Lösen von quadratischen Gleichungen durch Faktorisierung (alt)
Lassen Sie uns einige quadratische Gleichungen durch Faktorisierung lösen, also sagen wir, ich hatte x zum Quadrat plus 4x ist gleich 21. Sie werden wahrscheinlich etwas tun, das nicht gerechtfertigt ist. Was Sie hier tun müssen, ist, den gesamten quadratischen Ausdruck auf eine Seite der Gleichung zu setzen, und zwar auf die linke Seite.Wir subtrahieren also 21 von beiden Seiten der Gleichung. Die linke Seite wird dann zu x zum Quadrat plus 4x minus 21 und die rechte Seite ist gleich 0.Die Art und Weise, wie man dies lösen will, ist eine quadratische Gleichung, wir haben einen quadratischen Ausdruck, der gleich 0 gesetzt wird, und die Art und Weise, wie man dies lösen will, ist, dass man sie faktorisieren will und sagt, ok, jeder dieser Faktoren könnte dann gleich 0 sein. Wir haben im letzten Video gesehen, dass, wenn man zwei Zahlen herausfinden muss, deren Produkt gleich negativ 21 ist und deren Summe gleich 4 ist, also wäre das a plus B gleich 4, da ihr Produkt negativ ist, müssen sie unterschiedliche Vorzeichen haben, also sehen wir mal, die Zahl, die mir ins Auge springt, ist 7 und 3. 7 und negative 3, also a und B positive 7 und negative 3, wenn ich das Produkt nehme, erhalte ich negative 21, wenn ich ihre Summe nehme, erhalte ich positive 4, also kann ich diese Gleichung hier umschreiben, ich könnte sie umschreiben als X plus 7 mal X minus 3 ist gleich 0, und jetzt kann ich das lösen, indem ich sage, schau, ich habe zwei Mengen, deren Produkt gleich 0 ist, was bedeutet, dass eine oder beide Das bedeutet, dass eine oder beide gleich 0 sein müssen. Das bedeutet also, dass X plus 7 gleich 0 ist. Das ist ein X oder X minus 3 ist gleich 0. Ich könnte 7 von beiden Seiten dieser Gleichung subtrahieren und bekäme X ist gleich minus 7 und hier drüben kann ich drei zu beiden Seiten dieser Gleichung addieren und bekomme X ist gleich 3. Diese beiden Zahlen sind also die Lösungen dieser Gleichung Sie können es ausprobieren, wenn Sie 7 7 negative 7 quadriert ist 49 49 negative 7 mal 4 ist minus 28 oder negative 28 und das ist in der Tat gleich 21 und ich lasse Sie es mit der positiven 3 ausprobieren lassen, lassen Sie es uns einfach machen 3 quadriert ist 9 plus 4 mal 3 ist 12 9 plus 12 ist in der Tat 21 lassen Sie uns ein paar mehr Beispiele machen lassen Sie uns sagen, ich habe x quadriert plus 49 ist gleich 14x noch einmal, wann immer Sie so etwas sehen, setzen Sie alle Terme auf einer Seite der Gleichung ein und erhalten Sie eine 0 auf der anderen Seite, das ist der beste Weg, eine quadratische Gleichung zu lösen, also subtrahieren wir 14x von beiden Seiten, wir könnten dies schreiben als x Quadrat minus 14x plus 49 ist gleich Null ich werde sehen 14x minus 14x ist 0 diese Menge minus 14x ist diese Menge genau hier jetzt müssen wir nur noch darüber nachdenken, welche zwei Zahlen ich nehme, wenn ich das Produkt nehme, erhalte ich 49 und wenn ich ihre Summe nehme, erhalte ich negative 14 also erstens müssen sie das gleiche Vorzeichen haben, weil dies hier eine positive Zahl ist und sie werden beide negativ sein, weil ihre Summe negativ ist und es gibt etwas Interessantes hier 49 ist ein perfektes Quadrat seine Faktoren sind eins sieben und 49 also vielleicht funktioniert sieben oder noch besser vielleicht funktioniert negative sieben und das tut es negative 7 mal negative sieben ist mal negative sieben ist 49 und negative sieben plus negative 7 ist negative 14 wir haben dieses Muster hier wo wir zwei mal die Wir haben dieses Muster, bei dem wir zwei Mal die Zahl haben und dann haben wir die Zahl zum Quadrat, das ist ein perfektes Quadrat, das ist gleich X minus sieben mal X minus sieben, das ist gleich Null, das sollten wir nicht vergessen, oder wir könnten es so schreiben, dass X minus sieben zum Quadrat gleich Null ist, das war also ein perfektes Ergebnis, das war ein perfektes Quadrat eines Binoms, und wenn X minus 7 zum Quadrat gleich 0 ist, nimm die Ich meine, wir könnten sagen, X minus sieben ist Null oder X minus sieben ist Null, aber das wäre redundant, also erhalten wir einfach X minus sieben ist Null addiere 7 zu beiden Seiten und du erhältst X ist gleich sieben nur eine Lösung dort lass uns noch eine machen lass uns noch eine machen in rosa noch eine