Sir Michael Atiyah Nachruf
Das letzte Mal, als ich Michael Atiyah, der im Alter von 89 Jahren verstorben ist, traf, war in der Tate Modern in London; nicht der wahrscheinlichste Ort, um den wahrscheinlich größten britischen Mathematiker seit Isaac Newton zu treffen, aber ganz im Einklang mit seiner weitreichenden Begeisterung für sein Fach. Es war im Juni 2012, und ich nahm mit ihm und dem extravaganten französischen Mathematiker Cédric Villani an einer Podiumsdiskussion teil: Mathematics, a Beautiful Elsewhere. Der Titel sagt alles.
Atiyahs Entscheidung, Mathematiker zu werden, verdanken wir der Schwefelsäure. Anfang 1940, als Großbritannien und Frankreich um sein Heimatland Libanon kämpften, schickten ihn seine Eltern auf das Victoria College in Kairo. In einem Interview von 1984 sagte er, dass er sich dort sehr für Chemie interessierte, aber schließlich beschloss, dass die Herstellung von „Schwefelsäure und all diesem Zeug“ nichts für ihn war: „Listen von Fakten, nur Fakten …“ Von da an wurde die Mathematik zu seiner Leidenschaft. „Ich habe nie ernsthaft in Erwägung gezogen, etwas anderes zu machen.“ Atiyahs Arbeit sollte einen tiefgreifenden Einfluss auf die heutige Mathematik haben.
Atiyah war ein Geometer im Sinne eines visuellen Denkens in Verbindung mit abstrakter Symbolik, einer neuen Einstellung, die Mitte des 20. Jahrhunderts die Mathematik erfasste. Man dachte darüber wie über Geometrie, schrieb aber darüber wie über Algebra, und zwar eine sehr esoterische Algebra. Seine Forschungen lassen sich in vier Hauptperioden einteilen, die sich teilweise überschneiden – in den 1950er Jahren die algebraische Geometrie, in den 60er und frühen 70er Jahren die K-Theorie, in den 60er bis 80er Jahren die Indextheorie und in den späten 70er bis Mitte der 80er Jahre die Eichtheorie, wo seine Ideen in der Quantenphysik äußerst einflussreich wurden.
Die algebraische Geometrie entwickelte sich ursprünglich aus einer tiefen Verbindung zwischen Geometrie und Algebra, die in den 1600er Jahren von René Descartes gefördert wurde. Man beginnt mit Euklids Ebene und führt Koordinaten ein – Zahlenpaare, die die Lage eines Punktes beschreiben, ähnlich wie Breiten- und Längengrad einen Punkt auf der Erdoberfläche bestimmen. Geometrische Eigenschaften von Kurven können dann durch algebraische Gleichungen beschrieben werden, so dass Fragen der Geometrie mit Hilfe der Algebra beantwortet werden können und umgekehrt.
In den späten 1800er und frühen 1900er Jahren tauchte ein neues Kind in der Mathematik auf: die Topologie, in der geometrische Formen verformt werden können, als wären sie aus Gummi. Klassische Merkmale wie Längen und Winkel verlieren ihre Bedeutung und werden durch Konzepte wie „verbunden“, „verknotet“ oder „mit einem Loch wie ein Donut“ ersetzt.
Die Topologie erwies sich als grundlegend für viele Bereiche der Mathematik. Es wurden Techniken entwickelt, um einem topologischen Raum verschiedene „Invarianten“ zuzuordnen, die Aufschluss darüber geben, ob Räume ineinander verformt werden können oder nicht.
Eine der mächtigsten Invarianten, die Homologie, wurde von Emmy Noether, der bedeutendsten Mathematikerin des späten 19. und frühen 20. Sie interpretierte rudimentäre Methoden zum Zählen von Merkmalen wie der Anzahl von Löchern in einer Oberfläche im Sinne der abstrakten Algebra neu.
In der Tat erklärte Noether, dass wir nicht nur Löcher und zugehörige Strukturen zählen, sondern auch fragen können, wie sie sich verbinden, und der Antwort topologische Informationen entnehmen können.
Atiyah begann seine Forschungskarriere in der algebraischen Geometrie, aber unter dem Einfluss seines Doktorvaters William Hodge in Cambridge wechselte er schnell in ein angrenzendes Gebiet, die Differentialgeometrie, die Konzepte wie die Krümmung untersucht – wie ein Raum von der flachen Ebene von Euklid abweicht. Dort machte er große Fortschritte bei den Wechselwirkungen zwischen algebraischer Geometrie, Differentialgeometrie und Topologie.
