Reddit – math – Wie hoch kann man in Mathe gehen? Und welche Fächer sind höher als Infinitesimalrechnung?
Nach der Multivariablenrechnung und der Linearen Algebra kann man eine Sequenz namens Einführende Analysis belegen, in der es um die strenge Grundlage für die Infinitesimalrechnung geht und die in die Sprache der Differentialformen einführt, so dass die Theoreme der Vektorrechnung auf mehr als drei Dimensionen verallgemeinert werden können.
Danach können Sie einen Kurs namens Reelle Analysis belegen, der mit der Maßtheorie beginnt und sich damit befasst, wie man die Integration für ungewöhnliche und scheinbar pathologische Funktionen einer reellen Variablen verallgemeinert, und es ist ratsam, davor oder gleichzeitig mit diesem Kurs Allgemeine Topologie zu belegen; er kann auch Material über Funktionsräume enthalten, die das Thema des nächsten Kurses sind.
Danach können Sie Funktionalanalysis belegen, die sich im Kern mit den Problemen befasst, die sich bei der linearen Algebra über unendlichdimensionalen Vektorräumen ergeben; Kenntnisse der Komplexen Analysis sind ebenfalls ratsam, wegen der so genannten Spektraltheorie, die Ihnen sagt, wann Sie einen Ausdruck, der gut als komplex differenzierbare Funktion funktioniert, durch einen linearen Operator ersetzen können. (Dabei sollte man sich an das Cayley-Hamilton-Theorem aus der linearen Algebra erinnern, wo man gelernt hat, dass man die Nullmatrix erhält, wenn man das charakteristische Polynom einer quadratischen Matrix ausdehnt und dann die Variable durch die Matrix ersetzt.)
Danach würden Sie wahrscheinlich Themenkurse wie Operatortheorie und die Theorie der C*-Algebren belegen, die zusätzlich ein Verständnis der Abstrakten Algebra auf Hochschulniveau voraussetzen; wenn Sie zu diesem Niveau kommen, werden Sie an einer Graduiertenschule angenommen und einen solchen Kurs belegt haben, was eine übliche Voraussetzung für das erste Jahr ist.
Das war nur ein Versuch, den „mathematischen Weg nach vorne“ von Calculus zu finden; es gibt noch andere:
Die Entwicklung der multivariablen Integration in Introductory Analysis hat eine Menge tiefgreifender geometrischer Substanz, ähnlich wie Calculus III eine Menge scheinbar zufälliger geometrischer Inhalte hat; beim vorherigen Weg ging es letztlich um die Verallgemeinerung der Ableitung auf Funktionen in unendlich-dimensionalen Vektorräumen, aber hier geht es um die Verallgemeinerung auf Mannigfaltigkeiten, die lokal wie der endlich-dimensionale euklidische Raum aussehen.
Nach Calculus III können Sie einen Einblick in diese Thematik in einem Grundkurs über die Differentialgeometrie von Kurven und Flächen erhalten, aber die ernsthaften Themen, die sich mit höherdimensionalen Mannigfaltigkeiten befassen, sind auf der Graduiertenebene angesiedelt, beginnend mit der Riemannschen Geometrie und weiterführend mit der Semi-Riemannschen Geometrie (eigentlich ist fast jeder Graduiertenkurs mit „Geometrie“ im Namen, mit Ausnahme der ominösen „Algebraischen Geometrie“, in dieser Richtung angesiedelt). Zu diesem Zeitpunkt sollten Sie vielleicht Allgemeine Topologie und Differentialtopologie belegen, aber ersteres ist ohnehin eine allgemeine Voraussetzung.
Wenn Sie die Semi-Riemannsche Geometrie beherrschen, möchten Sie vielleicht mehr über die Lorentz’schen Mannigfaltigkeiten in der Allgemeinen Relativitätstheorie lernen; die Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten der Superstringtheorie lassen sich am besten durch Algebraische Geometrie verstehen, und wie Sie im Laufe Ihres Mathematikstudiums lernen werden, ist mathematisches Wissen nicht so isoliert, wie die Kursauswahl es vermuten lässt.
Wenn Sie mehr an den problemlösenden Aspekten von Calculus II interessiert sind, gibt es dafür nicht wirklich viel, obwohl die Undergraduate-Level Introduction to Differential Equations und Partial Differential Equations zahlreiche Tricks enthalten, ebenso wie ein paar Kurse, die nicht ganz an Calculus oder aneinander anknüpfen, nämlich Discrete Mathematics und Introductory Number Theory (ersterer ist unter anderem eine Einführung in zwei erstaunliche und sehr rechenintensive Bereiche der Mathematik namens Graph Theory und Combinatorics; es enthält auch eine schöne Einführung in Logik und Mengenlehre und dient oft als Einführung in das Schreiben von Beweisen an Universitäten).
