Winkelbeschleunigung
Teilchen in zwei DimensionenBearbeiten
In zwei Dimensionen ist die Bahnwinkelbeschleunigung die Geschwindigkeit, mit der sich die zweidimensionale Bahnwinkelgeschwindigkeit des Teilchens um den Ursprung ändert. Die momentane Winkelgeschwindigkeit ω zu jedem Zeitpunkt ist gegeben durch
ω = v ⊥ r {\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}}
,
wobei r {\displaystyle r}
der Abstand vom Ursprung ist und v ⊥ {\displaystyle v_{\perp }}
ist die Querradialkomponente der Momentangeschwindigkeit (d. h. die Komponente senkrecht zum Positionsvektor), die vereinbarungsgemäß positiv für eine Bewegung gegen den Uhrzeigersinn und negativ für eine Bewegung im Uhrzeigersinn ist.
Daher ist die momentane Winkelbeschleunigung α des Teilchens gegeben durch
α = d d t ( v ⊥ r ) {\displaystyle \alpha ={\frac {d}{dt}}({\frac {v_{\perp }}{r}})}
.
Erweitert man die rechte Seite mit Hilfe der Produktregel aus der Differentialrechnung, wird daraus
α = 1 r d v ⊥ d t – v ⊥ r 2 d r d t {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}}
.
Im Spezialfall, in dem das Teilchen eine Kreisbewegung um den Ursprung ausführt, ist d v ⊥ d t {\displaystyle {\frac {dv_{\perp }}{dt}}}
wird einfach die Tangentialbeschleunigung a ⊥ {\displaystyle a_{\perp }}
, und d r d t {\displaystyle {\frac {dr}{dt}}}
verschwindet (da der Abstand vom Ursprung konstant bleibt), also vereinfacht sich die obige Gleichung zu α = a ⊥ r {\displaystyle \alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}
.
In zwei Dimensionen ist die Winkelbeschleunigung eine Zahl mit Plus- oder Minuszeichen, die die Richtung angibt, aber nicht in eine Richtung weist. Das Vorzeichen wird üblicherweise als positiv angenommen, wenn die Winkelgeschwindigkeit entgegen dem Uhrzeigersinn zunimmt oder im Uhrzeigersinn abnimmt, und das Vorzeichen wird als negativ angenommen, wenn die Winkelgeschwindigkeit im Uhrzeigersinn zunimmt oder im Gegenuhrzeigersinn abnimmt. Die Winkelbeschleunigung kann dann als Pseudoskalar bezeichnet werden, eine numerische Größe, die ihr Vorzeichen bei einer Paritätsumkehrung ändert, z. B. durch Umkehrung einer Achse oder durch Vertauschen der beiden Achsen.
Teilchen in drei DimensionenBearbeiten
In drei Dimensionen ist die Bahnwinkelbeschleunigung die Rate, mit der sich der dreidimensionale Bahnwinkelgeschwindigkeitsvektor mit der Zeit ändert. Der momentane Winkelgeschwindigkeitsvektor ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}
zu einem beliebigen Zeitpunkt ist gegeben durch ω = r × v r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} {\mal {\mathbf {v} }{r^{2}}}}
,
wobei r {\displaystyle \mathbf {r} }
der Positionsvektor des Teilchens ist und v {\displaystyle \mathbf {v} }
ist sein Geschwindigkeitsvektor.
Die Bahndrehbeschleunigung ist demnach der Vektor α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}
definiert durch α = d d t ( r × v r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d}{dt}}({\frac {\mathbf {r} \mathbf {v} }{r^{2}})}
.
Erweitert man diese Ableitung mit Hilfe der Produktregel für Kreuzprodukte und der gewöhnlichen Quotientenregel, erhält man:
α = 1 r 2 ( r × d v d t + d r d t × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = 1 r 2 ( r × a + v × v ) – 2 r 3 d r d t ( r × v ) = r × a r 2 – 2 r 3 d r d t ( r × v ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \mal {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}} \mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \mathbf {v} )\\\\&={\frac {1}{r^{2}}}(\mathbf {r} \mathbf {a} +\mathbf {v} \mathbf {v} \mathbf {v} )-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \Zeiten \mathbf {v} )\\\\&={\frac {\mathbf {r} \mal \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} ).\end{aligned}}}
Da r × v {\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} }
ist einfach r 2 ω {\displaystyle r^{2}{\boldsymbol {\omega }}
, der zweite Term kann umgeschrieben werden als – 2 r d r d t ω {\displaystyle -{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}
. Für den Fall, dass der Abstand r {\displaystyle r}
des Teilchens vom Ursprung nicht mit der Zeit ändert (was eine Kreisbewegung als Unterfall einschließt), verschwindet der zweite Term und die obige Formel vereinfacht sich zu α = r × a r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \mal {\mathbf {a} }{r^{2}}}}
.