Euklids Untersuchungen eines Kreises schließen seine Tangenten ein: gerade Linien, die ihn in einem Punkt berühren, wie eine Straße, die ein Fahrradrad trägt. In ähnlicher Weise hat eine Kugel eine Familie von Tangentialebenen, eine für jeden Punkt auf ihrer Oberfläche. Eine allgemeine Familie dieser Art nennt man ein Vektorbündel: „Bündel“, weil die Kugel alle Ebenen miteinander verbindet, und „Vektor“, weil die höherdimensionalen Entsprechungen von Linien und Ebenen als Vektorräume bezeichnet werden.
Die Topologie eines Vektorbündels liefert Informationen über den zugrunde liegenden Raum. Die Tangenten an einen Kreis zum Beispiel bilden einen Zylinder. Zum Beweis: Dreht man jede Tangente um einen rechten Winkel aus der Kreisebene heraus, so erhält man einen Zylinder. Es gibt ein weiteres Vektorbündel, das mit einem Kreis verbunden ist und bei dem die Linien verdreht sind, um das berühmte Möbiusband zu bilden, eine Fläche, die sich topologisch von einem Zylinder unterscheidet, da sie nur eine Seite hat. Atiyah wandte diese Ideen auf „elliptische Kurven“ an, eigentlich donutförmige Flächen mit interessanten zahlentheoretischen Eigenschaften.
Sein nächstes Thema, die K-Theorie, ist eine weitreichende Erweiterung der Noetherschen Homologieinvariante. Ein Zylinder und ein Möbiusband sind topologisch verschieden, weil ihre zugehörigen Bündel unterschiedliche Verdrehungen haben. Die K-Theorie macht sich Vektorbündel zunutze, um höherdimensionale Entsprechungen solcher Verdrehungen zu erfassen.
Das Thema erlebte in den 60er Jahren eine rasante Entwicklung, die durch bemerkenswerte Verbindungen zu anderen wichtigen Bereichen der Mathematik angeregt wurde und den Topologen ein leistungsfähiges Instrumentarium von Invarianten an die Hand gab.
Atiyah war, oft gemeinsam mit anderen führenden Mathematikern, eine treibende Kraft hinter diesen Entwicklungen. Wichtige Themen waren die Kobordismustheorie von René Thom (wie sich ein Kreis in zwei teilt, wenn man sich in einer Hose von der Taille zu den Beinlöchern bewegt, nur für mehrdimensionale Räume) und das Periodizitätstheorem, das zuerst von Raoul Bott bewiesen wurde und zeigt, dass sich höhere K-Gruppen in einem Zyklus der Länge acht wiederholen.
Die Indextheorie hat ihren Ursprung in der Beobachtung, dass topologische Merkmale einer Landschaft, wie die Anzahl der Berggipfel, Täler und Pässe, miteinander in Beziehung stehen. Um einen Gipfel zu beseitigen, indem man ihn abflacht, muss man z. B. auch einen Pass beseitigen. Der Index ordnet solche Phänomene und kann unter geeigneten Umständen dazu verwendet werden, zu beweisen, dass ein Gipfel in einer bestimmten Region vorhanden sein muss.
Eine Landschaft ist eine Metapher für den Graphen einer mathematischen Funktion, und eine weitreichende Verallgemeinerung verbindet die Anzahl der Lösungen einer Differentialgleichung mit einem eher esoterischen topologischen Index.
Differentialgleichungen setzen die Änderungsraten verschiedener Größen zueinander in Beziehung und sind in der mathematischen Physik allgegenwärtig; das Atiyah-Singer-Index-Theorem, das 1963 gemeinsam mit dem amerikanischen Mathematiker Isadore Singer bewiesen wurde, zeigt eine höchst bedeutsame Verbindung zwischen einem topologischen Index und den Lösungen einer Differentialgleichung auf.
In einem geeigneten mathematischen Rahmen kann dies zu einem Beweis dafür führen, dass eine Lösung existieren muss, so dass der Atiyah-Singer-Index weitreichende Anwendungen in der Physik hat. Vierzig Jahre nach ihrer Entdeckung wurden die beiden 2004 gemeinsam mit dem Abel-Preis der Norwegischen Akademie der Wissenschaften ausgezeichnet.