Es gibt Kurse in Differentialgleichungen, die über dieses Niveau hinausgehen, aber in den meisten geht es darum, wie man beweist, dass Gleichungen tatsächlich Lösungen haben und wie sie sich verhalten würden, aber nicht so sehr um geschlossene Formen oder Reihenlösungen für bestimmte Gleichungen (und das Studium von PDEs auf hohem Niveau erfordert im Grunde die Funktionalanalysis und all das harte Lernen, das bis zu diesem Punkt kommt); es gibt eine gewisse Synergie mit der Numerischen Analysis, dem Studium der Methoden der numerischen Approximation, die wichtiger ist, als man zunächst denken mag (man mag die Mittelpunktsregel, die Newton-Methode und die Vorwärts-Euler-Methode zunächst abtun, aber sie funktionieren dort, wo keine geschlossenen Lösungen gefunden werden können, und die numerischen Methoden werden noch ausgefeilter).
Da Wahrscheinlichkeit und Statistik auf Konzepten wie Mittelwert und Fläche beruhen, ist es möglich, sie auf ihre anspruchsvolleren Formulierungen mit Kalkül und Maßtheorie zu stützen; im Grunde kann jede Abzweigung in dieser ersten Sequenz bis zum Beginn des Studiums genutzt werden, um ein immer ernsthafteres Studium der Statistik zu beginnen.
Die Bedürfnisse der Analysis waren der primäre Motivationsfaktor für die Mengenlehre, und obwohl man genug davon lernt, um in den anderen beweisbasierten Mathekursen zurechtzukommen (und es immer wieder zu wiederholen), ist es immer noch ein fruchtbares Gebiet der Forschung.
Technisch gesehen braucht man nicht einmal Calculus oder Lineare Algebra, um Abstrakte Algebra zu lernen, aber es ist hilfreich, wenn man die „mathematische Reife“ eines Kurses in Linearer Algebra vorweisen kann.
Abstrakte Algebra steht hinter der Algebraischen Geometrie (im Grunde das Studium der Lösungsmengen von Polynomgleichungen in mehr als einer Variablen), der Algebraischen Topologie (das Studium algebraischer Invarianten zur Klassifizierung topologischer Räume) und einer überraschenden Anzahl von Dingen, die durch Berechnungen unterstützt werden können (es gibt sogar ein Softwarepaket nur für die Kommutative Algebra, genannt CoCoA).
Sie steht auch hinter der Algebraischen Zahlentheorie, die auf eine überraschende Anzahl von Gebieten der Mathematik zurückgreift, ebenso wie der andere große Zweig der Zahlentheorie, die Analytische Zahlentheorie (die Komplexe Analysis ist hier eine eindeutige Voraussetzung); man würde auf Anhieb nicht vermuten, dass fast die gesamte übrige Mathematik herangezogen werden muss, um die natürlichen Zahlen zu untersuchen.
Oh, so wie die Analysis die Hauptmotivation für die Mengenlehre war, war die Algebra die Hauptmotivation für die Kategorientheorie; sie sind aber nicht völlig getrennt, denn Gruppen und Ringe werden als „Mengen mit…“ beschrieben, und es gibt definitiv kategorientheoretische Einsichten in die Strukturen der Analysis.
Das war nicht einmal eine besonders gründliche Darstellung, aber es genügt zu sagen, dass die Bereiche der Mathematik nicht völlig geordnet sind, was den Schwierigkeitsgrad oder die Art und Weise betrifft, wie ein Schüler sie lernen sollte; sie sind nicht einmal in einem Baum organisiert, sondern eher wie ein Digraph. (Die Begriffe „völlig geordnet“, „Baum“ und „Digraph“ werden in Diskrete Mathematik behandelt.)
Oft unterscheidet sich die Reihenfolge, in der ein Student am leichtesten Mathematik lernt, von der logischen Reihenfolge, in der das Wissen aufgebaut wird; insbesondere finden spezielle Kurse über die Grundlagen der Mathematik auf der Graduiertenebene statt, aber davor kann man so arbeiten, als ob die Grundlagen solide wären.
Wenn jedoch eine Problemlösungstechnik für eine bestimmte Klasse erforderlich ist, sollte diese Klasse nach der Klasse belegt werden, in der die Technik gelehrt wird, weshalb ein erster Kurs in Komplexen Variablen mindestens Calculus III erfordert, in dem zuerst Linienintegrale behandelt werden.