in rosa lass uns sagen wir haben X Quadrat minus 64 Sagen wir, wir haben x zum Quadrat minus 64 ist gleich Null. Das sieht interessant aus, genau hier. Das sieht interessant aus. Du hast vielleicht schon die Glocke im Kopf, wie man das lösen kann. Das hat keinen X-Term, aber wir könnten es so betrachten, als hätte es einen zusätzlichen Ich könnte es umschreiben als x zum Quadrat plus 0x minus 64. Wir könnten also in dieser Situation sagen, okay, welche zwei Zahlen, wenn ich sie multipliziere, gleich 64 sind, und wenn ich sie addiere, sind sie gleich Null, und wenn ich dann ihr Produkt nehme, erhalte ich eine negative Zahl, richtig, das ist a mal B, es ist eine negative Zahl, das muss also bedeuten, dass sie entgegengesetzte Vorzeichen haben, das muss also bedeuten, dass sie entgegengesetzte Vorzeichen haben, wenn ich sie addiere, erhalte ich Null, das muss bedeuten dass a plus minus B gleich Null ist oder dass a gleich B ist, dass wir es mit der gleichen Zahl zu tun haben, dass wir es im Wesentlichen mit der gleichen Zahl zu tun haben, dass es die Negative voneinander sind, was kann es also sein, wenn wir es mit der gleichen Zahl und ihren Negativen voneinander zu tun haben, wenn sie es sind, wenn wir es mit Negativen voneinander zu tun haben, nun, die 64 ist genau 8 zum Quadrat, aber sie ist negativ 64, also haben wir es vielleicht mit 1 negativen 8 und 1 positiven 8 zu tun, und wenn wir diese beiden zusammenzählen, kommen wir tatsächlich auf Null, also wird das X plus oder X minus 8 mal X plus 8 sein. Wenn Sie also etwas sehen, das in das Muster a Quadrat minus B Quadrat passt, können Sie sofort sagen, oh, das wird a plus B a plus B a ist X B ist acht mal a minus B Lassen Sie uns noch ein paar weitere allgemeine Probleme lösen Ich sage Ihnen nicht, welche Art diese sein werden Nehmen wir an, wir haben X Lassen Sie mich die Farbe wechseln, es wird langsam eintönig Sagen wir, wir haben x zum Quadrat minus 24x plus 144 ist gleich Null nun, 144 ist auffallend 12 zum Quadrat und dies ist auffallend 2 mal negativ 12 oder dies wird als negative 12 zum Quadrat betrachtet, also ist dies negative 12 mal negative 12 dies ist negative 12 plus negative 12 also kann dieser Ausdruck wiederDieser Ausdruck kann also als X minus 12 mal X minus 12 oder X minus 12 zum Quadrat geschrieben werden, und wir werden das gleich 0 setzen, das wird 0 sein, wenn X minus 12 gleich 0 ist. Man könnte sagen, dass beides gleich 0 sein kann, aber es ist das Gleiche, wenn man 12 zu beiden Seiten der Gleichung hinzufügt, erhält man X ist gleich 12, und ich habe gerade das Problem hier oben erkannt, ich habe es faktorisiert, aber ich habe die Gleichung nicht wirklich gelöst, also muss das gleich 0 sein. hier oben und die einzige Möglichkeit, dass dieses Ding hier gleich 0 ist, ist, wenn entweder X minus 8 gleich 0 ist oder X plus 8 gleich 0 ist, also addiere 8 zu beiden Seiten davon und du bekommst X könnte gleich 8 sein subtrahiere 8 von beiden Seiten davon und du bekommst X könnte auch gleich negativ 8 sein, also lass uns hoffentlich noch eine weitere Gleichung aufstellen, nur um den Punkt wirklich in deinem Kopf zu verankern, lass uns noch eine weitere Gleichung aufstellen, sagen wir, wir haben 4x zum Quadrat minus 25 ist gleich 0, also siehst du vielleicht schon das Muster das ist ein a zum Quadrat, das ist ein a zum Quadrat, das ist ein B zum Quadrat, wir haben das Muster von a zum Quadrat minus B zum Quadrat, wobei in diesem Fall a gleich 2x ist, das ist 2x zum Quadrat und B ist gleich 5. Wenn man also a zum Quadrat minus B zum Quadrat hat, ist a zum Quadrat minus B zum Quadrat gleich a plus B mal a minus B in dieser Situation bedeutet das, dass 4x zum Quadrat minus 25 gleich 2x plus 5 mal 2x minus 5 ist und das ist natürlich gleich 0 und dies wird nur gleich 0 sein, wenn entweder 2x plus 5 gleich 0 oder 2x minus 5 gleich Null ist und dann können wir jedes dieser Probleme lösen, indem wir 5 von beiden Seiten subtrahieren, du erhältst 2x ist gleich negativ 5, beide Seiten durch 2 teilen, du könntest eine Lösung erhalten, die negative 5 Hälften ist, hier drüben addiere 5 zu beiden Seiten, du erhältst 2x ist gleich positiv 5, beide Seiten durch 2 teilen, du erhältst X könnte auch gleich positiv 5 Hälften sein, also erfüllen beide diese Gleichung dort oben