Die Eichtheorie ist in der Physik entstanden und formalisiert bestimmte Symmetrien von Quantenfeldern und -teilchen. Das erste Beispiel stammt von James Clerk Maxwells Gleichungen für das elektromagnetische Feld (1861), bei denen bestimmte mathematische Transformationen angewendet werden können, ohne die Physik zu verändern.
1954 dehnten Chen Ning Yang und Robert Mills diese Idee auf die starke Wechselwirkung aus, die jedes Quantenteilchen im Atomkern zusammenhält. Es stellte sich heraus, dass Symmetrie für die Quantenmechanik von entscheidender Bedeutung ist – zum Beispiel wirkt das kürzlich entdeckte Higgs-Boson, das Teilchen mit Masse ausstattet, indem es bestimmte Symmetrien bricht – und Eichsymmetrien sind von enormer Bedeutung.
Atiyah trug wichtige Ideen zu ihrer Mathematik bei, indem er seine Indextheorie zur Untersuchung von Instantonen (Teilchen, die in die Existenz blinken und sofort wieder verschwinden) und magnetischen Monopolen (Teilchen wie ein magnetischer Nordpol ohne entsprechenden Südpol) verwendete.
1983 nutzte sein Doktorand Simon Donaldson diese Ideen, um ein bemerkenswertes Theorem zu beweisen: Entgegen der Erwartung fast aller Topologen hat der vierdimensionale Raum unendlich viele unterschiedliche differenzierbare Strukturen – in dieser Hinsicht völlig anders als jede andere Dimension. Der breitere Kontext für all diese Arbeiten ist die Superstringtheorie, eine vermutete Vereinigung der Quantentheorie und der Relativitätstheorie von Albert Einstein.
Atiyah wurde in London als eines von vier Kindern von Edward, einem libanesischen Beamten, und seiner Frau Jean (geborene Levens), die in Yorkshire geboren wurde und schottischer Abstammung ist, geboren. Die Familie zog nach Khartum im Sudan, wo Michael zur Schule ging, bevor er das Victoria College in Kairo besuchte und mit 16 Jahren auf das Manchester Grammar School wechselte, um sich auf Cambridge vorzubereiten. Er interessierte sich schon immer für Mathematik. Ein inspirierender Lehrer führte ihn in die projektive Geometrie und William Rowan Hamiltons Quaternionen-Algebra ein, und er las über Zahlentheorie und Gruppentheorie – all das beeinflusste eindeutig seine späteren mathematischen Interessen.
1949, nach zwei Jahren Nationaldienst, studierte er am Trinity College in Cambridge und blieb dort bis zu seiner Promotion. Er hatte Positionen am Institute for Advanced Study in Princeton (einschließlich einer Professur 1969-72), in Cambridge und in Oxford inne, wo er 1963-69 Savilian Professor für Geometrie und 1973-90 Forschungsprofessor der Royal Society war. Er wurde 1962 Fellow der Royal Society und war von 1990 bis 1995 Präsident der Gesellschaft. Im Jahr 1966 erhielt er die Fields-Medaille, die höchste Auszeichnung für einen Mathematiker.
Im Jahr 1990 wurde er Master des Trinity College, Cambridge, und Direktor des Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, Cambridge. Er wurde 1983 zum Ritter geschlagen und 1992 zum Mitglied des Order of Merit ernannt. Nach seinem Ausscheiden aus dem Trinity College 1997 zog er mit seiner Frau Lily (geb. Brown), die er 1955 geheiratet hatte, nach Edinburgh.
Atiyah war stets ein eifriger Verfechter des öffentlichen Engagements und hielt populäre Vorträge über die Schönheit der Mathematik und seine lebenslange Leidenschaft für dieses Fach. Klein und kompakt, mit einer ruhigen, präzisen Vortragsweise, konnte er dennoch ein Publikum in seinen Bann ziehen. So habe ich ihn in Erinnerung, wie er an jenem Tag in der Tate Modern Nicht-Mathematikern erzählte, warum wir es tun, wozu es gut ist und wie es sich anfühlt.
Er und Lily hatten drei Söhne: John, David und Robin. John kam 2002 bei einem Kletterunfall ums Leben; Lily starb letztes Jahr. Michael hinterlässt David und Robin.
– Michael Francis Atiyah, Mathematiker, geboren am 22. April 1929; gestorben 11. Januar 2019
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