Hyperbola

Hyperbola

Víte, že dráha vesmírné lodi může mít někdy tvar hyperboly?

Vesmírná loď může pomocí gravitace planety změnit svou dráhu a velkou rychlostí se od planety vzdálit a vrátit se zpět do vesmíru pomocí techniky zvané „gravitační prak“.

Pokud k tomu dojde, pak je dráha vesmírné lodi hyperbola.

(Hrajte si s tím v Gravity Freeplay)

Definice

Hiperbola jsou dvě křivky, které jsou jako nekonečné luky.

Podíváme-li se jen na jednu z křivek:

každý bod P je blíže k F než ke G o nějakou konstantní hodnotu

Druhá křivka je zrcadlovým obrazem a je blíže ke G než k F.

Jinými slovy, vzdálenost z P do F je vždy menší než vzdálenost P do G o nějakou konstantní hodnotu. (A pro druhou křivku je vzdálenost P ke G vždy menší než vzdálenost P k F o tuto konstantní hodnotu.)

Každý oblouk se nazývá větev a F a G se nazývají ohniska.

Sami si to vyzkoušejte:

Zkuste posunout bod P: čeho si všimnete na délkách PF a PG?“

Zkuste také umístit bod P na druhou větev.

• osu symetrie (která prochází každým ohniskem)
• dva vrcholy (kde každá křivka dělá svůj nejostřejší obrat)
• vzdálenost mezi vrcholy (2a na diagramu) je konstanta rozdíl mezi délkami PF a PG
• dvě asymptoty, které nejsou součástí hyperboly, ale ukazují, kam by křivka směřovala, kdyby pokračovala do nekonečna v každém ze čtyř směrů

A, přísně vzato, existuje také další osa symetrie, která prochází středem a odděluje obě větve hyperboly.

Konický řez Hyperbolu můžete získat také tehdy, když protnete dvojitý kužel. Řez musí být strmější než u paraboly, ale nemusí být rovnoběžný s osou kužele, aby hyperbola byla souměrná. Hiperbola je tedy kuželosečka (řez kuželem).

Rovnice

Při umístění hyperboly na graf x-y (se středem nad osou x a osou y) je rovnice křivky následující:

x2a2 – y2b2 = 1

Také:

Jeden vrchol je v bodě (a, 0) a druhý v bodě (-a, 0)

Asymptoty jsou přímky:

• y = (b/a)x
• y = -(b/a)x

(Poznámka: rovnice je podobná rovnici elipsy:

Ekcentricita

Každou větev hyperboly lze také definovat jako křivku, kde vzdálenosti libovolného bodu od:

• pevného bodu (ohniska) a
• pevné přímky (přímky)jsou vždy ve stejném poměru.

Tento poměr se nazývá excentricita a pro hyperbolu je vždy větší než 1.

Excentricita (obvykle se zobrazuje jako písmeno e) ukazuje, jak „nekřivolaká“ (odlišná od kružnice) hyperbola je.

Na tomto diagramu:

• P je bod na křivce,
• F je ohnisko a
• N je bod na přímce, takže PN je kolmá na přímku.

Excentricita je poměr PF/PN a má vzorec:

e = √(a2+b2)a

Podle „a“ a „b“ z výše uvedeného diagramu.

Latus Rectum

Latus Rectum je přímka procházející ohniskem a rovnoběžná s direktrou. Délka Latus Rectum je 2b2/a.

1/x

Reciproční funkce y = 1/x je hyperbola!