Aus der obigen Gleichung lässt sich die Querbeschleunigung in diesem Spezialfall wie folgt berechnen:
a ⊥ = α × r {\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }}\mal \mathbf {r} }
.
Im Gegensatz zu zwei Dimensionen muss die Winkelbeschleunigung in drei Dimensionen nicht mit einer Änderung der Winkelgeschwindigkeit verbunden sein: Wenn sich der Positionsvektor des Teilchens im Raum so „verdreht“, dass seine momentane Ebene der Winkelverschiebung (d.h.. d.h. die momentane Ebene, in der der Positionsvektor einen Winkel ausstreicht), ändert sich kontinuierlich mit der Zeit, und selbst wenn die Winkelgeschwindigkeit (d.h. die Geschwindigkeit, mit der der Positionsvektor einen Winkel ausstreicht) konstant ist, gibt es immer noch eine Winkelbeschleunigung ungleich Null, weil sich die Richtung des Winkelgeschwindigkeitsvektors kontinuierlich mit der Zeit ändert. Dies ist in zwei Dimensionen nicht möglich, weil der Positionsvektor auf eine feste Ebene beschränkt ist, so dass jede Änderung der Winkelgeschwindigkeit durch eine Änderung ihres Betrags erfolgen muss.
Der Winkelbeschleunigungsvektor wird richtiger als Pseudovektor bezeichnet: Er hat drei Komponenten, die sich bei Drehungen genauso transformieren wie die kartesischen Koordinaten eines Punktes, aber bei Spiegelungen nicht wie kartesische Koordinaten.
Beziehung zum DrehmomentEdit
Das Nettodrehmoment an einem Punktteilchen ist definiert als der Pseudovektor
τ = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} × \mathbf {F} }
,
wobei F {\displaystyle \mathbf {F} }
die Nettokraft auf das Teilchen ist.
Das Drehmoment ist das rotatorische Analogon der Kraft: Es bewirkt eine Änderung des Rotationszustandes eines Systems, so wie die Kraft eine Änderung des Translationszustandes eines Systems bewirkt. Da die Nettokraft auf ein Teilchen mit der Beschleunigung des Teilchens durch die Gleichung F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} verbunden werden kann }
, kann man hoffen, eine ähnliche Beziehung zu konstruieren, die das Nettodrehmoment an einem Teilchen mit der Winkelbeschleunigung des Teilchens verbindet. Dies kann wie folgt geschehen:
Zunächst ersetzt man F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
in die obige Gleichung für das Drehmoment ein, erhält man τ = m ( r × a ) = m r 2 ( r × a r 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=m(\mathbf {r} \mal \mathbf {a} )=mr^{2}({\frac {\mathbf {r} \mal \mathbf {a} }{r^{2}})}
.
Aus dem vorigen Abschnitt wurde aber abgeleitet, dass
α = r × a r 2 – 2 r d r d t ω {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \mal {\mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}
,
wobei α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}
die Bahnwinkelbeschleunigung des Teilchens ist und ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}
ist die Bahnwinkelgeschwindigkeit des Teilchens. Daraus folgt, dass τ = m r 2 ( α + 2 r d r d t ω ) = m r 2 α + 2 m r d r d t ω . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=mr^{2}({\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }})\\\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}+2mr{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}.\end{aligned}}}
In dem speziellen Fall, in dem der Abstand r {\displaystyle r}
des Teilchens vom Ursprung sich nicht mit der Zeit ändert, verschwindet der zweite Term in der obigen Gleichung und die obige Gleichung vereinfacht sich zu τ = m r 2 α {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}
,
was als ein „Rotationsanalogon“ zu F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
, wobei die Größe m r 2 {\displaystyle mr^{2}}
(bekannt als das Trägheitsmoment des Teilchens) die Rolle der Masse m {\displaystyle m}
, aber im Gegensatz zu F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }
ist diese Gleichung nicht auf eine beliebige Flugbahn anwendbar. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die allgemeine Beziehung zwischen Drehmoment und Winkelbeschleunigung notwendigerweise komplizierter ist als die zwischen Kraft und linearer Beschleunigung.