Differentialregning
OptimizationEdit
Hvis f er en differentiabel funktion på ℝ (eller et åbent interval) og x er et lokalt maksimum eller et lokalt minimum af f, så er den afledte af f ved x nul. Punkter, hvor f'(x) = 0, kaldes kritiske punkter eller stationære punkter (og værdien af f ved x kaldes en kritisk værdi). Hvis f ikke antages at være differentiabel overalt, betegnes punkter, hvor den ikke er differentiabel, også som kritiske punkter.
Hvis f er dobbelt differentiabel, kan et kritisk punkt x af f omvendt analyseres ved at betragte den anden afledede af f ved x :
- Hvis den er positiv, er x et lokalt minimum;
- Hvis den er negativ, er x et lokalt maksimum;
- Hvis den er nul, kan x være et lokalt minimum, et lokalt maksimum eller hverken det ene eller det andet. (F.eks. har f(x) = x3 et kritisk punkt ved x = 0, men den har hverken et maksimum eller et minimum der, hvorimod f(x) = ± x4 har et kritisk punkt ved x = 0 og henholdsvis et minimum og et maksimum der.)
Dette kaldes den anden derivationstest. En alternativ fremgangsmåde, kaldet første derivattest, indebærer, at man tager hensyn til fortegnet på f’ på hver side af det kritiske punkt.
Derivation og løsning af kritiske punkter er derfor ofte en enkel måde at finde lokale minima eller maksima på, hvilket kan være nyttigt ved optimering. I henhold til ekstremværditeoremet skal en kontinuert funktion på et lukket interval opnå sit minimum og sit maksimum mindst én gang. Hvis funktionen er differentiabel, kan minima og maksima kun opstå ved kritiske punkter eller endepunkter.
Dette har også anvendelser i forbindelse med grafskitsering: Når de lokale minima og maksima for en differentiabel funktion er fundet, kan man få et groft plot af grafen ud fra den iagttagelse, at den enten vil være stigende eller aftagende mellem kritiske punkter.
I højere dimensioner er et kritisk punkt for en skalarværdifunktion et punkt, hvor gradienten er nul. Testen af den anden afledning kan stadig bruges til at analysere kritiske punkter ved at overveje egenværdierne af Hessian-matrixen af funktionens anden partielle afledninger i det kritiske punkt. Hvis alle egenværdierne er positive, er punktet et lokalt minimum, og hvis de alle er negative, er det et lokalt maksimum. Hvis der er nogle positive og nogle negative egenværdier, kaldes det kritiske punkt for et “saddelpunkt”, og hvis ingen af disse tilfælde holder (dvs. nogle af egenværdierne er nul), anses testen for at være ukonklusiv.
VariationsregningRediger
Et eksempel på et optimeringsproblem er: Find den korteste kurve mellem to punkter på en flade, idet det antages, at kurven også skal ligge på fladen. Hvis overfladen er en plan, så er den korteste kurve en linje. Men hvis overfladen f.eks. er ægformet, så er den korteste vej ikke umiddelbart klar. Disse baner kaldes geodætiske baner, og et af de mest grundlæggende problemer i variationsregning er at finde geodætiske baner. Et andet eksempel er: Find den mindste arealflade, der udfylder en lukket kurve i rummet. Denne overflade kaldes en minimal overflade, og den kan også findes ved hjælp af variationsregning.
FysikRediger
Kalkulation er af afgørende betydning i fysikken: Mange fysiske processer beskrives ved ligninger, der involverer derivater, kaldet differentialligninger. Fysik beskæftiger sig især med den måde, hvorpå størrelser ændrer sig og udvikler sig over tid, og begrebet “tidsderivat” – ændringshastigheden over tid – er afgørende for den præcise definition af flere vigtige begreber. Især de tidsafledte afledte af et objekts position er vigtige i newtonsk fysik:
- hastighed er den afledte (i forhold til tiden) af et objekts forskydning (afstand fra den oprindelige position)
- acceleration er den afledte (i forhold til tiden) af et objekts hastighed, dvs. den anden afledte (i forhold til tiden) af et objekts position.
Hvis et objekts position på en linje f.eks. er givet ved
x ( t ) = – 16 t 2 + 16 t + 32 , {\displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,\,\,\!}
så er objektets hastighed
x ˙ ( t ) = x ′ ( t ) = – 32 t + 16 , {\displaystyle {\dot {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\,\,\!}
og objektets acceleration er
x ¨ ( t ) = x ″ ( t ) = – 32 , { {\displaystyle {\ddot {x}}}(t)=x”(t)=-32,\,\,\!}
som er konstant.
DifferentialligningerRediger
En differentialligning er en sammenhæng mellem en samling af funktioner og deres afledninger. En ordinær differentialligning er en differentialligning, der relaterer funktioner af én variabel til deres derivater med hensyn til denne variabel. En partiel differentialligning er en differentialligning, der relaterer funktioner af mere end én variabel til deres partielle derivater. Differentialligninger forekommer naturligt i de fysiske videnskaber, i matematisk modellering og inden for selve matematikken. For eksempel kan Newtons anden lov, som beskriver forholdet mellem acceleration og kraft, angives som den almindelige differentialligning
F ( t ) = m d 2 x d t 2 . {\displaystyle F(t)=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}.}
Varmelegningen i én rumvariabel, som beskriver, hvordan varme diffunderer gennem en lige stang, er den partielle differentialligning
∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 . {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}}=\alpha {\frac {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}.}
Her er u(x,t) stavens temperatur ved position x og tidspunkt t, og α er en konstant, der afhænger af, hvor hurtigt varmen diffunderer gennem staven.(2-3¡)-(3+2)
MiddelværdisætningRediger
med a < b {\displaystyle a<b}
er der en c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)}
med f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a {\displaystyle f'(c)={\tfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
.
