Reddit – matematik – Hvor højt kan matematik gå? Og hvad er de områder, der er højere end regning?
Efter Multi-Variable Calculus og Linear Algebra kan du tage en sekvens, der hedder Introductory Analysis, som handler om det rigorøse grundlag for Calculus, og som introducerer sproget for differentiale former, så sætningerne i vektorregning kan generaliseres til mere end tre dimensioner.
Dernæst kan du tage en klasse kaldet Real Analysis, som starter med Measure Theory og beskæftiger sig med, hvordan man vil generalisere integration for usædvanlige, og tilsyneladende patologiske, funktioner af en reel variabel, og General Topology før eller samtidig med dette er tilrådeligt; det kan også indeholde materiale om rum af funktioner, som er emnet for den næste klasse.
Derefter kan du tage Functional Analysis, som i sin kerne handler om de problemer, der opstår, når man laver lineær algebra over uendeligt dimensionelle vektorrum; kendskab til Complex Analysis er også tilrådeligt, på grund af noget, der hedder spektralteori, som fortæller dig, hvornår du kan tage et udtryk, der fungerer fint som en kompleks-differentierbar funktion, og erstatte variablen med en lineær operatør. (Dette bør indebære et flashback til Cayley-Hamilton-sætningen fra lineær algebra, hvor du lærte, at hvis du udvider det karakteristiske polynomium for en kvadratisk matrix og derefter erstatter variablen med matrixen, får du nulmatrixen.)
Dernæst vil du formentlig tage emnekurser i ting som operatørteori og teorien om C*-algebraer, som desuden kræver en forståelse af abstrakt algebra på kandidatniveau; når du når til dette niveau, vil du være kommet ind på en kandidatskole og have taget et sådant kursus, som er et almindeligt krav på første år.
Det var blot et forsøg på at finde den “matematiske vej fremad” fra Calculus; der er andre:
Udviklingen af multivariabel integration i Introductory Analysis har en masse dyb geometrisk substans, på samme måde som Calculus III har en masse tilsyneladende tilfældigt geometrisk indhold; den forrige vej handlede i sidste ende om at generalisere den afledte til funktioner på uendeligt-dimensionelle vektorrum, men denne vej handler om at generalisere den til manifolds, som lokalt ligner finite-dimensionelle euklidiske rum.
Nu efter Calculus III kan man få et glimt af dette med et bachelor-kursus om Differential Geometry of Curves and Surfaces, men de seriøse ting, der virker for højere dimensionelle manifolds, er på kandidatniveau, startende med Riemannsk geometri og fortsættende med Semi-Riemannsk geometri (faktisk er næsten alle kurser på kandidatniveau med “Geometri” i navnet, bortset fra den ildevarslende “Algebraisk geometri”, i denne retning). Omkring dette tidspunkt vil du måske have lyst til at tage General Topology og Differential Topology, men førstnævnte vil alligevel være et generelt krav.
Hvis du kan din semiriemanniske geometri, vil du måske gerne lære mere specifikt om de lorentziske manifold i den generelle relativitetsteori; hvad angår Calabi-Yau-manifold i superstrengteorien, forstås de bedst gennem algebraisk geometri, og som du vil lære, efterhånden som du kommer igennem matematikken, er matematisk viden i sig selv ikke så opdelt, som kursusvalg vil få dig til at tro.
Hvis problemløsningsaspekterne i Calculus II er mere af det, du er interesseret i, er der ikke rigtig meget for det, selv om introduktionen til differentialligninger og partielle differentialligninger på bachelorniveau indeholder adskillige poser med tricks, ligesom et par klasser, der ikke helt følger op på Calculus eller hinanden, kendt som diskret matematik og introduktion til talteori (førstnævnte er blandt andet en introduktion til to fantastiske og meget beregningsmæssige områder af matematikken kaldet grafteori og kombinatorik; den indeholder også en fin introduktion til logik og mængdelære og fungerer ofte som introduktionskursus til bevisskrivning på universiteterne).
Der er klasser i differentialligninger ud over dette niveau, men de fleste af dem handler om, hvordan man beviser, at ligninger faktisk har løsninger, og hvordan de ville opføre sig, men ikke så meget om lukkede form- eller serieløsninger til specifikke ligninger (og studiet af PDE’er på højt niveau kræver i bund og grund funktionel analyse og al den hårde indlæring, der kommer op til det punkt); der er en vis synergi med numerisk analyse, dvs. studiet af metoder til numerisk tilnærmelse, som er vigtigere, end man måske først tror (i første omgang kan man måske afvise midtpunktsreglen, Newtons metode og den fremadrettede Euler-metode, men de fungerer, når der ikke kan findes løsninger i lukket form, og de numeriske metoder bliver endnu mere sofistikerede).
Da sandsynlighed og statistik er baseret på begreber som gennemsnit og areal, er det muligt at basere dem på deres mere sofistikerede formuleringer med Calculus og Measure Theory; stort set enhver off-ramp i denne første sekvens op til det begyndende kandidatniveau kan bruges til at starte et stadig mere seriøst studie af statistik.
Analysens behov var den primære motiverende faktor bag mængdelære, og selv om du lærer nok af det til at klare dig (og blive ved med at genoverveje det) i dine andre bevisbaserede matematikkurser, er det stadig et frugtbart forskningsområde.
Teknisk set behøver du ikke engang Calculus eller lineær algebra for at lære abstrakt algebra, men det hjælper at have den “matematiske modenhed” fra et kursus i lineær algebra i forvejen.
Abstrakt Algebra står bag Algebraisk Geometri (dybest set studiet af løsningsmængderne af polynomielle ligninger i mere end én variabel), Algebraisk Topologi (studiet af algebraiske invarianter til klassificering af topologiske rum) og et overraskende antal ting, der kan hjælpes af beregninger (der findes endda en softwarepakke kun til kommutativ algebra, kaldet CoCoA).
Det står også bag Algebraisk talteori, som trækker på et overraskende antal områder af matematikken, ligesom den anden store gren af talteorien, Analytisk talteori (kompleks analyse er en klar forudsætning her); man skulle ikke umiddelbart gætte, at næsten hele resten af matematikken skal inddrages for at studere de naturlige tal.
Oh, ligesom Analyse var hovedmotivationen bag mængdelære, var Algebra hovedmotivationen bag kategoriteori; de er dog ikke helt adskilte, for grupper og ringe beskrives som “mængder med…”, og der er bestemt kategoriteoretiske indsigter i analysens strukturer.
Dette var ikke engang en særlig grundig redegørelse, men det er nok at sige, at matematikkens områder ikke er helt ordnet i sværhedsgrad eller i forhold til, hvordan en studerende skal lære dem; de er ikke engang organiseret i et træ, men mere som en digrafi. (Begreberne “totalt ordnet”, “træ” og “digraf” vil også blive behandlet i diskret matematik.)
Ofte er den rækkefølge, i hvilken en studerende lettest vil kunne lære matematik, forskellig fra den logiske rækkefølge, i hvilken viden er opbygget; især er dedikerede kurser om matematikkens grundlag på kandidatniveau, men inden da kan man arbejde, som om grundlaget er solidt.
Samt, hvis en problemløsningsteknik er nødvendig for et bestemt fag, bør faget tages efter det fag, hvor teknikken undervises, hvilket er grunden til, at et første kursus i komplekse variabler kræver mindst Calculus III, hvor linjeintegraler først behandles.