factorului?

Când f(x) se împarte cu (x – a), obținem
f(x) = (x – a)Q(x) + restul

Din Teorema restului obținem
f(x) = (x – a)Q(x) + f(a)

Dacă f(a) = 0 atunci restul este 0 și
f(x) = (x – a)Q(x)

Potem spune atunci că (x – a) este un factor al lui f(x)

Teorema factorului afirmă că
(x – a) este un factor al polinomului f(x) dacă și numai dacă f(a) = 0

Rețineți că următoarele afirmații sunt echivalente pentru orice polinom f(x).

• (x – a) este un factor al lui f(x).
• Rămășița este zero când f(x) se împarte la (x – a).
• f(a) = 0.
• Soluția lui f(x) = 0 este a.
• Zeroul funcției f(x) este a.

Exemplu:
Determinați dacă x + 1 este un factor al următoarelor polinoame.
a) 3×4 + x3 – x2 + 3x + 2
b) x6 + 2x(x – 1) – 4

Soluție:
a) Fie f(x) = 3×4 + x3 – x2 + 3x + 2
f(-1) = 3(-1)4 + (-1)3 – (-1)2 +3(-1) + 2
= 3(1) + (-1) – 1 – 3 + 2 = 0
Deci, x + 1 este un factor al lui f(x)

b) Fie g(x) = x6 + 2x(x – 1) – 4
g(-1) = (-1)6 + 2(-1)( -2) -4 = 1
Din acest motiv, x + 1 nu este un factor al lui g(x)

Cum se utilizează teorema factorilor și teorema restului?

Ce sunt aceste teoreme și cum pot fi folosite pentru a găsi factorizarea liniară a unui polinom?

Teorema restului afirmă că, dacă un polinom, f(x), este împărțit la x – k, restul este egal cu f(k).

Teorema factorului afirmă că polinomul x – k este un factor al polinomului f(x) dacă și numai dacă f(k) = 0.

Exemplu:
Să fie f(x) = 2×3 – 3×2 – 5x + 6
Este x – 1 un factor?
Găsește toți ceilalți factori.

• Arată lecția video

Cum se folosește teorema factorului pentru a factoriza polinoame?

Exemple:

1. Factorul P(x) = 3×3 – x2 – 19x + 8

2. Factorul P(x) = 2×3 – 9×2 + x + 12

• Arată lecția video

Cum să găsești factorii rămași ai unui polinom?

O lecție despre teorema factorilor și factorizarea completă a unui polinom.

1. Învățați legătura dintre teorema factorilor și teorema restului.
2. Învățați cum să folosiți teorema factorilor pentru a determina dacă un binom este sau nu factor al unui polinom dat.
3. Utilizați diviziunea sintetică, împreună cu teorema factorilor pentru a ajuta la factorizarea unui polinom.

Exemplu:
Factorul complet x4 – 3×3 – 7×2 + 15x + 18

• Arată lecția video

Aplicarea teoremei factorului

Cum se utilizează teorema factorului pentru a determina dacă x – c este un factor al polinomului f?

Exemple:

1. f(x) = 4×3 – 3×2 – 8x + 4, c = 3
2. f(x) = 3×4 – 6×3 – 5x + 10, c = 1
3. f(x) = 3×6 + 2×3 – 176, c = -2
4. f(x) = 4×6 – 64×4 – x2 – 16, c = 4
5. f(x) = 2×4 – x3 – 2x – 1, c = -1/2

• Arată lecția video

Cum să explici teorema factorilor?

Dacă f(x) este un polinom și f(p) = 0 atunci (x – p) este un factor al lui f(x)

Dacă f(x) este un polinom și f(-q) = 0 atunci (x + q) este un factor al lui f(x)

• Arată lecția video

Descriere și exemple ale teoremei factorilor

Exemple:
Demonstrați că (x + 1) este un factor al lui P(x) = x2 + 2x + 1

Este (x + 2) un factor al lui x3 + 4×2 – x – 3?

• Show Video Lesson

Încercați calculatorul gratuit Mathway și rezolvatorul de probleme de mai jos pentru a exersa diverse subiecte de matematică. Încercați exemplele date sau introduceți propria problemă și verificați-vă răspunsul cu ajutorul explicațiilor pas cu pas.