Middelværdisætningen giver en sammenhæng mellem værdierne af den afledte og værdierne af den oprindelige funktion. Hvis f(x) er en realværdifunktion, og a og b er tal med a < b, så siger middelværdisætningen, at under milde forudsætninger er hældningen mellem de to punkter (a, f(a)) og (b, f(b)) lig med hældningen af tangentlinjen til f i et punkt c mellem a og b. Med andre ord,
f ′ ( c ) = f ( b ) – f ( a ) b – a . {\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}
I praksis er det, som middelværdisætningen gør, at den styrer en funktion i form af dens afledte. Lad os for eksempel antage, at f har afledet lig nul i hvert punkt. Det betyder, at dens tangentlinje er vandret i hvert punkt, så funktionen skal også være vandret. Middelværditeoremet beviser, at dette må være sandt: Hældningen mellem to punkter på grafen for f må være lig med hældningen af en af tangentlinjerne til f. Alle disse hældninger er nul, så enhver linje fra et punkt på grafen til et andet punkt vil også have hældningen nul. Men det betyder, at funktionen ikke bevæger sig op eller ned, så det må være en vandret linje. Mere komplicerede betingelser for den afledte fører til mindre præcise, men stadig meget nyttige oplysninger om den oprindelige funktion.
Taylor-polynomier og Taylor-serierRediger
Den afledte giver den bedst mulige lineære approksimation af en funktion i et givet punkt, men denne kan være meget forskellig fra den oprindelige funktion. En måde at forbedre tilnærmelsen på er at tage en kvadratisk tilnærmelse. Det vil sige, at linearisering af en realværdifunktion f(x) i punktet x0 er et lineært polynomium a + b(x – x0), og det kan være muligt at få en bedre approksimation ved at betragte et kvadratisk polynomium a + b(x – x0) + c(x – x0)2. Endnu bedre kan være et kubisk polynomium a + b(x – x0) + c(x – x0)2 + d(x – x0)3, og denne idé kan udvides til at omfatte polynomier af vilkårlig høj grad. For hvert af disse polynomier bør der være et bedst muligt valg af koefficienterne a, b, c og d, som gør tilnærmelsen så god som muligt.
I nærheden af x0 er det bedst mulige valg for a altid f(x0), og for b er det bedst mulige valg altid f'(x0). For c, d og koefficienter af højere grad bestemmes disse koefficienter af højere afledninger af f. c bør altid være f”'(x0)/2, og d bør altid være f””(x0)/3!!! Ved at bruge disse koefficienter får man Taylor-polynomiet for f. Taylor-polynomiet af grad d er det polynomium af grad d, der bedst tilnærmer sig f, og dets koefficienter kan findes ved en generalisering af ovenstående formler. Taylors sætning giver en præcis grænse for, hvor god tilnærmelsen er. Hvis f er et polynomium af grad mindre end eller lig med d, så er Taylor-polynomiet af grad d lig med f.
Grænsen for Taylor-polynomierne er en uendelig serie kaldet Taylor-serien. Taylor-serien er ofte en meget god tilnærmelse til den oprindelige funktion. Funktioner, der er lig med deres Taylor-serie, kaldes analytiske funktioner. Det er umuligt for funktioner med diskontinuiteter eller skarpe hjørner at være analytiske; desuden findes der glatte funktioner, som heller ikke er analytiske.
Implicit funktionsteoremRediger
Visse naturlige geometriske former, såsom cirkler, kan ikke tegnes som grafen for en funktion. Hvis f(x, y) = x2 + y2 – 1, er cirklen for eksempel mængden af alle par (x, y), således at f(x, y) = 0. Denne mængde kaldes nulmængden af f, og er ikke det samme som grafen for f, som er en paraboloid. Den implicitte funktionsteorem omdanner relationer som f(x, y) = 0 til funktioner. Det fastslår, at hvis f er kontinuert differentiabel, så ligner nulmængden af f omkring de fleste punkter graferne af funktioner, der er klistret sammen. De punkter, hvor dette ikke er sandt, bestemmes af en betingelse for den afledte af f. Cirklen kan f.eks. klistres sammen af graferne for de to funktioner ± √1 – x2. I et nabolag til hvert punkt på cirklen undtagen (-1, 0) og (1, 0) har en af disse to funktioner en graf, der ligner cirklen. (Disse to funktioner møder tilfældigvis også (-1, 0) og (1, 0), men det garanteres ikke af den implicitte funktionssætning.)
Den implicitte funktionssætning er nært beslægtet med den omvendte funktionssætning, som angiver, hvornår en funktion ligner grafer af inverterbare funktioner, der er klistret sammen.